圆的知识点复习

圆的有关概念和性质 复习 圆的有关概念和性质 复习 一 知识点回顾 一 知识点回顾 1 1 确定一个圆有两要素 一是确定一个圆有两要素 一是 二是 二是 圆心确定 圆心确定 半径确定 半径确定 2 2 圆既是圆既是 对称图形 又是对称图形 又是 对称图形 它的对称中心是对称图形 它的对称中心是 对称轴是 对称轴是 有 有 条对称轴条对称轴 3 3 在同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦三组量之间 如果有一组量相等 那么 在同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦三组量之间 如果有一组量相等 那么 它们所对应的其它量也相等 它们所对应的其它量也相等 例 1 如图 AB CD 是 O 的两条弦 若 AB CD 则有 若 AB CD 则有 若 AOB COD 则有 4 4 在在在同圆或等圆中 同弧或等弧所对圆周角在同圆或等圆中 同弧或等弧所对圆周角 相等的圆周角所对的弧 相等的圆周角所对的弧 同弧或 同弧或 等弧所对圆周角是其所对的圆心角的等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 例 2 如图 AB AC BC 都是 O 的弦 CAB CBA COB 与 COA 相等吗 为什么 例 3 如图 A 是 O 的圆周角 A 30 则 BOC OBC 5 5 半圆或直径所对的圆周角都是半圆或直径所对的圆周角都是 9090 的圆周角所对的弦是圆是的圆周角所对的弦是圆是 例 4 填空 1 如图 AB 是 O 的直径 DCB 30 则 ACD ABD 2 如图 O 的直径 AB 10 弦 BC 5 B 6 6 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平弦所对的弧 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平弦所对的弧 即 如图 若 AB CD 则有 AP PB Error Error AD 典型题 例 5 如上图 若 CD 10 AB 8 求 PC 的长 例 6 某公园的一石拱桥是圆弧形 劣弧 其跨度为 24 米 拱的半径为 13 米 则拱高为 7 7 三角形的内心和外心 三角形的内心和外心 1 1 确定圆的条件 确定圆的条件 三个点确定一个圆 三个点确定一个圆 2 2 三角形的外心 三角形的三个顶点确定一个圆 这个圆叫做三角形的 三角形的外心 三角形的三个顶点确定一个圆 这个圆叫做三角形的 圆心 圆心 就是就是 的交点 叫做三角形的外心 的交点 叫做三角形的外心 3 3 三角形的内心 和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的 三角形的内心 和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的 圆心是 圆心是 的交点 叫做三角形的内心 的交点 叫做三角形的内心 例 7 在 ABC 中 A 62 点 I 是外接圆圆心 则 BIC 8 8 与圆有关的角与圆有关的角 O D C B A O D C B A O C B A P D O C B A 1 1 圆心角 圆心角 叫圆心角 叫圆心角 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 2 2 圆周角 圆周角 的角 叫圆周角 的角 叫圆周角 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 3 3 圆心角与圆周角的关系 圆心角与圆周角的关系 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 例 8 如图 A B C 是 O 上的三点 BAC 30 则 BOC 的大小是 A 60 B 45 C 30 D 15 例 9 如图 PA PB 是 O 的切线 切点分别为 A B 点 C 在 O 上 如果 P 50 那么 ACB 等于 A 40 B 50 C 65 D 130 二 基础达标练习 二 基础达标练习 1 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案 点 A B C D E 五等分圆 则 A B C D E 的度数是 A 180 B 15 0 C 135 D 120 二 填空题 二 填空题 1 如图 MN 所在的直线垂直平分弦 A B 利用这样的工具最少使用 次 就可找到圆形工件的圆心 三 能力提高训练 三 能力提高训练 1 小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题 在版面设计过程中需将 一个半圆面三等分 如图所示 请你帮助她设计一个合理的等分方 案 要求用尺规作出图形 保留作图痕迹 并简要写出作法 2 在足球比赛中 甲 乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻 当甲带 球冲到 A 点时 乙已跟随冲到 B 点 如图所示 此时甲自己直接射门好 还是迅速将球传给乙 让乙射门好吗 圆中的位置关系圆中的位置关系 1 1 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 A点在圆 OA r B点在圆 OB r C点在圆 OC r 2 2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设 O半径为 圆心到直线 距离为 rld 与 O相交 r 与 O相切 r 与 O相离 rl dl dl d 例 1 Rt ABC 中 C 90 AC 3cm BC 4cm 给出下列三个结论 以点 C 为圆心 1 3 cm 长为半径的圆与 AB 相离 以点 C 为圆心 2 4cm 长为半径的圆 与 AB 相切 以点 C 为圆心 2 5cm 长为半径的圆与 AB 相交 上述结论中正确的个数是 A 0 个 B l 个 C 2 个 D 3 个 3 3 切线性质 圆的切线 切线性质 圆的切线 于经过切点的半径于经过切点的半径 4 4 切线识别 切线识别 经过半径的经过半径的 内 外 端且 内 外 端且 于这条半径的直线是圆的切线 于这条半径的直线是圆的切线 例 2 如图 PA 为 O 的切线 A 为切点 PO 交 O 于点 B PA 4 OA 3 则 cos APO 的值为 3344 4553 ABCD 例 3 如右图 以点O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 是小圆的切线 点 P 为切点 两圆的半径分别为 5cm 和 3cm 则 AB 例 4 如图 AB是 O的直径 B 45 AC AB AC是 O的切线吗 写出详细的过程 5 5 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1 1 用公共点的个数来区分 用公共点的个数来区分 两个圆如果没有公共点 那么就说这两个圆两个圆如果没有公共点 那么就说这两个圆 如图 如图 3 3 的的 两个圆有一个公共点 那么就说这两个圆两个圆有一个公共点 那么就说这两个圆 如图 如图 3 3 的的 两个圆有两个公共点 那么就说这两个圆两个圆有两个公共点 那么就说这两个圆 如图 如图 3 3 的的 2 用数量关系来区别 用数量关系来区别 设两圆的半径分别为 圆心距为 1 r 2 r 21 rr d 两圆的位置关系数量关系及其识别方法 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 例 5 已知相切两圆的半径分别为 3cm 和 2cm 则两圆的圆心距是 cm 例 34 O B A P 6 6 切线长定理 切线长定理 从圆从圆 一点可以引圆的一点可以引圆的 条切线 它们的切线长条切线 它们的切线长 这一点和圆心的连线 这一点和圆心的连线 这两条切线的这两条切线的 角 角 即 如右图 即 如右图 PA PB 分别为分别为 O 的切线 切点分别为的切线 切点分别为 A B 则 则 PA PB PO 平分平分 例例 6 填空 填空 1 如图 PA PB 分别为 O 的切线 切点分别为 A B P 60 PA 10cm 那么 AB 的长为 2 如图 PA PB 分别为 O 的切线 AC 为直径 切点分别为 A B P 70 则 C 二 基础达标练习 二 基础达标练习 一 选择题 一 选择题 1 已知 O的半径为 6 A为线段PO的中点 当OP 10 时 点A与 O的位置关系为 A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 不确定 2 圆最长弦为 12 如果直线与圆相交 且直线与圆心的距离为 那么 cmd A B C D cmd6 cmdcm126 cmd6 cmd12 3 已知圆 O1和 O2的半径的 6cm 和 8cm 当O1O2 12cm 时 O1和 O2的位置关系为 A 外切 B 相交 C 内切 D 内含 4 两圆半径和为 24cm 半径之比为 1 2 圆心距为 8cm 则两圆的位置关系为 A 外离 B 相交 C 内切 D 外切 5 两个同心圆的半径分别为 1cm 和 2cm 大圆的弦 AB 与小圆相切 那么 AB A B 2 C 3 D 4 33 6 已知两圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm 圆心距为 1cm 那么两圆的位置关系是 A 相离 B 相交 C 内切 D 外切 7 两圆既不相交又不相切 半径分别为 3 和 5 则两圆的圆心距 d 的取值范围是 A d 8 B 0 d 2 C 2 d 8 D 0 d 2 或 d 8 二 填空题 二 填空题 1 在 ABC 中 C 90 AC 3cm BC 4cm CM 是中线 以 C 为圆心 以 3cm 长为半径画圆 则对 A B C M 四点 在圆外的有 在圆上的有 在圆内的有 2 ABC 中 C 90 AC 3 CB 6 若以 C 为圆心 以 r 为半径作圆 那么 当直线 AB 与 C 相离时 r 的取值范围是 当直线 AB 与 C 相切时 r 的取值范围是 当直线 AB 与 C 相交时 r 的取值范围是 3 已知半径为 3 cm 4cm 的两圆外切 那么半径为 6 cm 且与这两圆都外切的圆共有 个 4 已知 O1和 O2相外切 且圆心距为 10cm 若 O1的半径为 3cm 则 O2的半径为 cm B A P O O A B P 4 5 P C B A O 5 已知两圆半径分别为 4cm 和 2cm 圆心距为 10cm 则两圆的内公切线的长为 cm 6 已知两圆的圆心距是 5 两圆的半径是方程的两实根 则两圆的位置关系021204 2 xx 是 三 解答题 三 解答题 1 如图 已知两同心圆 大圆的弦 AB 切小圆于 M 若环形的面积为 9 求 AB 的长 2 如图 PA 切 O 于 A PB 切 O 于 B APB 90 OP 4 求 O 的半径 三 能力提高训练 三 能力提高训练 1 1 已知 如图 AB 是 O 的直径 BC 是和 O 相切于点 B 的切线 O 的弦 AD 平行于 OC 求证 DC 是 O 的切线 圆中的有关计算圆中的有关计算 1 1 弧长的计算弧长的计算 如果弧长为l 圆心角度数为n 圆的半径为r 那么 弧长 l 例 1 填表 半径r圆心角度数n弧长l 1036 5 2 120 12 圆周率用表示即可 2 2 扇形面积计算 扇形面积计算 方法一 如果已知扇形圆心角为n 半径为r 那么扇形面积 s 方法二 如果已知扇形弧长为l 半径为r 那么扇形面积 s 例 2 填表 半径r圆心角度数n弧长l扇形面积s 1036 6 6 2 6 4 例 3 3 3 圆锥的侧面积与表面积圆锥的侧面积与表面积 1 如图 1 为圆锥的 为圆锥的 为圆锥的 har 由勾股定理可得 之间的关系为 ahr 2 如图 2 圆锥的侧面展开后一个 圆锥的母线是扇形的 而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 故 圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 圆锥的表面积 例 4 看图 1 填表 rha 底面积 底面圆的 周长 侧面积 表 全 面 积 35 513 68 圆周率用表示即可 二 二 基础达标练习 基础达标练习 填空题 填空题 1 在半径为 3 的 O 中 弦 AB 3 则 AB 的长为 2 圆锥底面半径为 6cm 母线长为 10cm 则它的侧面展开图圆心角等于 表面积为 3 已知扇形的圆心角为 150 它所对弧长为 20 cm 则扇形的半径是 cm 扇形的面 积是 cm2 4 一个圆锥的侧面展开图形是半径为 4cm 的半圆 那么这个圆锥的底面半径等于 cm 选择题 选择题 1 扇形的周长为 16 圆心角为 则扇形的面积为 A 16 B 32 C 64 D 16 2 一个扇形的弧长为 面积为则这个扇形的圆心角是 20cm 240 2 cm A B C D 120 150 210 240 2 一个扇形的半径为 30cm 圆心角为 120 用它做成一个圆锥的侧面 则圆锥的底面圆 图 1 图 2 的半径是 A 10 B 12 C 14 D 15cmcmcmcm 3 扇形的弧长为 4 扇形的半径为 3 则其面积为 A 12 B 6 C 7 D 1 5 4 若圆锥的底面半径为 3 母线长为 5 则它的侧面展开图的圆心角等于 A 108 B 144 C 180 D 216 5 若圆锥的底面直径