福建省华安一中、龙海二中2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）

1 福建省华安一中 龙海二中福建省华安一中 龙海二中 20202020 届高三数学上学期第一次联考试题届高三数学上学期第一次联考试题 理 含解析 理 含解析 第第 卷卷 选择题共选择题共 6060 分分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 140axxx 2bx x ab a b c d 1 4 1 2 2 4 1 3 答案 c 解析 详解 选 c 140 1 4 2 4 axxxab 2 下列函数中 在区间上为减函数的是 1 1 a b c d 1 1 y x cosyx ln 1 yx 2 x y 答案 d 解析 试题分析 在区间上为增函数 在区间上先增后减 1 1 y x 1 1 cosyx 1 1 在区间上为增函数 在区间上为减函数 选 d ln 1yx 1 1 2 x y 1 1 考点 函数增减性 3 是 的 11 33 ab 22 loglogab a 充分不必要条件b 充要条件c 必要不充分条件d 既不充分 也不必要条件 2 答案 c 解析 由可得 11 33 ab ab 当时 不一定成立 反之 当时 必有 ab 22 loglogab 22 loglogab 0ab 是 的必要不充分条件 选 c 11 33 ab 22 loglogab 4 已知为锐角 且 则的值为 5 sin 13 cos a b c d 56 65 33 65 16 65 63 65 答案 a 解析 解 根据题意 为锐角 若 sin 则 cos 5 13 12 13 若 cos 则 也为锐角 3 5 则 sin 4 5 则 cos cos cos cos sin sin 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 点睛 由 cos 与 sin 的值 结合同角三角函数基本关系式计算可得 sin 与 cos 的值 进而利用 可得 cos cos cos cos sin sin 3 5 设函数 2 1 1 log 2 1 2 1 x x x f x x 2 2 log 12 ff a 3b 6c 9d 12 答案 c 解析 22 log 12 1log 6 222 21log223 log 12226 2log 129ffff 故选 c 6 若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度 所得图象的一个对称中 sin 2 4 yx x8 心是 a b c d 0 16 0 9 0 4 0 2 答案 d 解析 分析 由条件利用函数y asin x 的图象变换规律 可得所得到的函数的解析式 再利用 正弦函数的图象的对称性 求得所得到的函数图象的对称中心 详解 将函数y sin 2x 的图象上各点向右平移个单位长度 可得函数 4 8 y sin 2 x sin2x的图象 8 4 令 2x k k z 可得x 故所得函数的图象的对称中心为 0 2 k 2 k 结合所给的选项 故选 d 点睛 本题主要考查函数y asin x 的图象变换规律 正弦函数的图象的对称性 4 属于基础题 7 函数f x 在 的图像大致为 2 sin cos xx xx a b c d 答案 d 解析 分析 先判断函数的奇偶性 得是奇函数 排除 a 再注意到选项的区别 利用特殊值得正确 f x 答案 详解 由 得是奇函数 其图象关 22 sin sin cos cos xxxx fxf x xxxx f x 于原点对称 又 故选 d 2 2 1 42 2 1 2 2 f 2 0 1 f 点睛 本题考查函数的性质与图象 渗透了逻辑推理 直观想象和数学运算素养 采取性 质法或赋值法 利用数形结合思想解题 8 已知函数为定义在上的偶函数 且在上单调递增 则 f x 2 1bb 0 1 b 的解集为 1f xf a b c d 1 2 3 5 1 1 1 3 2 2 答案 c 解析 5 由函数奇偶性的定义可知 所以函数在单调递增 则不等 2101bbb f x 0 2 式可化为 应选答案 c 1 11 02 x x x 9 已知 则 的大小关系是 1 2 2 0 1 log 3 cos 6 axdx bc a b c a b c d abc cab acb bca 答案 c 解析 分析 估算a b c的值 即可比较大小 详解 a x2 1 dx x3 x 1 1 0 1 3 1 0 1 3 2 0 3 b log23 log22 1 c cos 3 01 62 a c b 故选 c 点睛 本题考查对数函数单调性的运用 考查了微积分基本定理 特殊角的三角函数 值 比较基础 10 已知 均为锐角 且 则 sin22sin2 a b tan 3tan tan 2tan c d 3tan tan 3tan 2tan 答案 a 解析 6 因为 所以 sin22sin2 1 sin2sin2 tansincos 2 1 tancossin sin2sin2 2 即 故选 a 3sin2 3 sin2 tan3tan 11 已知函数是定义在上的偶函数 满足 当时 f x r 1 f xf x 0 1 x 则函数的零点个数是 cos 2 f xx yf xx a 2b 3c 4d 5 答案 a 解析 分析 可得f x 是周期为 2 的偶函数 根据当x 0 1 时 f x cosx 作出 2 y f x 与y 的图象 结合图象即可 x 详解 函数y f x 的零点个数 x 函数f x 的图象与g x 的图象交点个数 x 由f x 1 f x 得f x 是周期为 2 的偶函数 当x 0 1 时 f x cosx 2 作出y f x 与g x 图象 如下图 x 7 可得零点的个数为 2 故选 a 点睛 本题考查了函数的奇偶性 周期性 考查了数形结合思想 属于中档题 12 已知函数 为自然对数的底数 有两个极值点 则实数的取值范 ln x f xxxae ea 围是 a b c d 1 0 e 0 e 1 e e e 答案 a 解析 ln1 x fxxae 若函数有两个极值点 ln x f xxxae 则 和 在 有 2 个交点 ya ln1 x x g x e 0 1 ln1 0 x x x g xx e 令 则 1 ln1h xx x 2 11 0h x xx 在递减 而 h x 0 1 0h 故 时 即 递增 0 1 x 0h x 0g x g x 8 时 即 递减 1 x 0h x 0g x g x 故 max 1 1 g xg e 而 时 时 0 x g x x 0g x 若 和 在 有 2 个交点 ya ln1 x x g x e 0 只需 1 0a e 点晴 本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题 可利用数形结合的办法判断交点个数 如果函数较为复杂 可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象 方程的有 解问题就是判断是否存在零点的问题 可参变分离 转化为求函数的值域问题处理 恒成立 问题以及可转化为恒成立问题的问题 往往可利用参变分离的方法 转化为求函数最值处 理 也可构造新函数然后利用导数来求解 注意利用数形结合的数学思想方法 第第 卷卷 非选择题共非选择题共 9090 分分 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 将答案填在题中的横线上 将答案填在题中的横线上 13 函数的单调递增区间为 2 1 2 log 4 f xx 答案 2 解析 分析 求的递增区间 根据复合函数单调性 即转化为求在定义域上的减区间 f x 2 4tx 详解 由得 令 由于函数的对称轴 2 40 x 22 2 4tx 2 4tx 为 y 轴 开口向上 在上递减 在 0 递增 又由函数 2 4tx 0 是定义域内的减函数 原函数在 2 上递增 故答案为 2 1 2 logyt 点睛 本题考查了复合函数单调区间的求法 属于基础题 14 设曲线在点处的切线方程为 则 ln 1 yaxx 0 0 2yx a 9 答案 3a 解析 试题分析 函数的定义域为 由题意知 ln 1 yaxx 1 1 1 ya x 1 23 0 1 aa 考点 导数的几何意义 15 函数在 处取得极小值 32 2f xxx x 答案 4 3 解析 分析 首先求导可得f x 3x2 6x 解 3x2 6x 0 可得其根 再判断导函数的符号即可 详解 f x 3x2 4x 令f x 3x2 4x 0 得x1 0 x2 4 3 且x 0 时 f x 0 f x 单调递增 x 0 时 f x 0 f x 4 3 单调递减 x 时 f x 0 f x 单调递增 4 3 故f x 在x出取得极小值 4 3 故答案为 4 3 点睛 本题考查函数的极值问题 考查了导数的运用 属基础知识的考查 16 已知函数 则的最小值是 2sinsin2f xxx f x 答案 3 3 2 10 解析 分析 首先对函数进行求导 化简求得 从而确定出函数的 1 4 cos1cos 2 fxxx 单调区间 减区间为 增区间为 5 2 2 33 kkkz 确定出函数的最小值点 从而求得 2 2 33 kkkz 代入求得函数的最小值 33 sin sin2 22 xx 详解 所以当 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos1cos 2 fxxxxxxx 时函数单调减 当时函数单调增 从而得到函数的减区间为 1 cos 2 x 1 cos 2 x 函数的增区间为 所以当 5 2 2 33 kkkz 2 2 33 kkkz 时 函数取得最小值 此时 所以 2 3 xkkz f x 33 sin sin2 22 xx 故答案是 min 333 3 2 222 f x 3 3 2 点睛 该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题 在求解的过程中 需要明确相关 的函数的求导公式 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系 确定出函数的单调增区间 和单调减区间 进而求得函数的最小值点 从而求得相应的三角函数值 代入求得函数的最 小值 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 6 6 个小题 共个小题 共 7070 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知关于的方程的两根为和 0 2 求 x 2 2310 xxm sin cos 1 的值 sincos 1 1tan 1 tan 11 2 求 m的值 答案 1 2 31 2 3 2 解析 分析 1 由韦达定理得 把变形 31 sincos 2 sincos 2 m sincos 1 1tan 1 tan 为 由此能求出结果 2 由韦达定理结合完全平方和公式得到 1 m sincos 由此能求出m 2 31 2 详解 1 已知关于的方程的两根为和 x 2 2310 xxm sin cos 0 2 31 sincos 2 sincos 2 m 22 sincossincos 1 1tansincoscossin 1 tan sincossincos sincos 31 sincos 2 2 31 sincos 2 sincos 2 m 即 1 m 222 31 sin2sincoscos 2 2 31 2 解得 m 3 2 点睛 本题考查三角函数化简求值及应用 考查二次函数根与系数的关系 是中档题 12 18 已知函数在处的切线为 lnf xxxaxb 1 1f 2210 xy 1 求实数的值 a b 2 求的单调区间 f x 答案 1 2 减区间为增区间为 0 1 2 a b 1 0 e 1 e 解析 分析 1 求出函数的导数 计算f 1 f 1 可求出a b的值 2 求出函数的解析式 求出函数的导数 解关于导函数的不等式 求出函数的单调区间即可 详解 1 依题意可得 1 22 1 10 1 2 ff 即 lnf xxxaxb ln1fxxa 又函数在处的切线为 f x 1 1 f2210 xy 1 1 2 f 1 11 1 1 2 fa fab 解得 0 1 2 a b 2 由 1 可得 f x 1 lnx 当时 f x 0 f x 单调递减 1 0 x e 当时 f x 0 f x 单调递增 1 x e 的单调减区间为的单调增区间为 f x 1 0 e f x 1 e 13 点睛 本题考查了函数的单调性 最值问题 考查导数的应用 属于基础题 19 已知函数 2sin 2 4 f xx 1 求函数的最小正周期及单调增区间 f x 2 当时 求函数的最大值及最小值 4 4 x f x 答案 1 周期 增区间为 2 最大值为 最小值 t 3 88 kkk 2 为 1 解析 分析 1 找出函数f x 解析式中的 的值 代入周期公式即可求出函数的最小正周期 由正 弦函数的单调递增区间 2k 2k 列出关于x的不等式 求出不等式的解集即为 2 2 函数的单调递增区间 2 由x的范围 求出 2x的范围 根据正弦函数的图象与性质可得 2x为时 4 4 2 f x 取得最大值 当 2x为时函数f x 取得最小值 分别求出最大值和最小值 4 4 即可 详解 1 f x sin 2x 2 4 2 最小正周期t 由 2k 2x2k k z z 2 2 4 2 解得k x k k z z 3 8 8 故函数f x 的单调增区间是 k k k z z 3 8 8 14 2 当x 时 2x 4 4 4 4 3 4 故当 2x 即x时 f x 有最大值 42 8 2 当 2x 即x时 f x 有最小值 1 44 4 点睛 本题考查三角函数的最值 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的单调性 考查 计算能力 熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键 20 已知的内角a b c的对边分别为a b c 且 abca tan3coscosccabba 求角c 1 若 求面积的最大值 2 2 3c abca 答案 1 2 面积取最大值 60c abc 3 3 解析 试题分析 1 利用正弦定理与和差公式即可得出 2 利用余弦定理 基本不等式的性质 三角形面积计算公式即可得出 试题解析 1 由正弦定理得 tan3coscosccabba sin tan3 sin cossin cosccabba sin tan3sin3sinccabc 0c sin0c tan3c 60c 2 由余弦定理得 222 2coscababc 2222 122cos60ababababab 12ab 1 sin3 3 2 abc sabc a 当且仅当时 面积取最大值 2 3ab abc 3 3 15 21 已知函数 a 为常数 与 x 轴有唯一的公共点 a ln1f xxax 求函数的单调区间 f x 曲线在点 a 处的切线斜率为 若存在不相等的正实数 满足 f x 2 3aa 1 x 2 x 证明 12 f xf x 120fx f x 当时 函数在上递减 在上递增 0a f x 0 a a 若时 则 取 则 0 1a 0f xxa x 故由零点存在定理可知 函数在上还有一个零点 因此不符合题意 f x 0 1 若 则函数的极小值为 符合题意 1a f x 10f 若 则由函数的单调性 有 取 有 1a f x xaa 2 0 ln1f xa aa 下面研究函数 因为恒成立 故函数在上 2 ln1g aaa 1a 2 2 1 0 1 a ga a g a 1 16 递增 故 故成立 函数在区间 11 ln2 0g ag 0 0f xag a f x 上存在零点 不符合题意 2 1a a 综上所述 当时 函数的递增区间为 递减区间为 1a f x 1 0 1 当时 函数的递增区间为 无递减区间 0a f x 0 容易知道函数在处的切线斜率为 得 f x 1 0a 2 113faaa 2a 由 可知 且函数在区间上递增 2a f x 0 不妨设 因为 则 12 xx 12 f xf x 12 02xxx x 1212 22ln 2x xx x 1212 ln1 0 x xx x 即 12 1fx xf 由函数在上单调递增 所以 即 f x 0 12 1 x x 12 1 x x 点睛 本题考查了函数的单调性 最值问题 考查导数的应用以及分类讨论思想 转化思 想 考查不等式的证明 是一道综合题 请考生从请考生从 2222 2323 两题任选两题任选 1 1 个小题作答 满分个小题作答 满分 1010 分 如果多做 则按所做的第一题记分 如果多做 则按所做的第一题记 分 作答时 先用分 作答时 先用 2 2b b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号 中中 22 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 直线 的参数方 xoy c 3cos sin x y l 程为 为参数 4 1 xat yt t 1 若 求 的普通方程 1a l 2 若上的点