陕西省商洛市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

1 商洛市商洛市 2019 20202019 2020 学年度第一学期期末教学质量检测学年度第一学期期末教学质量检测 高一数学试卷高一数学试卷 考生注意 考生注意 1 1 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共卷 非选择题 两部分 共 150150 分分 考试时间考试时间 120120 分分 钟钟 2 2 请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3 3 本试卷主要考试内容 北师大版必修本试卷主要考试内容 北师大版必修 1 1 必修 必修 2 2 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 12 mxx 210 nxx mn a b c d 12 xx 12 xx 23 xx 3 1xx 答案 b 解析 分析 化简集合 根据交集的定义 结合数轴 即可求解 n 详解 因为 12 mxx 13 nxx 所以 12 mnxx 故选 b 点睛 本题考查集合间的运算 属于基础题 2 已知直线 经过两点 则直线 的倾斜角是 l 2 1 1 31 ab l a b c d 30 60 120 150 答案 a 解析 分析 2 求出直线的斜率 根据斜率得倾斜角 详解 由题意直线的斜率为 倾斜角为 31 1 3 1 2 3 k 30 故选 a 点睛 本题考查直线的倾斜角 可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角 3 若函数 则 2 1 5f xx 2 f a 9b 6c 4d 3 答案 b 解析 分析 求得对应的值 由此求得函数值 2 x 详解 由 解得 所以 12x 1x 2 2156f 故选 b 点睛 本小题主要考查函数值的求法 属于基础题 4 函数的零点所在的区间是 5 4 2 x f x a b c d 1 2 2 3 3 4 0 1 答案 a 解析 分析 根据函数单调递增和 得到答案 10f 20f 详解 是单调递增函数 且 f x 3 10 2 f 9 20 4 f 所以的零点所在的区间为 f x 1 2 故选 a 点睛 本题考查了零点所在的区间 意在考查学生对于零点存在定理的应用 5 已知 则 的边上的中线所在的直线方程为 3 2 2 3 4 5 abc abcbc 3 a b 10 xy 10 xy c d 50 xy 50 xy 答案 c 解析 分析 求出中点坐标 由两点式写出直线方程 再化为一般式 bc 详解 由题意边的中点为 中线方程为 整理得 bc 1 4 d ad 23 421 3 yx 50 xy 故选 c 点睛 本题考查求直线方程 直线方程有多种形式 可根据条件用相应形式写出直线方 程 然后整理为一般式 6 已知是两条不同的直线 是两个不同的平面 且 则下列命题 l m l am 中为真命题的是 a 若 则b 若 则 l lm c 若 则d 若 则 lm l m 答案 d 解析 分析 利用线面平行 线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择 详解 选项 a c 直线 可能在平面内 故不正确 选项 b 若 则 l m 或在平面内 而 故 与可能平行 相交或异面 故不正确 对于选项 m a m l a lm d 由 结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理 可得出直线 m 故为正确 m 故选 d 点睛 本题考查了线面平行 面面平行 线面垂直的性质定理和判定定理 注意定理成 4 立的条件 属于基础题 7 若直线被圆截得的弦长为 8 则正数 20 xym 22 25xy m a b c 5d 10 53 5 答案 b 解析 分析 求出圆心到直线的距离 由勾股定理 垂径定理 表示出弦长后可得 m 详解 圆的圆心坐标为 半径 由直线被圆截得的弦长为 8 可得圆心到直 0 0 5r 线的距离为 则 22 54 5 m 3 5m 故选 b 点睛 本题考查直线与圆相交弦长问题 解题方法是几何法 即求出圆心到直线的距离 由勾股定理列式计算 8 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4 的半圆 则该圆锥的体积是 a b c d 4 2 3 4 2 4 3 8 3 3 答案 d 解析 分析 先计算圆锥的半径和母线长分别为 2 和 4 再计算圆锥的高为 得到体积 2 3 详解 因为半圆的弧长为 半圆的弧长为圆锥的底面周长 所以该圆锥的底面半径 4 2r 由题意可知该圆锥的母线长为 4 则圆锥的高为 2 3 故该圆锥的体积是 2 18 3 22 3 33 故选 d 5 点睛 本题考查了圆锥的体积 抓住扇形和圆锥的线段长度关系是解题的关键 9 某几何体的三视图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 是 3 cm a b c d 1236 答案 d 解析 分析 由三视图还原出原几何体 确定几何体的结构后求体积 详解 由三视图知 原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱 尺寸见三视图 其体积为 3 1 22 1 26 2 v 故选 d 点睛 本题考查三视图 考查柱体的体积 解题关键是由三视图还原出原几何体 10 已知圆 圆 则圆与圆 1 o 22 154xy 2 o 22 219xy 1 o 2 o a 相交b 内切c 外切d 内含 答案 c 解析 分析 求出圆心距 与两圆半径的和或差比较可得 详解 因为 所以 22 12 1 25 15oo 1 2r 2 3r 1212 oorr 从而两圆外切 故选 c 点睛 本题考查两圆位置关系 求出圆心距是解题关键 属于基础题 6 11 已知 则 0 41 3 3 11 log 8 82 abc a b c d bac cab abc cba 答案 b 解析 分析 把化为同底数的幂比较大小 再借助于数 2 与比较 a b c 详解 又 而 0 41 2 11 82 a 1 21 3 11 21 3 111 2 222 33 log 8log 92 cab 故选 b 点睛 本题考查比较大小 比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂 同样 比较对数大小也尽量化为同底数的对数 如果不能化为同底数 或同指数 或不同类型的 数则要借助于中间值比较 如等等 0 1 2 12 如图 在长方体中 点是的中点 1111 abcdabc d 1ab 2ad 1 3aa mad 点是底面内 不包括边界 一动点 且三棱锥体积为 则的最小值 pabcd 1 abmp 1 2pc 是 7 a b c d 32 3 2 2 2 答案 d 解析 分析 计算得到 点到的距离为 点在底面内 不包括边界 与 1 2 bmp s pbm 2 2pabcd 平行 且距离为的线段 上 得到最值 bm 2 2l 详解 因为三棱锥的体积 所以 1 abmp 11 3 32 bmp vs 1 2 bmp s 设点到的距离为 则 解得 pbmh 11 2 22 bmp sh 2 2 h 所以点在底面内 不包括边界 与平行 且距离为的线段 上 pabcdbm 2 2l 要使最小 则点是过作的垂线与线段 的交点 pc pcbml 因为点到的距离为 此时 cbm2 2 2 pc 故选 d 点睛 本题考查了立体几何中的最值问题 意在考查学生的空间想象能力和计算能力 第第 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13 若直线 与直线 互相垂直 则 1 l 1230axy 2 l310 xay a 答案 1 5 解析 分析 直接利用直线垂直公式计算得到答案 8 详解 因为 所以 所以 12 ll 1230aa 1 5 a 故答案为 1 5 点睛 本题考查了根据直线垂直求参数 意在考查学生的计算能力 14 已知函数 则 2 1 2 0 3 4log 0 x x x f x x x 8ff 答案 5 解析 分析 先将代入解析式可得 再求即可 8x 81f 1f 详解 由题 2 4log 88431f 所以 1 1 25 3 81fff 故答案为 5 点睛 本题考查分段函数求值 考查指数 对数的运算 15 已知长方体的每个顶点都在球的球面上 若 1111 abcdabc d o2abad 则球的体积是 1 4aa o 答案 8 6 解析 分析 计算得到 再计算体积得到答案 2 222 222424r 详解 在长方体中 1111 abcdabc d 2abad 1 4aa 设长方体的外接球的半径为 所以 所以 r 2 222 222424r 6r 则球的体积 3 4 8 6 3 vr 9 故答案为 8 6 点睛 本题考查了长方体的外接球问题 意在考查学生的空间想象能力和计算能力 16 设函数 若对任意的 不等式 2 2 log 1 f xxx 1 x 恒成立 则a的取值范围是 ln 24 0f xafx 答案 0 e 解析 分析 先证明函数为奇函数 根据 结合对数运算法则可得 f x 22 1 1 1xxxx 根据复合函数的单调性 可判断 2 2 log 1 f xxx 在上为减函数 再结合奇偶性和在处连续 2 2 log 1 f xxx 0 f x 0 x 可得在r上为减函数 f x 于是等价转化为 得 ln 24 0f xafx ln 24 f xafx 即对任意的 从而有 即可求 ln24xax 1 x ln34ax ln1a 解 详解 因为 221 22 log 1 log 1 fxxxxxf x 所以为奇函数 且定义域为r f x 又因为函数在上为增函数 2 1g xxx 0 所以在上为减函数 2 2 log 1 f xxx 0 从而在r上为减函数 f x 于是等价于 ln 24 0f xafx ln 24 24 f xafxfx 所以 即 ln24xax ln34ax 因为 所以 所以 1 x 341x ln1a 10 解得 0a e 故答案为 0 e 点睛 本题考查不等式恒成立问题 利用函数的奇偶性和单调性 将不等式等价转化 化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点 属于较难题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知直线 的方程为 与 垂直且过点 l 43120 xy 1 l l 2 3 1 求直线的方程 1 l 2 若直线经过与 的交点 且垂直于轴 求直线的方程 2 l 1 l lx2 l 答案 1 2 3460 xy 6 5 x 解析 分析 1 由垂直可设 代入点的坐标可得 1 3 40lxym 2 求出交点坐标 可得垂直于的直线方程 x 详解 1 由与 垂直 则可设 1 l l1 3 40lxym 过 1 l 2 3 3 2 4 3 0m 解得 6m 1 3 460lxy 2 由 得 与 的交点坐标为 43120 3460 xy xy 6 5 12 5 x y 1 l l 612 55 又垂直于轴 则直线的方程为 2 l x2 l 6 5 x 点睛 本题考查求直线方程 考查两直线垂直的关系 考查求直线交点坐标 属于基础 题 在求垂直直线方程时可用待定系数法 18 计算或化简 11 1 11 23 0 2 127 3log 16 1664 2 6 log 2 332 log 27log 2 log 36lg2lg5 答案 1 2 3 1 2 解析 分析 1 根据幂的运算法则计算 2 根据对数运算法则和换底公式计算 详解 解 1 原式 1 3 1 3 2 493 1 4 164 73 1 4 44 1 2 2 原式 3 3 log 312lg10 3 1 2 1 3 点睛 本题考查幂和对数的运算法则 掌握幂和对数运算法则是解题关键 19 已知二次函数 且 2 1f xaxx 141f xf xx 1 求的解析式 f x 2 若的图象的对称轴为 求的值以及在上的最 g xf xmx 5 4 x m g x 1 2 小值 答案 1 2 2 21f xxx 17 8 解析 分析 1 把二次函数式代入已知 由恒等式的定义可得 a 12 2 由二次函数对称轴求出 再由二次函数的性质求得最值 m 详解 解 1 由 得 141f xf xx 2 2 111141axxa xxx 所以 所以 2141axax 2a 故 2 21f xxx 2 22 21211g xxxmxxm x 因为 所以 15 44 m 6m 因为 所以 5 1 2 4 min 517 48 g xg 点睛 本题考查求二次函数解析式 考查二次函数的最值 属于基础题 20 如图 在四棱锥中 底面是直角梯形 pabcd abcd90badcda 面 pa abcd 1 2paaddcab 1 证明 平面 平面 pacpbc 2 求点到平面的距离 dpbc 答案 1 证明见解析 2 6 6 解析 分析 1 在直角梯形中 由勾股定理逆定理得 再由面 得 abcdacbc pa abcd 于是有平面 从而可得面面垂直 pabc bc pac 13 2 利用等体积法可求得到平面的距离 d pbc v p dbc v dpbc 详解 1 证明 在直角梯形中 由 abcd90badcda 得 1 2addcab 2 2acbc 222 acbcab acbc 又面 平面 pa abcdpabc paaca bc pac 平面 bc pbc 平面 平面 pacpbc 2 由 1 得 bcpc 3pc 116 32 222 pbc spcbc 111 1 1 222 dbc sdcad 1111 1 3326 p bdcdbc vspa 设点到平面的距离为 dpbch 则 1166 3326 d pbcpbc vshhh 1 6 p dbc v 6 6 h 点到平面的距离为 dpbc 6 6 点睛 本题考查面面垂直的证明 考查求点到平面的距离 立体几何中求点到平面的距 离在高不易作出的情况下常用等体积法 即一个三棱锥的体积用两种方法表示 一种易求 得体积 另一种只求得底面积 高 即所求距离 不易得 由两者相等即可得距离 21 已知圆 c 经过a 5 3 b 4 4 两点 且圆心在x轴上 1 求圆c的标准方程 2 若直线l过点 5 2 且被圆c所截得的弦长为 6 求直线l的方程 答案 1 2 或 22 1 25 xy 5x 34230 xy 解析 分析 1 根据题意可设圆的方程为 根据点在圆上可得关于的 222 0 xayrr a r 方程组 解出方程组即可得到圆的方程 2 由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为 4 当直线斜率不存在 14 时显然成立 当直线斜率存在时 可设为点斜式 根据点到直线的距离公式求出斜率即可 详解 1 因为圆心在x轴上 所以可设圆的方程为 222 0 xayrr 因为圆c经过a 5 3 b 4 4 两点 所以 222 222 5 3 4 4 ar ar 解得 1a 5r 故圆c的标准方程是 22 1 25 xy 2 因为直线l被圆c所截得的弦长为 6 所以圆c的圆心到直线l的距离 2594d 当直线l的斜率不存在时 因为直线l过点 所以直线l的方程为 所以圆 5 2 5x c的圆心到直线l的距离 符合题意 5 14d 当直线l的斜率存在时 可设出直线l的方程为 2 5 yk x 即 520kxyk 则圆c的圆心到直线l的距离 解得 2 052 4 1 kk d k 3 4 k 故直线l的方程为 34230 xy 综上 直线l的方程为或 5x 34230 xy 点睛 本题考查了用待定系数法求圆的方程 通常用一般式计算要简单 另外圆与直线 相交时 半径 弦长的一半和弦心距的关系 注意用到斜率考虑是否存在问题 属于中档 题 22 已知函数 其中 为自然对数的底数 22 3 xx ee f x e 1 证明 在上单调递增 f x 0 2 函数 如果总存在 对任意都 2 5 3 g xx 1 0 xa a a 212 xr f xg x 成立 求实数的取值范围 a 答案 1 证明见解析