陕西省延安市黄陵中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（普通班含解析）

1 陕西省延安市黄陵中学陕西省延安市黄陵中学 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期期末考试试学年高一数学上学期期末考试试 题 普通班 含解析 题 普通班 含解析 第第 i i 卷卷 选择题选择题 共共 6060 分 分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每个小题所给出的四个选项中 在每个小题所给出的四个选项中 只只 有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 1 已知集合 集合 则 1 0 1 2a 0 2b ab a b c d 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 0 2 答案 d 解析 分析 直接利用交集公式计算得到答案 详解 集合 集合 则 1 0 1 2a 0 2b 0 2ab i 故选 d 点睛 本题考查了交集的运算 属于简单题 2 设集合 a 1 3 5 若 f x 2x 1 是集合 a 到集合 b 的映射 则集合 b 可以是 a 0 2 3 b 1 2 3 c 3 5 d 3 5 9 答案 d 解析 试题分析 1 的映射为 3 3 的映射为 5 5 的映射为 9 因此集合 b 必含有 3 5 9 因此 d 正确 考点 映射 3 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边经过 点 则等于 3 4p sin a b c d 3 5 4 5 3 5 4 5 答案 b 2 解析 分析 直接利用三角函数的定义得到答案 详解 终边经过点 则 3 4p 22 44 sin 5 43 故选 b 点睛 本题考查了三角函数值的计算 属于简单题 4 要得到函数的图象 只需将函数图象 3sin 2 3 yx 3sin2yx a 向右平移的单位b 向右平移的单位 6 3 c 向左平移的单位d 向左平移的单位 6 3 答案 a 解析 分析 变换得到 根据平移公式得到答案 3sin 23sin2 36 yxyx 详解 3sin 23sin2 36 yxyx 故只需将函数图象向右平移的单位 3sin2yx 6 故选 a 点睛 本题考查了三角函数的平移 意在考查学生对于三角函数平移变换的应用 5 下列函数中 在区间上为增函数的是 0 a b ln 2 yx 1yx c d 1 2 x y 1 yx x 答案 a 解析 3 试题分析 由题意得 函数和函数在区间上为减函数 函数 1yx 1 2 x y 0 在区间上先减后增的函数 故选 a 1 yx x 0 考点 函数的单调性 6 已知是第三象限角 则 5 tan 12 sin a b c d 1 5 1 5 5 13 5 13 答案 d 解析 分析 利用条件以及同角三角函数的基本关系 以及三角函数在各个象限中的符号 求得 sin 的值 详解 是第三象限角 tan sin2 cos2 1 5 12 sin cos 得 sin 5 13 故选d 点睛 本题主要考查同角三角函数的基本关系 以及三角函数在各个象限中的符号 属 于基础题 7 函数的零点所在的区间为 3 f xxlnx a b c d 0 1 1 2 2 3 3 4 答案 a 解析 分析 可判断在上为增函数 再由 可得函数 f x 0 1 f0 e f 10 的零点所在的区间 3 f xxlnx 4 详解 函数的定义域为 又与在上都为 3 f xxlnx 0 3 yx ylnx 0 增函数 在上为增函数 f x 0 又 3 11 f10 ee f 110 函数 的零点所在的区间为 3 f xxlnx 0 1 故选 a 点睛 本题考查函数零点的判定 考查函数的单调性的判断及应用 是基础题 8 己知函数 的图象 部分 sin f xax x r0a 0 2 如图所示 则的解析式是 f x a b 2si 3 n f xxxr 2sin 2 6 f xxr c d 2sin 6 f xxxr 2sin 2 3 f xxxr 答案 c 解析 分析 根据图象可知 利用正弦型函数可求得 根据最大值和最 51 42 63 t 2 t 小值可确定 利用及可求得 从而得到函数解析式 a 1 2 3 f 2 5 详解 由图象可知 的最小正周期 f x 51 42 63 t 又 2 t 又 且 max2f x min2f x 0a 2a 即 1 2sin2 33 f 2 32 k kz 2 6 k kz 2 6 2sin 6 f xxxr 本题正确选项 c 点睛 本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题 关键是能够明确由最大值和最 a 小值确定 由周期确定 通常通过最值点来进行求解 属于常考题型 9 设是两个互相垂直的单位向量 且则在上的 12 e e 1212 11 42 oaee obee oa ob 投影为 a b c d 10 4 5 3 3 5 10 2 2 3 答案 c 解析 分析 先计算 再利用投影公式计算得到答案 3 4 oa ob 5 2 ob 详解 则 1212 11 42 oaee obee 12 15 22 obee 121212 2 1 2 2 1111 42 93 8442 oa obeeeeee ee 在上的投影为 oa ob 3 5 10 oa ob ob 故选 c 6 点睛 本题考查了向量投影的计算 意在考查学生的计算能力 10 函数的图象大致是 1 lnf xx x a b c d 答案 b 解析 分析 通过函数在处函数有意义 在处函数无意义 可排除 a d 通过判断当 2x 2x 时 函数的单调性可排除 c 即可得结果 1x 详解 当时 函数有意义 可排除 a 2x 1 10 x x 当时 函数无意义 可排除 d 2x 13 0 2 x x 又 当时 函数单调递增 1x 1 yx x 结合对数函数的单调性可得函数单调递增 可排除 c 1 lnf xx x 故选 b 点睛 本题主要考查函数的图象 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 与分类讨论的思维能力 属于中档题 11 已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示 2 3sin 0 3 f xx 7 若 则 90abc a b c d 4 8 6 12 答案 a 解析 分析 先确定为等边三角形 再计算得到 根据周期公式计算得到答案 bcp 4bp 详解 易知为中点 故 pac90abc 4bpbccpbp 2 8 4 t 故选 a 点睛 本题考查了三角函数图像 确定为等边三角形是解题的关键 bcp 12 已知函数 则函数的零点个数为 f x 2 log 1 1 3 4 3 1 xx x x 1g xff x a 1b 3c 4d 6 答案 c 解析 分析 令 可得 解方程 结合函数的图象 可求 10g xff x 1ff x 1f x f x 8 出答案 详解 令 则 10g xff x 1ff x 令 若 解得或 符合 若 解得 1f x 2 log 1 1x 1x 1 2 x 1 3 x 4 1 1x 符合 5x 3 x 作出函数的图象 如下图 时 时 f x 1 0 x 0 f x 0 3x 0 2f x 时 3 x 0 2f x 结合图象若 有 3 个解 若 无解 若 有 1 个解 1f x 1 2 f x 5f x 所以函数的零点个数为 4 个 1g xff x 故选 c 点睛 本题考查分段函数的性质 考查了函数的零点 考查了学生的推理能力 属于中档题 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 13 计算 33 log 362log 2 1 20 3 8 12 答案 1 2 2 2 解析 分析 直接利用对数和指数幂公式计算得到答案 详解 33333 log 362log 2log 36log 4log 92 1 20 3 8 12 221 12 9 故答案为 1 2 2 2 点睛 本题考查了对数 指数幂的运算 意在考查学生的计算能力 14 已知函数 则 若 则实数 2 2 2 0 log 1 0 xx x f x xx 3 f f 3f a a 答案 1 0 2 3 解析 分析 直接代入计算得到答案 讨论和两种情况计算得到答案 0a 0a 详解 则 2 2 2 0 log 1 0 xx x f x xx 2 3 log 4 2 440f fff 当时 或 舍去 0a 2 233f aaaa 1a 当时 舍去 0a 2 7 log 1 3 8 f aaa 综上所述 3a 故答案为 1 0 2 3 点睛 本题考查了分段函数值的计算 意在考查学生的计算能力 15 已知函数 有三个零点 则实数a的取值范围 1 f xx xa x r1 x 2 x 3 x 是 的取值范围是 123 xxx 答案 1 2 1 0 4 a 32 2 2 解析 分析 1 令 则 设函数画出图像再分析与 1 0f xx xa 1 x xa 1 g xx x 的交点个数即可 ya 2 根据图像分析得 再分析的范围即可 12 1xx 3 x 10 详解 1 令 则 设函数 1 0f xx xa 1 x xa 1 1 1 1 1 x xx g xx x xx x 画出函数的图像 易得当为抛物线上顶点为 g x 1 2 x 1 1 2 4 又有三个零点 即与有三个交点 故 f x 1 x 2 x 3 x g xya 1 0 4 a 2 有图像得 即 当时 12 1 22 xx 12 1xx 1 4 a 2 111 1 442 x xxx 即 此时 故 2 11 22 x 3 21 2 x 3 21 1 2 x 故 123 32 2 2 xxx 故答案为 1 2 1 0 4 a 32 2 2 点睛 本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等 同时也考查了根据 图像求零点的范围问题 属于中等题型 16 若 1 cossin 633 则 答案 1 3 解析 分析 11 利用诱导公式 即可 sincos 2 详解 1 sinsincos 32333 点睛 本道题考查了诱导公式 关键抓住 属于容易题 sincos 2 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 求值 1 413 20 75 344 0 0081 4 8 16 2 3 log 2 2 9 2 1 2 log 51 lg3log21log 27 log 102 答案 1 0 55 2 1 解析 分析 1 利用根式与分数指数幂的性质直接求解 2 直接利用对数运算法则及换底公式 详解 1 413 20 75 344 0 0081 4 8 16 4133 4 0 7524 3422 0 3 2 2 2 0 3 2 3 2 2 2 3 0 3 0 25 0 55 2 1 3 log 2 2 9 2 1 2 log 51 lg3log21log 27 log 102 13 lg21lg5 22 点睛 本题考查根式与分数指数幂的性质 考查了对数的运算性质 是基础题 18 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径是 r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值 c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 答案 1 50cm2 2 3 32 2 16 c 解析 详解 1 设弧长为l 弓形面积为 s弓 12 60 r 10 l cm 3 10 3 s弓 s扇 s 10 102 sin60 50cm2 1 2 10 3 1 2 3 32 2 扇形周长 c 2r l 2r r r s扇 r2 2 c 1 2 1 2 2 2 c 当且仅当 即 2 2 舍去 22 2 2 1 4 244216 4 ccc 4 时 扇形面积有最大值 2 16 c 19 已知函数 2 sincos3cos 222 xxx f x 1 求的单调递增区间 f x 2 若 已知 求的值 0 0 2 x 0 31 23 f x 0 cosx 答案 1 5 2 2 66 kkkz 2 0 2 23 cos 6 x 解析 分析 1 由二倍角的正弦 余弦公式可得 再结合正弦函数单调区 f x 3 sin 32 x 间的求法即可得解 2 由已知可得 再由辅助角公式 0 1 sin 33 x 0 2 2 cos 33 x 运算即可 00 coscos 33 xx 13 详解 解 1 因为 2 sincos3cos 222 xxx f x 2 sincos3cos 222 xxx 1333 sincossin 22232 xxx 由 解得 22 232 kxk 5 22 66 kxk 故的单调递增区间为 f x 5 2 2 66 kkkz 2 由 则 0 31 23 f x 0 1 sin 33 x 由 所以 则 0 0 2 x 0 36 3 x 0 2 2 cos 33 x 所以 0000 13232 23 coscos cos sin 332323366 xxxx 故 0 2 23 cos 6 x 点睛 本题考查了二倍角的正弦 余弦公式 重点考查了辅助角公式 属中档题 20 某家庭进行理财投资 根据长期收益率市场预测 投资债券等稳健型产品的收益与投资 额成正比 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比 已知投资 1 万元时 两类产品的收益分别为 0 125 万元和 0 5 万元 1 分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式 2 该家庭现有 20 万元资金 全部用于理财投资 怎样分配资金才能获得最大收益 其 最大收益为多少万元 答案 1 2 债券类产品投资 16 万 1 8 f xx 0 x 1 2 g xx 0 x 元时 收益最大 为 3 万元 解析 分析 14 1 由题意 得到 代入求得的值 即可得到函数的 1 f xk x 2 g xkx 12 k k 解析式 2 设债券类产品投资万元 可得股票类产品投资万元 求得总的理财收益的 x 20 x 解析式 利用换元法和二次函数的性质 即可求解 详解 1 设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为 f x x 1 0f xk x x 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为 g x x 2 g xkx 0 x 可知 1 10 125fk 2 10 5gk 所以 1 8 f xx 0 x 1 2 g xx 0 x 2 设债券类产品投资万元 则股票类产品投资万元 x 20 x 总的理财收益 1 2020 82 x yf xgxx 020 x 令 则 20tx 2 20 xt 02 5t 故 2 2 2 20111 42023 8288 t ytttt 所以 当时 即债券类产品投资 16 万元时 收益最大 为 3 万元 2t 点睛 本题主要考查了函数的实际应用问题 其中解答中认真审题 列出函数的解析式 熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键 着重考查了分析问题和解答问题的能力 属于中档试题 此处有视频 请去附件查看 21 已知 2 1 1f xxax a 1 当时 解不等式 1 2 a 0f x 15