高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题_第1页
高考数学复习点拨 例析椭圆中的三种最值问题_第2页
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用心 爱心 专心 例析椭圆中的三种最值问题例析椭圆中的三种最值问题 与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性 涉及到数学知识的多种知识点 诸如 几 何 三角 函数等 同时与椭圆的定义 方程联系紧密 思维能力要求比较高 下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究 一 利用定义转化为几何问题处理最值 例 1 已知 1 F是椭圆 22 1 95 xy 的左焦点 P 是椭圆上的动点 1 1A为定点 则 1 PAPF 的最小值是 A 92 B 62 C 32 D 62 解析 连接 2 F A并延长交椭圆 P 是椭圆上一动点 连接 12 PF PF PA 1212 PFPAAFPFPF 而 121212 PFPFP FP FP FP AAF 1212 PFPAAFP FP AAF 11122 62PFPAP FP AP FP FAF 当P与 P 重合时取 号 故答案 选 B 二 利用椭圆的标准方程三角换元求最值 例 2 已知点 P 是椭圆 22 1 169 xy 上任意一点 则点 P 到直线70 xy 的距离最大值 为 解析 由椭圆的方程 22 1 169 xy 则可设 4cos 3sin x y 为参数 设点 4cos 3sinP 则点 P 到直线的距离为 5sin74cos3cos7 22 d 当 sin1 距离d的最大值为 max 12 6 2 2 d 点评 本题利用里椭圆的标准方程的结构形式 把椭圆的最值问题 转化为三角函数的最 值问题 利用三角函数的性质求解 O P A F2F1 y x P 用心 爱心 专心 三 利用函数的最值探究方法 例 3 设椭圆的中心是坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率 3 2 e 已知点 3 0 2 P 到这个 椭圆上点的最远距离为7 求这个椭圆的方程 并求椭圆上到点 P 的距离为7的点 的坐标 解析 设椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab 由 3 2 e 即 3 2 c a 又 222 abc 2ab 故椭圆的方程是 22 22 10 4 xy b bb 设 M x y是椭圆上任意一点 则 222 44xby 2 2 222222 399 443334 244 PMxybyyyyyb 2 2 1 334 2 yb byb 讨论 1 2 与 b b 间的关系 当 1 2 b 则当 1 2 y 时 2 max 347PMb 1b 当 1 0 2 b 则当yb 时 2 max 3 7 2 PMb 3 7 2 b 3 7 2 b 与 1 0 2 b 矛盾 综上所述1b 所求椭圆方程为 2 2 1 4 x y max 7PM 时 1 2 y 3x 椭圆上到点 P 的距离为7的点有两个 1 3 3
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