考研数学知识点之精华

1 考研数学知识点之精华 高等数学部分 第一章 函数极限连续 一 重要概念 公式 一 函数的性质 单调性 周期性 奇偶性 有界性 1 单调性 对于函数 如果对 有或 则 f x 12 xx 12 f xf x 12 f xf x 是单调增加 单调减少 f x 注 1 对可导函数 常通过判定 单增 单减 fx 0fx 0fx 2 函数不具体的非可导函数 必用定义 2 周期性 对于 如果存在常数 使 则为周期函 f x0T f xTf x f x 数 注 常见函数周期 和 周期为 sin xcosx2 和 周期为tan xcot x 如以为周期 则以为周期 f xT f axb a T 如以为周期且可导 则以为周期 反之不真 即如为周期函 f xT fx T f x 数 其原函数不一定是周期函数 如 周期函数不一定可导 1f x 如以为周期 则 f xT 2 0 2 T a nTT T a f x dxnf x dxnf x dx 以为周期 则 f x g x 1212 T TTT 12 f xg xf xg xf xg xTT 以 的最小公倍数为周期 3 奇偶性 对于 如果 则偶函数 f x fxf x f x 如果 则奇函数 fxf x f x 注 讨论奇偶性必注意区间对称性及与的关系 fx f x 偶 奇 奇 偶 偶函数的原函数不一定是奇数 但奇函数的原函数是偶函数 奇 奇 奇 不等 偶 偶 偶 奇 偶不定 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 0 4 有界性 对于 如果存在 使 则称有界 f x0M Mxf f x 有上界 有下界 f xM f xM 2 注 有界 既有上界又有下界 常见函数的有界性 sin xcosxarcsin xarccosxarctan x cotarcx 闭区间上的连续函数一定有界 极限存在必局部有界 指点的附近 二 复合函数 反函数 分段函数 1 复合函数 假设 则是由 复合 yf x ux yfx yf u ux 而成的复合函数 注 的值域与的定义域的关系 仅当的值域包含在 ux yf u ux 的定义域内时才可复合 yf u 例 仅当时 才可复合 arcsinyu 2 2ux 2 121x 2 反函数 由求 即得反函数 yf x xg y yg x 注 单调连续反函数 其单调性相同 单调可导函数的反函数必可导 单调可导函数的反函数凹凸性不定 单调增加的不同 单调减少的一致 3 分段函数 在定义域内函数表达式不同 注 与 分段点 0 1 f x 2 n f x 0f x 0 2 1 0 sgn0 0 1 0 f x f xf x f x 分段点 0 3 max 2 f xg xf xg x f x g x f xg x 分段点 2 min xgxfxgxf xgxf f xg x 整数的点 带极限的函数 0 4 f x f x 0 5 三 极限定义及左极限 右极限与极限的关系 1 定义 0 lim xx f xA 0 lim xx fxA 0 lim xx fxA 注 1 的方式是任意的 表示是为了确定函数关系 0 xx 0 xx 0 xx 表示是为了确定函数关系 0 xx 0 xx 2 表示当非常小时 也非常小 0 lim xx Axf 0 xx f xA 3 当足够大时 与的差足够小lim n n xa n n xa 2 极限与左 右极限的关系 左极限 右极限 极限存在 1 在分段函数分段点的极限必用此结论 3 2 1 0 1 lim11 01 x x a aa a 1 0 01 lim11 1 x x a aa a 3 存在 为任何以为极限的数列 0 lim xx f xA lim n Axf n n x 0 x 0 n xx 注 此结论常用在证明极限不存在 四 极限的性质 1 保号性 1 则在的某一邻域内 0 lim xx Axf 0A 0 x 0f x 2 则在的某一邻域内 0 lim xx Axf 0f x 0 x0A 2 局部有界性 如果存在 则在附近 有界 0 lim xx f xA 0 x f x 3 唯一性极限存在必唯一 五 无穷大无穷小 1 定义 1 如果 则称在中为无穷小量 lim0 xR f x f xxR 0 00 R x xx 注 无穷小是一个变量 并不是很小的数 一个函数是否为无穷小 与自变量的变化趋势有关 例 时 为无穷小时 不为无穷小 2 f xx 0 x 1x 2 如果对存在 时 有成立 0M 0 0 xx f xM 则当时为无穷大 f x 0 xx 注 1 无穷大一定无界 但无界 无穷大 无穷大具有一致性 2 时无穷小的倒数为无穷大 无穷大的倒数为无穷小 x 0 f x 2 性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 3 有限个无穷小的乘积是无穷小 3 无穷小的阶及等价无穷小的应用定理 1 设在自变量的某变化过程中 都是无穷小 1 如则称是的高阶无穷小 记作0lim o 2 如则称是的低阶无穷小 3 如则与是 lim c lim 0 c 同阶无穷小 4 如则与是等价无穷小1lim 4 5 如则称是的 k 阶无穷小0lim c k 2 等价定理如果 则x lim x lim x 3 无穷小与极限的关系 lim x f xAf xAx 注 此结论常用在求极限或证明题中 4 常用的等价无穷小 当时 0u sin uutan uuarcsin uuarctan uu 2 1 cos 2 u u ln 1 uu 1 u eu 1 ln u aua 1 1 uu 注 1 等价无穷小代换只能用在乘除的情况下 2 无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式 3 如果是的阶无穷小 是的阶无穷小 g xxa m f uun 则是的阶无穷小 f g xxa nm 4 一般地 如果是的阶无穷小 则是的阶无 f xxa 1 k k fx xa 1k 穷小 是的阶无穷小 反之 如是的阶无穷小 dttf x a xa 1k fx xa k 推不出是的阶的结论 f xxa 1 k 0 x 3 1 x 六 极限运算法则及存在条件 如果与存在 则lim f xlim g x lim lim lim f xg xf xg x lim lim lim f x g xf xg x lim lim lim f xf x g xg x lim 0 g x 注 1 条件的存在性 2 1 0110 1 0110 0 lim mm mm nn x nn nm a xa xaxaa nm b xb xbxbb nm 3 0 01 limsin 00 k x k x xk 不存在 七 极限存在的两个准则及适用范围 1 双边夹法则 如果满足且 则 nnn XY Z nnn XYZ limlim nn XZA lim n YA 5 对于函数 如果且 f x g x h x f xg xh x lim lim f xh xA 则lim g xA 注 多项和形式的极限一般用双边夹法则 2 单调有界数列必有极限 注 1 己知递推公式求极限必用此结论 2 limln lim x g xf x g x x f xe 八 连续定义及运算法则 1 定义 1 设在的某一邻域内有定义 如果连续 f x 0 x 0 lim xx 0 xfxf 如果右连续 左连续 0 lim xx 0 xfxf 0 lim xx 0 xfxf 注 函数在连续既左连续又右连续 0 1 0 x 函数不具体或分段函数的分段点必用定义 0 2 2 不连续点称为间断点 间断点包括 1 无定义点 2 有定义但不存在的点 0 lim xx f x 3 存在但 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x 3 间断点的分类 第一类左右极限都存在的间断点 1 左 右跳跃2 左 右可去间断点 第二类左右极限至少有一个不存在的间断点 2 运算性质 1 如果都在处连续 则 f xg x 0 x 1 也连续 2 3 也连续 xgxf xgxf 0 0 f x g x g x 2 如果函数在区间上单调且连续 则其反函数也在相应区间 yf x x I yx 上单调且连续 yx Iy yf xxI 3 设函数 当时 极限存在且等于 即 而函数 xu 0 xx a 0 lim xx x a 在连续 则复合函数当时的极限也存在 且等于 ufy au xfy 0 xx 即 af 0 lim xx fxf a 4 设函数在点连续且而在点连续 则 xu 0 xx 00 ux ufy 0 u 在点也连续 xfy 0 xx 6 5 初等函数在其定义域内都连续 如为初等函数 为其定义域内一点 则 f x 0 x 0 lim xx 0 f xf x 6 如在上连续 则 在 f xg x a b f x xgxf min xg maxxf 内连续 a b 九 闭区间上连续函数的性质 1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 2 闭区间上的连续函数一定有界 3 闭区间上的连续函数必取得介于最大值 最小值之间的任何值 注 1 闭区间2 连续是充分条 第二章 导数与微分 6 10 一 基本概念 1 定义 1 设函数在点的某邻域内有定义 如果存在 则称 yf x 0 x 0 0 0 lim xx f xf x xx 在点处可导 并称此极限为函数在点处的导数 记为 即 f x 0 x yf x 0 x 0 x xy 或 0 00 0 lim x x x f xxf x y x 0 0 0 lim xx f xf x xx 0 xx dx dy 0 x x df x dx 注意 结构的一致性 的方式的任意性 0 xx 定义 2 左导数 右导数 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 定义 3 导函数 0 lim x f xxf x fx x 2 左导数 右导数 导数的关系 左导数 右导数 导数 注 1 分段函数分段点的可导性 必用上述结论 2 在不可导 如 则在处可导 0 f xxx 0 x 0 lim 0 xx g x 0 f xg x xx 0 xx 3 函数不具体 必用导数定义 4 0 00 x x fxfxf x 5 奇 偶 偶 奇 周期 周期 6 单调 不一定单调 f x fx 3 导数的几何意义 表示在点切线斜率 0 fx yf x 00 xy 1 切线方程 000 yyfxxx 2 法线方程 000 0 1 0yyxxfx fx 7 00 0 xxfx 4 可导与连续的关系 可导必连续 但连续不一定可导 5 高阶导数 1 定义 二阶及二阶以上的导数 2 公式 n xx ee ln n n xx aaa sinsin 2 nn xx coscos 2 nn xx 1 1 1 n n n n xa xa 1 11 ln n n n n xa xa ln 6 微分 二 导数的运算法则 1 设 都可导 则 1 2 f x g x xgxfxgxf 3 xgxfxgxfxgxf xg xgxfxgxf xg xf 2 2 反函数的导数 设是的反函数 且单调可导 则 yf x xg y yf x 也单调可导 且 xg y 1 y x x y 3 复合函数的导数 如果在点可导 而在可导 则复合函 xu x ufy xu 数在点可导 且其导函数为 xfy x dx du du dy dx dy 4 常见公式 0c 1 xx sincosxx cossinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 log ln x a xa 2 tansecxx 2 cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 cot 1 arcx x k k xk 5 隐函数求导法 8 6 由参数方程所确定函数的导数 xx t yy t t t ydy dxx 2 2 t dy t d ydx dxx 第三章 中值定理与导数应用 15 18 一 一 罗尔定理如果在上连续 在内可导 且 则 f x a b a b f af b 在内至少存在一点 使 a b ab 0f 注 1 条件是充分条件 2 证含的导数等式常用罗尔定理 3 条件缺一不可 二 拉格朗日中值定理 如果在闭区间上连续 在开区间内可导 则在 f x a b a b 内至少存在一点 使 a b ab abfafbf 注 1 函数值的改变量结构 2 条件是充分条件 条件缺一不可 f bf a 3 4 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况 0fxf xc 三 柯西定理 如果在闭区间上连续 在开区间内可导 且 f x g x a b a b 在内每一点均不为零 那么在内至少有一点 使 g x a b a b g f agbg afbf 注 1 两个函数的函数值的改变量比结构 f bf a g bg a 2 条件是充分条件 条件缺一不可 3 拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况 四 泰勒定理如果在含有的某个开区间内具有直到阶导数 则当 f x 0 x a b1n 时 bax 00 00000 in in n fxfx f xf xfxxxxxxxRx in 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 注 1 常见的泰勒展开式 23 1 1 2 3 1 n xn xxxe exx nn 9 35 21 21 sin 2 sin 3 5 21 n n xx xxx n 24 2 cos cos1 2 4 2 n nxx xx n 2 1 1 111 11 2 12 1 1 n n n n xxxx n n x n 231 1 1 1 ln 111 231 1 nn nn n xxxx xx nn 0 x 2 关于高阶导数问题 五 导数的应用 1 极值 设函数在区间内有定义 是内一个点 f x a b 0 x a b 如果存在点的一个去心邻域 对于这去心邻域内任何点都有 0 xx 0 f xf x 则称为极大 小 值 0 f xf x 0 f x 2 单调区间 使函数保持单调性的区间 3 驻点 的点 0fx 4 最大值 最小值与极值的关系 最值是整体概念 极值是局部概念 最值可在边界取得 但极值只能在内部取得 5 凹凸性的定义 6 拐点 连续曲线上凹与凸的分界点 7 渐近线 六 基本定理 1 单调性的判定定理 设函数在上连续在内可导 yf x a b a b 1 如果在内 则在上单调增加 a b 0fx f x a b 2 如果在内 则在上单调减少 a b 0fx f x a b 2 极值存在的必要条件 函数在点处可导 且在处取得极值 则 f x 0 x 0 x 0 0fx 3 第一充分条件 设在点的一个邻域内可导且 f x 0 x 0 0fx 1 如果当时 当时则在处取得极大值 0 xx 0fx 0 xx 0fx f x 0 x 10 2 如果当时 当时 则在处取得极小值 0 xx 0fx 0 xx 0fx f x 0 x 3 如果在两侧 符号不变 则在处不取极值 f x 0 x fx f x 0 x 注 不存在的点或不易求的点常用此定理 fx fx 4 第二充分条件 设在处具有二阶导数 且则 f x 0 x 0 0fx 0 0fx 1 当时 取极大值 2 当时 取极小值 0 0fx f x 0 0fx f x 注 1 驻点2 二阶导函数易求 5 函数凹凸性的判定定理 在上连续 在内具有二阶导数 f x a b a b 1 若 则在上是凹的 0fx f x a b 2 若 则在上是凸的 0fx f x a b 6 曲率的计算公式 2 3 2 1y y k 第四章 不定积分 4 8 一 一 原函数和不定积分定义 1 原函数 则是的一个原函数 xfxF F x f x 注 1 连续函数一定存在原函数 dttf x 0 2 原函数如存在一定有无穷多个 3 同一函数的原函数相差一个常数 2 不定积分 全体原函数 cxFdxxf x cdttfdxxf 0 二 不定积分的基本积分公式和性质 1 公式 cxdxx 1 1 1 cedxe xx ln x x a a dxc a cxxdxcossin cxxdxsincos cxxdxcoslntan cxxdxsinlncot cxdx x arcsin 1 1 2 cxdx x arccos 1 1 2 cxdx x arctan 1 1 2 cxxxdxtanseclnsec cxxxdxcotcsclncsc cxdx x cot sin 1 2 cxdx x tan cos 1 2 11 2 性质 1 2 dxxfkdxxkf f xg xdxf x dxg x dx 三 不定积分的换元积分法和分部积分法 1 换元积分法 1 第一换元 凑微分 cxgFdxxgxghdxxf 注 1 1 baxdbaxf a dxbaxf 2 1 1 baxdbaxf an dxxbaxf nnnn 3 1 baedbaef a dxebaef xxxx 4 5 xdxfdx x xfln ln 1 ln xdxfxdxxfsin sincos sin 6 xdxf x dx xfarcsin arcsin 1 arcsin 2 7 xdxfdx x xftan tan cos 1 tan 2 8 xdxfdx x xfarctan arctan 1 1 arctan 2 9 222 2 1 1 1 1 x fxdxfxdx x 10 11 2 b x a db x a f a dx x b x a f 2 第二换元积分法 ctFdttgtgftgxdxxf 被积函数含 0 1 cos sin 22 taxtaxxa 0 2 cot tan 22 taxtaxxa 0 3 csc sec 22 taxtaxax 如果分母的次数比分子高的多 则用倒代换 2 分部积分法 dxuvuvdxvu 注 1 运用分部积分法 关键是适当选取和u v 其原则 比易求 0 1vv 易求0 2 dx uv dx vu 2 uxPdxexP n x n uxPdxxxP nn cos 12 vxPdxbaxxP nn ln vxPxdxxP nn arcsin 第五章 定积分 第五章 定积分 15 1815 18 一 重要概念 公式 一 定积分的定义及几何意义 1 2 几何解释 i b ab af n ab dxxf n i n b a 1 lim 注 b a b a b a duufdttfdxxf 只与积分区间和被积函数有关 而与自变量用哪个字母表示无关 b a dxxf 3 定积分的存在性 如果在上连续 或有界且只有有限个第一类间断点 则 f x a b 存在 b a dxxf 二 定积分的性质 1 被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和 2 被积函数的非零常数因子可以提到积分号外 3 定积分具有区间可加性 4 如果 则 f xg x bb aa f x dxg x dx 5 如果在上连续 且分别为其最小值 最大值 f x a b m M 则 6 b a m baf x dxM ba dxxfdxxfxf b a b a b a 7 定积分中值定理 如果上连续 则在内至少存在一点 使 baxf 在 ba abfdxxf b a 三 定积分的换元积分法和分部积分法 1 可变限函数求导 如果在相应区间上连续 可导 f x h x g x 则 xhxhfxgxgfdttf xg xh 注 连续函数一定存在原函数 如连续 则即为其原函数 tf x a dttf 2 牛顿 莱布尼兹公式 如果函数是连续函数在上的一个原函数 F x f x ba 则 b a aFbFdxxf 注 此公式说明要求定积分两步 1 求原函数 2 代公式 13 3 换元积分法 如果函数在区间上连续 函数满足 f x ba tqx 1 2 在或上具有单调连续导数且其 aq bq q t 值域 则 a b dttqtqfdxxf b a 注 1 定积分的换元积分法换元必换限 换后接着算 下限对应下限 上限对应上限 2 条件 单调可导 4 分部积分法 b a b a dxxuxv a b xvxudxxvxu 注 边运算边代值 四 常用公式 1 0 0 0 2 aa a a f x f x dxf xfx dx f t dtf x 为奇函数 为偶函数 2 如果为周期为的周期函数 xfT 则 2 2 0 T T TTa a dttfdxxfdxxf TnTa a dttfndttf 0 3 4 2 0 2 0 sin cos cos sin dxxxfdxxxf 00 sin 2 sindxxfdxxxf 5 2 00 sin2sin dxxfdxxf 6 积分不等式 平方的积分结构dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 22 2 五 定积分的应用 1 平面图形面积 1 b a sf x dx drs 2 2 1 2 dxxgxfs b a 3 2 旋转体的体积 dxxfV b a x 2 b a y dxxxfV 2 dxxfxfS b a 1 2 2 rr drVsin 3 2 3 3 平面曲线的弧长 1 xfy bxa dxxfl b a 1 2 2 rr drrl 22 14 3 t tyy txx dtyxl 22 4 变力作功 5 静液压力 6 引力 7 平均值 六 广义积分 1 无穷区间 A aA dttfdxxf lim 2 无界函数 b A aA b a dttfdttf lim 第六章 空间解析几何 2 6 一 重要考点 1 向量的运算 2 求曲面方程 其步骤为 1 在曲面上任取一点 zyx 2 由此点所满足的条件建立方程 3 求平面方程 1 0 DczByAx 平面束2 过特殊轴3 4 求直线方程 第七章 多元函数微分学 8 14 一 重要概念 公式 多元函数的偏导数及复合函数偏导数 隐函数求导法 1 偏导数 设函数在点的某一邻域内有定义 如果极限 zf x y 000 pxy 存在 0 00000 0 lim lim 0 xx yxfyxf x yxfyxxf xxx 则称此极限为在点处对的偏导数 记作 zf x y 0 px 00 00 xxy z fxy x 注 1 分段函数分段点的偏导数必用定义 2 偏导与连续之间无关 3 为一整体符号 4 从几何上解释为曲面与 x f x z 00 y xfx zf x y 的交线在处的切线与轴夹角正切 0 yy 0 xx x 2 高阶偏导数 若函数的二阶混合偏导数和都在点 yxfz xy fx y yx fx y 连续 则注意 条件高阶偏导连续相等 yx yxxy ff 3 全微分 1 如果函数在点处的全增量 zf x y 000 pxy 15 可表示为 0000 yxfyyxxfz 0 yBxAz 其中不依赖于 则称处可微 A Byx 22 yx 00 yxyxfz在点 此时叫作在点处的全微分 记作 即A xB y zf x y 00 xydz yBxAdz 注 全微分是自变量与的线性函数 dzx y 全微分与全增量之差 当时 是比高阶无穷小 dzz 0 22 yx 可微连续 可微偏导 连续 偏导是可微的必要条件 2 必要条件 若函数在点处可微 即在点的全增量可 zf x y 00 y x 00 y xz 表示成 则 0zA xB y 00 zf x yxy 在点的偏导数 都存在 且 0000 xy fxyfxy 00 yxfA x 00 y xfB y 3 充分条件 若函数的两个偏导数在点处连续 则函数在点 yxfz x y f x y 处可微 x y 4 复合函数微分法 如果在对应点处可微 且的偏导数 12 k zf u uu 12 k u uu li xxxu 21 都存在 则复合函数 lj x u j i 2 1 在点对的偏导数存在 且 112212 lkl zf ux xxuux xx 1l xx j x lj x u u z x u u z x u u z x z j k kjjj 2 1 2 2 1 1 设具有连续偏导数 也具有连续偏导数 则复合函数 vufz yxvyxu 在点处的全微分为 zfx yx y x ydv v z du u z dz 全微分的运算公式 c 为常数 1 dvduvud 2 cducud 3 vduudvuvd 4 2 v udvvdu v u d 5 du ufudf 5 隐函数及其微分法 16 三 偏导数的应用 1 空间曲线的切线与法平面 1 曲线 其中 都是可导函数 且L xx tyy tzz t x t y t z t 不全为 0 则切线方程为 tztytx 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 法平面方程为 0 000000 zztzyytyxxtx 2 曲线 切线方程为 L xzzxyy 0 000 1xz zz xy yyxx 法平面方程为 0 00000 zzxzyyxyxx 3 曲线 L xzzxyy zyxG zyxF 0 0 切线方程为 法平面方程为 0 0 0 00 1xz zz xy yyxx 0 00000 zzxzyyxyxx 2 空间曲面的切平面与法线 1 曲面方程 切平面方程为 0F x y z 0 000000 zzFyyFxxzyxF zyx 法线方程为 法线的方向余弦为 zyx F zz F yy F xx 000 222222222 cos cos cos y xz xyzxyzxyz F FF r FFFFFFFFF 2 曲面方程 yxfz zyxfzyxF 则切平面方程为 0000000 0 xy fxyxxfxyyyzz 法线方程为 000 1 xy xxyyzz ff 四 多元函数的极值 方向导数 梯度 1 定义 设在点的某一邻域内有定义 对于该邻域内异于的点 f x y 00 y x 00 y x 17 如果恒有 则称为 x y 00 f x yf xy 00 f x yf xy 00 f xy 的极大值 为的极大值点 否则极小值 f x y 00 y x f x y 2 极值存在的必要条件 如果函数在点取得极值 且 zf x y 00 xy 都存在 则必有 0000 yxfyxf yx 0 0 0000 yxfyxf yx 满足的点 驻点 可能极值点 包括驻点和偏导数不存在的点 0 0 yxf yxf y x 注 在内为常数 f x yD 0 y f x f 3 极值的充分条件 设函数在点的某一邻域内具有二阶连续偏导数 yxfz 00 y x 且 记 0 00 yxfx 0 00 yxfy 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx 1 如 则为的极值 极大 极小 0 2 ACB 00 y xf yxf 0A 0A 2 如 不是极值 3 如 不确定 0 2 ACB0 2 ACB 4 方向导数 梯度 1 方向导数 设在点及其邻域内有定义 如果极限 yxfz yxp 存在 则称函数在点沿方向可导 0000 0 lim yxfyyxxf yxfz pL 并称此极限值为函数在点处沿方向的方向导数 记作 yxfz pL yxfyyxxf L z lim 0 注 方向导数与偏导数的关系 2 梯度 设 则 zyxuu k z u j y u i x u gradu 注 梯度方向即为变化率最大的方向 3 方向导数计算公式 如果函数在点可微 则函数在点 yxfz yxp yxf 处沿任一方向的方向导数存在 且 其中 yxp L coscos y z x z L z 18 是的方向余弦 coscos L 沿方向的方向导数为 uu x y z Lcoscoscos uuuu Lxyz 4 梯度的性质 grad uvgradugradv ugradvvgraduuvgrad 2 v ugradvvgradu v u grad 第八章 重积分 6 10 一 重要概念 公式 一 性质 1 dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf DDD 2 dxdyyxfkdxdyyxkf DD 3 12 12 DDD f x y dxdyfdxdyf x y dxdyDDD 4 D D Skkdxdy 5 在上如 则 D yxgyxf dxdyyxgdxdyyxf DD dxdyyxfdxdyyxf DD 6 如果在上的最大 小值分别为 则 yxf D M m D D D MSdxdyyxfSm 7 二重积分中值定理 设在有界闭区域上连续 则至少存在一点 yxf D 使 D D D Sfdxdyyxf 2 公式 1 如果关于为奇函数 积分域关于轴对称 则 yxfz yDx 0 dxdyyxf D 2 如果关于为偶函数 积分域关于轴对称 表示位于轴上 yxfz yDx 1 DDx 方的部分 则 注 平面域关于轴对称 dxdyyxfdxdyyxf DD 2 1 x 3 连续函数关于为奇函数 积分域关于面对称 zyxfu z xoy 19 则 0 dvzyxf 4 连续函数关于为偶函数 积分域关于面对称 表示的 zyxfu z xoy 1 位于面上方的部分 xoy 则 注 立体关于坐标面对称 dvzyxfdvzyxf 2 1 5 如果关于对称 Dxy 则 xyfyxfdxdyyxf xyfyxf dxdyyxf D D 2 0 1 6 中地位同 dxdyyfdxdyxf DD D x y 地位同 dvzfdvyfdvxf 中 x y z 一 计算 1 二重积分的计算 1 如 则 D xyyxy bxa 21 dyyxfdxdxdyyxf b a y y D 2 1 2 则 D 21 rrr rdrrrfddxdyyxf r r D 2 2 sin cos 2 三重积分的计算 1 则 12 12 axb yxyyx zx yzzx y 2 则 22 11 byxzx y ayxzx y f x y z dvdxdyf x y z dz 12 12 rrr zrzzr 22 11 rzr rz r f x y z dvdrdrfdz 3 则 12 12 rr rrr 22 11 2 sin rr rr fdvddf rdr 三 应用 1 体积公式 dvdxdyyxfV D 2 曲面面积 1 曲面的方程为 zz x y 22 1 xy xy D Szzdxdy 20 2 曲面的方程为 zyxx zyzy D ddxxS yz 22 1 3 曲面的方程为 yy x z 22 1 xz xz D Syy dxdz 3 质量 1 2 dxdyyxM D dvzyxM 4 重心坐标 1 平面薄板 dxdyyx dxdyyxx x D D dxdy dxdyyxy y D D 2 立体 注意步调一致 dv dvzyxx x dv dvzyxK K 5 转动惯量 1 平面薄板 22 0 D Ixyx y dxdy dxdyyxyI D x 2 dxdyyxxI D y 2 2 立体 dvzyxzyIx 22 dvzyxzxIy 22 dvzyxyxIz 22 dxdydzzyxzyxI 222 0 6 引力 质量为的质点位于处 物体占有空间域 其密度为m 0000 zyxp 设物体对质点引力为 zyx zyx FFF 则 dxdydz r xx zyxkmFx 3 0 dxdydz r yy zyxkmFy 3 0 dv r zz zyxkmFz 3 0 2 0 2 0 2 0 zzyyxxr CH9 线积分 面积分 6 10 一 重要概念 公式 一 曲线积分 1 1 对弧长的曲线积分 曲线段的长度 1 L lds T lds 曲线段的质量 2 dsm L dszyxm 曲线的重心坐标 3 ds dsx x L L ds dsy y L L ds dsk k L L 转动惯量 平面 空间 4 ds yxyI L x 2 dszyxzyI L x 22 2 对坐标的曲线积分分 21 1 定义 2 性质 Qdypdx L QdypdxQdypdx LL 3 计算 起点 终点 1 L xyy ax bx 则 dxxyxyxQxyxpQdypdx b a L 起 终点 2 txxL tyy t t 则 dttytytxQtxtytxpQdypdx L 起点 终点 3 rrL 则 drQrrrpQdypdx L sin cossin cos 空间曲线 起点 终点 4 T tzztyytxx t t 则 dttRzQytpxRdzQdydxzyxp T 注 对坐标的曲线积分 起点下限 终点上限 3 两种曲线积分之间的关系 曲线切向量的方向 dsQpQdypdx LL coscos ds dx cos ds dy cos 余弦 dsrRQpRdzQdypdx LL coscoscos ds dx cos ds dy cos ds dz r cos 4 格林公式 设函数在域及其边界上具有一阶连续偏导数 yxQyxp DL 则 取正向dxdy y P x Q QdyPdx D L L 注 1 具有一阶连续偏导数 2 的位置 p Q p QPdxQdy 3 为闭曲线且为正向 L 4 曲线较复杂 但其趋势区域规则 常采用加一减一 加二减二方式求解 5 平面曲线积分与路径无关的等价命题 1 在内与路径无关 L PdxQdy D 2 为内任一分段光滑闭曲线 0 QdyPdx L LD 3 y P x Q 22 4 存在 使 且 yxu QdyPdxdu dyyxQdxyxPyxu y y x x 00 0 注 如果 包围同一瑕点 则 y P x Q 21 LL 12 LL 6 空间曲线积分 与路径无关 RdzQdyPdx T 注 力 沿作功 x Q y P y R z Q z P x R RkQjPiF L RdzQdyPdxW 二 曲面积分 1 对面积的曲面积分 1 定义 2 性质 3 计算公式 dszyxf 1 yxzz dxdyzzyxzyxfdszyxf yx Dxy 22 1 2 zxyy dxdzyyzzxyxfdszyxf zx Dxz 22 1 3 zyxx dydzxxzyzyxfdszyxf zy Dyz 22 1 4 应用 曲面的质量 1 ds zyxm 曲面的重心坐标 为 2 ds dszyxk k k x y z 曲面的转动惯量 3 ds zyxzyIx 22 y I 22 xzx y z ds 2 对坐标的曲面积分 1 定义 2 性质 RdxdyQdzdxPdydz 3 计算 23 投影域 则 1 yxzz xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR xy D 投影域 则 2 zyxx yz D dydzzyzyxPdydzzyxP yz D 投影域 则 3 zxyy xz D dxdzzzxyxQdxdzzyxQ xz D 注 1 与法向量与相应坐标轴的夹角有关 锐角 钝角负 2 负侧正侧 法向量的指向 3 两种曲面积分之间的关系 dsrRQPRdxdyQdzdxPdydzcoscoscos 其中为曲面的法向量的方向余弦rcoscoscos 4 高斯公式 设在空间闭域上具有一阶连续偏导 zyxRzyxQzyxP 数 则 其中是的边界曲面 PQR PdydzQdzdxRdxdydv xyz 外侧 注 一阶连续偏导 外侧 闭曲面 1 2 3 5 斯托克斯定理 设函数在包含曲面的空间域内具 zyxRzyxQzyxP 有一阶连续偏导数 设为曲面的边界曲线 则 RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx 6 流体流过曲面的流量 RdxdyQdzdxPdydz 7 梯度 散度 旋度 设 则梯度 zyxuu k z u j y u i x u gradu 则散度 RkQjPiA z R y Q x P dirA 24 旋度 RQP zyx kji Arot 第十章 级数 8 10 一 重要概念 公式 一 数项级数 1 绝对收敛 条件收敛 注 收敛 则称绝对收敛 1 n u n u 收敛 发散 则称条件收敛 2 n u n u n u 2 性质 1 若收敛 其和为为常数 则 也收敛 且其和为 n u s k 1 n n ku ks 2 若级数分别收敛于 和 则也收敛 且收敛于 nn uV ST nn uv ST 注 如一发散 一收敛 则其代数和发散 如两发散 则结论不一定 1 2 3 在级数前面增加 减少或改变有限项 并不影响其敛散性 但级数收敛时 仅可能改 变其和 4 收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛 且其和不变 注 一个级数加括号所得新级数收敛 并不能说明原级数是否收敛 1 但加括号发散 原级数一定发散 2 5 若级数收敛 则 1n n u0lim n u 注 若 则发散lim0 n u n u 3 定理及审敛法 1 正项级数收敛 部分和数列 有界 n u n S 2 比较审敛法 设都是正项级数 1 nn vu 若从某项起 有 且 收敛 则也收敛 A 0 kNnKVu nnn V n u 若从某项起 有且发散 则也发散B nn uKV n u n V 设是两个正项级数 且 则同敛散 2 nn Vu ll V u n n n 0 lim nn Vu 注 对于正项级数可利用等价无穷小代换 只能用在 正项或负项 级数 25 3 比值审敛法 设有正项级数 若 则 1 n n u 1 lim n n n u p u 当时 级数收敛 时 级数发散 1 01p n u 2 1p n u 注 含或的乘积形式 nn 4 根值审敛法 设有正项级数 若 则 1 n n u lim n n n up 时 级数收敛 时 级数发散 1 10 p n u 2 1 p n u 注 含以为指数的因子n 5 交错级数审敛法 若交错级数满足 1 1 1 n n n u 1 1 nn uu 2 0lim n n u 则该交错级数收敛 且其和 其余项的绝对值 1 us 1 nn ur 6 绝对收敛定理 若收敛 则也收敛 n u n u 注 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛 且与原级数有相同的和 1 设级数都绝对收敛 它们的和分别为 和 则它们逐项相乘后 2 nn vu ST 依任意方式排列所得级数仍绝对收敛 且其积为 ST 4 公式 1 时收敛 时发散 1 1 p n n 1p 1p 2 时收敛 时发散 1 n n a 1a 1a 3 时收敛 时发散 1 1 ln p n nn 1p 1p 二 函数项级数 1 基本概念 1 定义 xun 2 和函数 xuxuS nn 1 3 幂级数 敛半径 收敛区间 收 n n n xxa 0 0 4 泰勒级数 如果存在各阶导数 则称为泰勒级数 f x 0 0 0 n n n fx xx n 26 2 定理公式 1 阿贝尔引理 若幂级数 当时收敛 则对的 n n a x 0 xx 0 xx x 当发散 则对的 发散 n n a x 绝对收敛 0 xx 0 xx x n n a x 注 收敛点是连成一片的 2 设是幂级数的收敛半径 且 R n n a x 1 lim n n n a p a 当时 时 时 1 0p 1 R p 2 0p R 3 p 0R 3 幂级数的分析运算性质 设幂级数 其收敛半径为 则 0 n n n a xS x 0R 1 和函数在内连续 S x R R 和函数在内可导 且 2 S x R R 0 n n n Sxa x 和函数在内任何区间上可积 且 3 S x R R dttadxxS n n x n x 0 00 注 逐项求导 逐项积分并不改变收敛半径 但可改变端点的敛散性 4 几个重要的麦克劳林展开式 2 1 2 n xx xe n x 3521 sin1 3 5 21 n nxxx xx n 242 cos11 2 4 2 n nxxx x n n n x n xx xx 1 32 1 32 1ln n x n n xxx 11 2 1 11 2 5 泰勒定理 设在点的某个邻域内具有任意阶导数 则在处的泰勒级 f x 0 x f x 0 x 数在该邻域内收敛于的充要条件是 当时 在点的泰勒级数余项 f x n f x 0 x 0 xRn 27 注 在点的幂级数展开式 f x 0 x 0 0 0 n n n fx f xxx n 三 付立叶级数 1 基本概念 1 三角级数 形如 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 2 正交 对于在上有定义 如果 则称 xxQ ba 0 dxxxQ b a 正交 xxQ 3 付立叶系数 是周期为的周期函数 则 1 f x 2 nxdxxfancos 1 nxdxxfbnsin 1 在上以为周期 2 f x l l 2l dx l xn xf l a l l n cos 1 dx l xn xf l b l l n sin 1 在上 3 f x a b dx ab xn xf ab a b a n 2 cos 2 dx ab xn xf ab b b a n 2 sin 2 4 付立叶级数 以付立叶系数构成的三角级数 nn ba 付立叶级数 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 4 正弦级数 余弦级数 奇偶延拓 只含正弦项的级数 正弦级数 只含余弦项的级数 余弦级数 注 奇延拓正弦 即 奇函数正弦 偶延拓余弦 偶函数余弦 2 定理 如在上满足 1 连续或只有有限个第一类间断点 2 至多有有限个 f x 极值点 则的付立叶级数在上收敛 xf S x a b 且 为的连续点 1 x f x xfxs 为的间断点 2 x f x 2 xfxf xs 为的端点 3 x f xbxax 2 bfaf xs 第十一章 微分方程 8 12 一 重要概念 公式 1 如果 是二阶线性齐次方程 的两个解 1 y 2 y0 yxQyxpy 28 则也是它的解 其中是任意常数 2211 ycycy 21 cc 2 如果是的两个线性无关的解 12 yy 0yp x yQ x y 则就是该方程的通解 2211 ycycy 3 如果是二阶非齐次线性方程 的一个特解 而是它对 y xfyxQyxpy Y 应的齐次方程的通解 则是该非齐次方程的通解 yYy 4 如果是的解 是的解 1 y 1 xfyxQyxpy 2 y 2 xfyxQyxpy 则的解 2121 ffyxQyxpyyy 是 线性代数 CH1 行列式 4 6 一 重要概念 公式 行与列互换 其值不变 行列式的两行或两列互换 行列式改变符号 行列式中某行 列 的公因子可提到行列式的外面 若以一个数乘行列式等于用该数 乘行列式的任意一行 列 行列式中若有两行 列 成比例 则该行列式为零 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则此行列式等于两行列式之和 nnnn niii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaaaaa aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同