2011届高三数学回归课本

用心 爱心 专心 20112011 届高三数学回归课本届高三数学回归课本 第一节第一节 集合与逻辑集合与逻辑 1 1 集合中元素的特征 确定性 互异性 无序性 如 已知集合 且 则 lg xyxyxA 0 yxBAB x y 答 1 1xy 2 2 区分集合中元素的形式 如 函数的定义域 函数的值域 图象上的 xyxlg xyylg xyyxlg 点集 如 1 设集合 集合 N 则 3 Mx yx 2 1 y yxxM MN 2 设集合 1 2 3 4 Ma aR 2 3 4 5 Na a R 则 NM 答 1 2 2 3 3 集合的交 并 补运算 ABx xAxB 且 ABx xAxB 或 u Ax xU xB UUUU ABAABBABBAABAB UUU ABAB 如 已知 如果 则的取值范围是 答 012 2 xaxxA RA a 0a 4 4 条件为 在讨论的时候不要遗忘了的情况BA A 空集是指不含任何元素的集合 注意和的区别 空集是任何集合的子集 是任何 非空集合的真子集 含个元素的集合的子集个数为 真子集个数为 n2n21 n 如 满足集合有 个 答 7 1 2 1 2 3 4 5 M M 5 5 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 已知函数在区间上至少存在一个实数 12 2 24 22 ppxpxxf 1 1 c 使 则实数的取值范围为 答 0 cfp 3 3 2 6 6 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 互pq qp pq qp 为逆否的 两个命题是等价的 7 7 若且则是的充分非必要条件 或是的必要非充分条件 pq q ppqqp 用心 爱心 专心 如 是的 条件 答 充分不必要条件 sinsin 8 8 注意命题的否定与它的否命题的区别 pq 命题的否定是 否命题是pq pq pq 命题 或 的否定是 且 且 的否定是 或 pqp q pqp q 如 若和都是偶数 则是偶数 的否命题是 abba 它的否定是 答 否命题 若和都是偶数 则是奇数 否定 若和不都是偶数 则abba ab 是奇数 ba 函数与导数函数与导数 9 9 指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN 如 的值为 答 2 log81 2 1 64 1010 基本初等函数类型 1 一次函数yaxb 2 二次函数 三种形式 一般式 顶点式 2 f xaxbxc 2 f xa xhk 零点式 12 f xa xxxx 区间最值 配方后一看开口方向 二讨论对称轴与区间的相对位置关系 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 的两端点处取得 具体如下 如 若函数的定义域 值域都是闭区间 则 答 2 42 2 1 2 xxy 2 2 bb 根的分布 画图 研究 0 轴与区间关系 区间端点函数值符号 若 则方程在区间内至少有一个实根 0f m f n 0 xf m n 设 则 1 方程在区间内有根的充要条件为 2 f xxpxq 0 xf m 0 mf 或 2 40 2 pq p m 方程在区间内有根的充要条件为0 xf m n 用心 爱心 专心 0f m f n 2 40 2 0 0 pq p mn f m f n 0 0 f m af n 0 0 f n af m 方程在区间内有根的充要条件为或 0 xf n 0f m 2 40 2 pq p m 3 反比例函数 平移 对称中心为 两条渐近线 0 c yx x c ya xb b a 4 对勾函数 是奇函数 当时 在递减 a yx x 0a 0 a 0 a 递增 当时 函数为区间上的增函数 aa 0a 0 0 1111 函数的单调性 定义法 设那么 1212 x xa bxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 导数法 注意能推出为增函数 但反之不一定 如函数在上0 x f xf 3 xxf 单调递增 但 是为增函数的充分不必要条件 0 x f0 x f xf 复合函数由同增异减的判定法则来判定 如 1 已知奇函数是定义在上的减函数 若 则实数 xf 2 2 0 12 1 mfmf 的取值范围为 答 m 12 23 m 2 已知函数在区间上是增函数 则的取值范围是 答 3 f xxax 1 a 3 3 如函数的单调递增区间是 答 2 1 2 log2yxx 1 2 1212 函数的奇偶性 是偶函数 f x fxf xfx 是奇函数 f x fxf x 定义域含 0 的奇函数满足 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必 0 0f 要不充分的条件 多项式函数的奇偶性 1 10 nn nn P xa xaxa 多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零 P x P x 多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零 P x P x 用心 爱心 专心 1313 周期性 1 类比 三角函数图像 得 若图像有两条对称轴 则必是周期函数 且一 yf x xa xb ab yf x 周期为 2 Tab 若图像有两个对称中心 则是周期函数 yf x 0 0 A aB bab yf x 且一周期为 2 Tab 如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴则函数 yf x 0 A a xb ab 必是周期函数 且一周期为 yf x 4 Tab 如定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在上至少有R f x 0f x 2 2 个实数根 答 5 个 2 由周期函数的定义 函数满足 则是周期为 f x xafxf 0 a f x 的周期a 函数 得 函数满足 则是周期为 2的周期函数 f x xafxf f xa 若成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 如 1 设是上的奇函数 当时 则 xfR 2 xfxf 10 xxxf 等于 答 5 47 f5 0 2 定义在上的偶函数满足 且在上是减函数 若R f x 2 f xf x 3 2 是锐角三角形的两个内角 则的大小关系为 答 sin cos ff sin cos ff 1414 常见的图象变换 1 函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右 axfy xfy x 0 a 平移个单位得到的 0 aa 2 函数 的图象是把函数助图象沿轴向上或向下 xfy a xfy y 0 a 平移个单位得到的 0 aa 3 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得 axfy 0 a xfy x a 1 到的 4 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍 xafy 0 a xfy ya 得到的 如 1 要得到的图像 只需作关于 轴对称的图像 再向 平 3lg xy xylg 移 3 个单位而得到 答 右 y 2 若函数是偶函数 则函数的对称轴方程是 答 21 yfx 2 yfx 1 2 x 3 函数的图象与轴的交点个数有 个 答 个 lg 2 1f xxx x 用心 爱心 专心 4 将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 再将此图像沿 yf x 1 3 轴方向向左平移 2 个单位 所得图像对应的函数为 答 x 36 fx 1515 函数的对称性 1 满足条件的函数的图象关于直线对称 f xaf bx 2 ab x 2 若 则图象关于直线对称 两函数 f axf bx f x 2 ab x 与图象关于直线对称 f ax yf bx 2 ba x 如 1 已知二次函数满足条件且方程 0 2 abxaxxf 3 5 xfxf 有等根 则 答 xxf xf 2 1 2 xx 2 已知函数 求证 函数的图像关于点成中心 1 Ra xa ax xf xf 1 M a 对称图形 3 的图象先保留原来在轴上方的图象 作出轴下方的图象关于轴 f x f xxxx 的对称图形 然后擦去轴下方的图象得到 的图象先保留在轴右方的图象 x fx f xy 擦去轴左方的图象 然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到 如 1 作出函yyy 数及的图象 2 若函数是定义在 R 上的奇函数 2 log 1 yx 2 log 1 yx xf 则函数的图象关于 对称 答 轴 xfxfxF y 1616 函数定义域 值域 单调性等题型方法总结 1 判定相同函数 定义域相同且对应法则相同 2 求函数解析式的常用方法 待定系数法 已知所求函数的类型 如已知为二次函数 且 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段 f x 2 2 xfxf 长为 2 则的解析式为 答 2 f x 2 1 21 2 f xxx 代换 配凑 法 已知形如的表达式 求的表达式 f g x f x 如 1 已知求的解析式 答 sin cos1 2 xxf 2 xf 242 2 2 2 f xxxx 2 若 则函数 答 2 2 1 1 x x x xf 1 xf 2 23xx 3 若函数是定义在 R 上的奇函数 且当时 那么 xf 0 x 1 3 xxxf 当时 答 0 x xf 3 1 xx 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即的定义域应是的值域 f x g x 方程的思想 对已知等式进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 f x 如 1 已知 则的解析式 答 2 32f xfxx f x 2 3 3 f xx 用心 爱心 专心 2 已知是奇函数 是偶函数 且 则 f x xg f x xg 1 1 x f x 答 2 1 x x 3 求定义域 使函数解析式有意义 如 分母 偶次根式被开方数 对数真数 底数 零指数幂的底数 实际问题有意义 若 f x 定义域为 a b 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出 若 f g x 定义域为 a b 则 f x 定义域相当于 x a b 时 g x 的值域 如 1 函数定义域为 则定义域为 答 xfy 2 2 1 log2xf 42 xx 2 若函数的定义域为 则函数的定义域为 答 1 5 2 1 f x 2 1 f x 4 求值域方法 配方法 如 函数的值域 答 4 8 2 25 1 2 yxxx 逆求法 反求法 如 通过反解 用来表示 再由的取值范围 3 1 3 x x y y3x3x 通过解不等式 得出的取值范围为 答 0 1 y 换元法 如 1 的值域为 答 2 2sin3cos1yxx 17 4 8 2 的值域为 答 令 运用211yxx 3 1xt 0t 换元法时 要特别要注意新元 的范围 t 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 如 的值域 答 2sin1 1 cos x y x 3 2 不等式法 利用基本不等式求函数的最值 2 abab a bR 如设成等差数列 成等比数列 则的取值范围是 12 x a ay 12 x b by 2 12 1 2 aa bb 答 0 4 单调性法 函数为单调函数 可根据函数的单调性求值域 如求 的值域分 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 2 3 2log5 x yx 别为 答 80 0 9 11 9 2 0 数形结合 根据函数的几何图形 利用数型结合的方法来求值域 用心 爱心 专心 如 1 已知点在圆上 则及的取值范围分别为 P x y 22 1xy 2 y x 2yx 2 求函数的值域 22 2 8 yxx 答 33 33 5 5 10 判别式法 如 1 求的值域 答 2 1 x y x 1 1 2 2 2 求函数的值域 答 2 3 x y x 1 0 2 3 求的值域 答 2 1 1 xx y x 3 1 导数法 分离参数法 如 1 求函数 的最小值 答 48 32 2440f xxxx 3 3 x 2 用 2 种方法求下列函数的值域 32 1 1 32 x yx x 0 3 2 x x xx y 0 1 3 2 x x xx y 5 解应用题 审题 理顺数量关系 建模 求模 验证 6 恒成立问题 分离参数法 最值法 化为一次或二次方程根的分布问题 恒成立 恒成立 af x max af x af x min af x 7 任意定义在 R 上函数 f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和 即 f xg xh x 其中是偶函数 是奇函数 2 f xfx g x 2 f xfx h x 8 利用一些方法 如赋值法 令 0 或 1 求出或 令或等 x 0 f 1 fyx yx 递推法 反证法等 进行逻辑探究 如 1 若 满足 则的奇偶性是 答 xR f x f xyf x f y f x 奇函数 2 若 满足 则的奇偶性是 答 偶xR f x f xyf x f y f x 函数 3 已知是定义在上的奇函数 当时 的图像如右图所示 f x 3 3 03x f x 那么 不等式的解集是 答 cos0f xx A 1 0 1 3 22 4 设的定义域为 对任意 都有 f xR x yR x ff xf y y y 用心 爱心 专心 且时 又 1x 0f x 1 1 2 f 求证为减函数 解不等式 答 f x2 5 f xfx 0 14 5 1717 1 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线 xfy 0 x xfy 0 x 在处的切线的斜率 相应的切线方程是 xfy 00 xfxP 0 x f 000 xxxfyy 2 导数几何物理意义 k f x0 表示曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处切线的斜率 V s t 表示 t 时刻即时速度 a v t 表示 t 时刻加速度 如一物体的运动方程是 其中的单位是米 的单位是秒 那么物体在时的瞬时速度为 2 1stt st3t 答 5 米 秒 1818 几种常见函数的导数 1 C 为常数 2 0 C 1 n n xnxnQ 3 4 xxcos sin xxsin cos 5 6 x x 1 ln e a x x alog 1 log xx ee aaa xx ln 1919 导数的运算法则 1 2 3 uvuv uvuvuv 2 0 uuvuv v vv 2020 复合函数的求导法则 设函数在点处有导数 函数在点处的对应点 U 处有 ux x x ux ufy x 导数 则复合函数在点处有导数 且 或写作 u yf u yfx x xux yyu x fxf ux 2121 判别是极大 小 值的方法 当函数在点处连续时 0 xf xf 0 x 1 如果在附近的左侧 右侧 则是极大值 0 x0 x f0 x f 0 xf 2 如果在附近的左侧 右侧 则是极小值 0 x0 x f0 x f 0 xf 2222 导数应用 过某点的切线不一定只有一条 如 已知函数 过点作曲线的切线 求此切线的方程 3 3f xxx 2 6 P yf x 答 或 30 xy 24540 xy 研究单调性步骤 分析 y f x 定义域 求导数 解不等式 f x 0 得增区间 解不等式 f x 0 得减区间 注意 f x 0 的点 如 设函数在上单调函数 则实数的取值范围 0 aaxxxf 3 1 a 答 03a 求极值 最值步骤 求导数 求的根 检验在根左右两侧符号 若左正右负 0 x f x f 则 f x 在该根处取极大值 若左负右正 则 f x 在该根处取极小值 把极值与区间端点函数值 比较 最大的为最大值 最小的是最小值 如 1 函数在 0 3 上的最大值 最小值分别是51232 23 xxxy 答 5 15 用心 爱心 专心 2 已知函数在区间 1 2 上是减函数 那么b c有最 32 f xxbxcxd 值 答 大 15 2 3 方程的实根的个数为 答 1 01096 23 xxx 特别提醒 1 是极值点的充要条件是点两侧导数异号 而不仅是 0 0 x 0 x 0 fx 0 是为极值点的必要而不充分条件 2 给出函数极大 小 值的条件 一定要既 0 fx 0 x 考虑 又要考虑检验 左正右负 左负右正 的转化 否则条件没有用完 0 0fx 这一点一定要切记 如 函数处有极小值 10 则 a b 的值为 答 322 1f xxaxbxax 在 7 第三节第三节 数列数列 2424 等差数列中 an a1 n 1 叠加法 Sn 倒序相加法 d nn na 2 1 1 d nn nan 2 1 2 1n aan 等比数列中 an a1 qn 1 叠乘法 当 q 1 Sn na1 当 q 1 Sn 错位相 q qa n 1 1 1 q qaa n 1 1 减法 2525 常用性质 结论 1 等差数列中 an am n m d 当 m n p q am an ap aq nm aa d nm 等比数列中 an amqn m 当 m n p q mnpq a aa a 如 在等比数列中 公比 q 是整数 则 答 n a 3847 124 512aaa a 10 a 512 各项均为正数的等比数列中 若 n a 56 9aa 则 答 10 3132310 logloglogaaa 2 常见数列 an bn 等差则 kan tbn 等差 an bn 等比则 kan k 0 anbn 等比 an 等差 则 c 0 成等比 bn bn 0 等比 则 logcbn c 0 且 n b 1 n n b a n a c c1 等差 3 在等差数列中 n a 若项数为 则 n2 ndSS 奇偶 n n a a S S 1 奇 偶 若数为则 12 n 1 n aSS 偶奇 n n S S 1 偶 奇 211 21 nn Sna 在等比数列中 若项数为 则 若数为则 n an2q S S 奇 偶 12 nq S aS 偶 奇1 用心 爱心 专心 4 等差数列 an 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等差数列 等比数列 an 的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等比数列 如 公比为 1 时 不成等比数列 4 S 8 S 4 S 12 S 8 S 2626 等差三数为 a d a a d 四数 a 3d a d a d a 3d 等比三数可设 a aq a q 四个数成等比的错误设法 aq aq3 为什么 3 a q a q 如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的 和是 16 第二个数与第三个数的和为 12 求此四个数 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 2727 等差 等比数列的判定 1 2 2 111 中项常数 等差 Nnnaaadaaa nnnnnn 0 2 BAbaBnAnsbana nn 的二次常数项为一次 2 2 nn 1n 1 n 1n aaa n2 nN a q a0 n n a a 等比定 1 n1 aa nn n qsmm q 如若是等比数列 且 则 答 1 n a3n n Sr r 2828 首项正的递减 或首项负的递增 等差数列前 n 项和最大 或最小 问题 转化为解不等式 或用二次函数处理 等比前 n 项积 由此你能求一般数列中的最 0 0 0 0 11 n n n n a a a a 或 大或最小项吗 如 1 等差数列中 问此数列前多少项和最大 并求此最大值 n a 1 25a 917 SS 答 前 13 项和最大 最大值为 169 2 若是等差数列 首项 则使前n项和 n a 1 0 a 20032004 0aa 20032004 0aa 成立的最大正整数n是 0 n S 答 4006 2929 求和常法 公式 分组 裂项相消 错位相减 倒序相加 关键找通项结构 分组法求数列的和 如 an 2n 3n 错位相减法求和 如 an 2n 1 2n 裂项法求和 如 求和 答 倒序相加法求和 111 1 12123123n 2 1 n n 如 求证 012 35 21 1 2 nn nnnn CCCnCn A 用心 爱心 专心 已知 则 答 2 2 1 x f x x 111 1 2 3 4 234 fffffff 7 2 3030 求数列 an 的最大 最小项的方法 函数思想 an 1 an 如 an 2n2 29n 3 an 0 如 an 0 0 0 1 1 1 1 n n a a n n n 10 1 9 an f n 研究函数 f n 的增减性 如 an 156 2 n n 3131 求通项常法 1 已知数列的前 n 项和 求通项 可利用公式 n s n a 1 n1 n1 S n2 n n S a S 如 数列满足 求 答 n a 12 2 111 25 222 n n aaan n a 1 14 1 2 2 n n n a n 2 先猜后证 3 递推式为 f n 采用累加法 f n 采用累积法 1n a n a 1n a n a 如已知数列满足 则 n a 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n n a 答 121 n an 4 构造法形如 为常数 的递推数列 1nn akab 1 n nn akab k b 如 已知 求 答 11 1 32 nn aaa n a 1 2 31 n n a A 5 涉及递推公式的问题 常借助于 迭代法 解决 适当注意以下 3 个公式的合理 运用 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 an 1 1 2 2n 1n 1n n a a a a a a a 6 倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项 1 1 n n n a a kab 如 已知 求 答 1 1 1 1 31 n n n a aa a n a 1 32 n a n 已知数列满足 1 求 答 1 a 11nnnn aaa a n a 2 1 n a n 用心 爱心 专心 7 常见和 2221 12 1 21 6 nn nn 33332 1 123 2 n n n 第四节第四节 三角函数三角函数 3232 终边相同 2k 弧长公式 扇形面积公式 1 弧度 1rad lR 211 22 SlRR 57 3 如 已知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 3333 函数 y b sin xA0 0 A 五点法作图 振幅 相位 初相 周期 T 频率 2 如 1 函数的奇偶性是 答 偶函 5 2 2 ysinx 数 2 已知函数为常数 且 则 3 1f x axbsin x a b 57f 5f 答 5 3 函数的图象的对称中心和对称轴分别是 cos sincos2xxxy 答 1 28 k kZ 28 k x kZ 4 已知为偶函数 求的值 答 3f x sin x cos x 6 k kZ 变换 正左移负右移 b 正上移负下移 3434 正弦定理 2R 内切圆半径 r A a sinB b sinC c sincba S ABC 2 余弦定理 a b c 2bc 222 Acos bc acb A 2 cos 222 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 术语 坡度 仰角 俯角 方位角 以特定基准方向为起点 一般为北方 依顺时针方 式旋转至指示方向所在位置 其间所夹的角度称之 方位角 的取值范围是 0 36 0 3535 同角基本关系 如 已知 则 1 1tan tan cossin cos3sin 2cossinsin 2 答 3 5 5 13 3636 诱导公式简记 奇变偶不变 符号看象限 看作第一象限 用心 爱心 专心 3737 重要公式 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 如 函数的单调递增区间为 2 55 3f x sinxcos xcos x 5 3 2 xR 答 5 1212 k k kZ 巧变角 如 2 等 2 2 2 222 如 1 已知 那么的值是 答 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 3 22 2 已知为锐角 则与的函 sin cosxy 3 cos 5 yx 数关系为 答 2 343 1 1 555 yxxx 3838 辅助角公式中辅助角的确定 其中 22 sincossinaxbxabx tan b a 如 1 当函数取得最大值时 的值是 答 23ycos xsinx tanx 3 2 2 如果是奇函数 则 答 2 sin2cos f xxx tan 第五节第五节 平面向量平面向量 3939 向量定义 向量模 零向量 单位向量 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反 向量 的相反向量是 共线向量 相等向量aa 注意 不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 4040 加 减法的平行四边形与三角形法则 ACBCAB CBACAB 4141 bababa 如 在中 M 为 BC 的中点 则ABCDA 3ABa ADb ANNC 用表示 MN a b 答 11 44 ab 4242 向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 ab 0aba b 当 同向时 特别地 当与反向aba ba b 2 22 aa aaaa ab 时 当为锐角时 0 且不同a ba b a b a b 向 是为锐角的必要非充分条件 当为钝角时 0 且不反向 0a b a b a b 是为钝角的必要非充分条件 如 1 已知 0a b a ba b 2 a 用心 爱心 专心 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 答 或 2 3 b a b 4 3 且 0 1 3 4343 向量 b 在方向上的投影 b cos a a ba 4444 和是平面一组基底 则该平面任一向量 唯一 1 e 2 e 2211 eea 21 特别 则是三点 P A B 共线的充要条件如平面直角坐OP 12 OAOB 12 1 标系中 为坐标原点 已知两点 若点满足 其O 1 3 A 3 1 BC OC OBOA 21 中且 则点的轨迹是 R 21 1 21 C 答 直线 AB 4545 在中 ABC 为的重心 特别地为的重心 1 3 PGPAPBPC G0PAPBPCP 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直 0 ACAB ABAC ABC BAC 线 如 1 若 O 是所在平面内一点 且满足 则ABCA2OBOCOBOCOA 的ABCA 形状为 答 直角三角形 2 若为的边的中点 所在平面内有一点 满足DABC BCABC P 设 则的值为 答 2 3 若点是的外0PABPCP AP PD OABC 心 且 则的内角为 答 0OAOBCO ABC C 120 4646 P 分的比为 则 0 内分 0 且 1 外分 21P P PP1 2 PP OP 1 21 OPOP 若 1 则 设 P x y P1 x1 y1 P2 x2 y2 则OP 2 1 1 OP 2 OP 中点重心 1 1 21 21 yy y xx x 2 2 21 21 yy y xx x 3 yyy y 3 xxx x 321 321 第六节第六节 不等式不等式 4747 注意课本上的几个性质 另外需要特别注意 用心 爱心 专心 若 ab 0 则 即不等式两边同号时 不等式两边取倒数 不等号方向要改变 ba 11 如果对不等式两边同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负号未定 要注 意分类讨论 如 已知 则的取值范围是 答 11xy 13xy 3xy 137xy 4848 比较大小的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量与 0 比 与 1 比或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如 1 设 比较的大小 答 当时 0 10 taa且 2 1 loglog 2 1 t t aa 和1a 时取等号 当时 时 11 loglog 22 aa t t 1t 01a 11 loglog 22 aa t t 1t 取等号 2 设 试比较的大小 答 2a 1 2 pa a 24 2 2 aa qqp pq 4949 常用不等式 若 0 ba 1 当且仅当时取等号 22 2 2211 abab ab ab ba 2 a b cR 当且仅当时 取等号 222 abcabbcca abc 3 若 则 糖水的浓度问题 0 0abm bbm aam 如 如果正数 满足 则的取值范围是 答 ab3 baabab 9 基本变形 ba 2 2 ba 注意 一正二定三取等 积定和最小 和定积最大 常用的方法为 拆 凑 平方 如 函数的最小值 答 8 2 1 42 9 4 x x xy 若 则的最小值是 答 21xy 24 xy 2 2 正数满足 则的最小值为 答 x y21xy yx 11 用心 爱心 专心 32 2 5050 证法 比较法 差比 作差 变形 分解或通分配方 定号 另 商比 综合法 由因导 果 分析法 执果索因 反证法 正难则反 5151 解绝对值不等式 几何法 图像法 定义法 零点分段法 两边平方 公式法 f x g x f x g x 5252 分式 高次不等式 通分因式分解后用根轴法 穿线法 注意偶次式与奇次式符号 奇 穿偶回 如 1 解不等式 答 或 32 3 1 2 0 xxx 13x xx 或 2 x 2 解不等式 2 1 ax x aR ax 答 时 时 或 时 0a x0 x 0a 1 x x a 0 x 0a 或 1 0 xx a 0 x 第七节第七节 立体几何立体几何 5353 位置和符号 空间两直线 平行 相交 异面 判定异面直线用定义或反证法 直线与平 面 a a A a a 平面与平面 a 5454 常用定理 线面平行 a a b ba a a a a a 线线平行 ba b a a ba b a ba b a bc ca ba 面面平行 ba Oba ba a a 线线垂直 ba b a 线面垂直 l blal Oba ba a laa l a a b a ba 面面垂直 二面角 900 a a a a 5555 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体间联系 用心 爱心 专心 三棱锥中 侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等 顶点在底面射影为底面外心 侧棱两两 垂直 两对对棱垂直 顶点在底面射影为底面垂心 斜高相等 侧面与底面所成相等 顶点 在底面射影为底面内心 正棱锥各侧面与底面所成角相等为 则 S侧cos S底 正三角形四 心 内切外接圆半径 5656 球 表面积 S球 4 R2 体积 V球 R3 3 4 5757 常用转化思想 构造四边形 三角形把问题化为平面问题 将空间图展开为平面图 割 补法 等体积转化 线线平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂 直 有中点等特殊点线 用 中位线 重心 转化 第八节第八节 解析几何解析几何 5858 倾斜角 0 900斜率不存在 斜率 k tan 12 12 xx yy 5959 直线方程 点斜式 y y1 k x x1 斜截式 y kx b 一般式 Ax By C 0 两点式 截距式 a 0 b 0 12 1 12 1 xx xx yy yy 1 b y a x 求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解 直线 Ax By C 0 的方向向量为 A B a 6060 两直线平行和垂直 若斜率存在 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2则 l1 l2k1 k2 b1 b2 l1 l2k1k2 1 若 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则 l1 l2A1A2 B1B2 0 若 A1 A2 B1 B2都不为零 l1 l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1 l2则化为同 x y 系数后距离 d 22 21 BA CC 6161 点线距 d 22 00 BA CByAx 6262 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 6363 若 x0 a 2 y0 b 2r2 则 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2内 上 外 6464 直线与圆关系 常化为线心距与半径关系 如 用垂径定理 构造 Rt 解决弦长问题 又 r相离 d r相切 dr R两圆 相离 d r R两圆相外切 R r d r R两圆相交 d R r 两圆相内切 db 0 参数方程 定义 e2c1 b y a x 2 2 2 2 sinby cosax 相应 d PF e a2 b2 c2 长轴长为 2a 短轴长为 2b 焦半径左 PF1 a ex 右 PF2 a ex 2 2 a b 1 a c 左焦点弦 右焦点弦 准线 x 通径 最短焦点弦 xx ea2AB BA xx ea2AB BA c a2 焦准距 p a b2 2 c b2 6868 双曲线 方程 a b 0 定义 e 1 PF1 1 b y a x 2 2 2 2 相应 d PF PF2 2a0 上 A x1 y1 B x2 y2 中1 b y a x 2 2 2 2 点为 M x0 y0 则 KABKOM 对抛物线 y2 2px p 0 有 KAB 2 2 a b 21 yy p2 7474 轨迹方程 直接法 建系 设点 列式 化简 定范围 定义法 几何法 代入法 动点 P x y 依赖 于动点 Q x1 y1 而变化 Q x1 y1 在已知曲线上 用 x y 表示 x1 y1 再将 x1 y1代入已知曲线即得所 求方程 参数法 交轨法等 7575 解题注意 考虑圆锥曲线焦点位置 抛物线还应注意开口方向 以避免错误 求圆锥曲 线方程常 用待定系数法 定义法 轨迹法 焦点 准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明 过程 运用假设技巧以简化计算 如 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线 方程可设为 Ax2 Bx2 1 共 渐进线的双曲线标准方程可设为为参数 0 抛物线 y2 2px 上点可设x a b y b y a x 2 2 2 2 为 y0 p2 y2 0 直线的另一种假设为 x my a 解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义 7676 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 000 P xy 00 yyk xx 其中是待定的系数 经过定点的直线系方程为 0 xx k 000 P xy 其中是待定的系数 00 0A xxB yy A B 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 的直线系方程为 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系ykxb 方程 与直线平行的直线系方程是 是参0AxByC 0AxBy 0 变量 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是0AxByC 是参变量 0BxAy 7777 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种若 00 P xy 222 rbyax 22 00 daxby 则点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 7878 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 22 BA CBbAa d 0 交交rd0 交交rd0 交交rd 7979 圆的切线方程 用心 爱心 专心 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时必有 00 yyk xx 两条 切线 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 2 已知圆 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 8080 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 上 0 焦点在 y 轴上 8181 抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 8282 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 第九节第九节 排列 组合 二项式定理排列 组合 二项式定理 8383 计数原理 分类相加 每类方法都能独立地完成这件事 它是相互独立的 一次的且每 次得出 的是最后的结果 只需一种方法就能完成这件事 分步相乘 一步得出的结果都不是最后 的结果 任何一步都不能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件事 各步是关联 的 有序排列 无序组合 如 1 将 5 封信投入 3 个邮筒 不同的投法共有 种 答 5 3 2 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台 其中至少要甲型与乙型电视机 各一台 则不同的取法共有 种 答 70 3 从集合和中各取一个元素作为点的坐标 则在直角坐标系中 1 2 3 1 4 5 6 能确定不同点的个数是 答 23 4 72 的正约数 包括 1 和 72 共有 个 答 用心 爱心 专心 12 5 的一边 AB 上有 4 个点 另一边 AC 上有 5 个点 连同的顶点共 10 个点 A A 以这些点为顶点 可以构成 个三角形 答 90 8484 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 m n m n N m n A mn n 0 1 n n n n 1 n n n A 1 1 m n m n nAA 1 1 m n m n m n mAAA 8585 组合数公式 m n 123 2 1 1 1 mmm mnnn m A C m nm n mnm n 1 0 n C r n r n r n mn n m n CCCCC 1 1 CCCC 1r 1n r n r 1r r r 1 1 m n m n C m n C 8686 主要解题方法 优先法 特殊元素优先或特殊位置优先 如 某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室 走廊 大厅的地面 及楼的 外墙 现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择 其中 1 号石材有微量的放射性 不 可用于办公室内 则不同的装饰效果有 种 答 300 捆绑法 如 1 把 4 名男生和 4 名女生排成一排 女生要排在一起 不同的排法种数为 答 2880 2 某人射击 枪 命中 枪 枪命中中恰好有 枪连在一起的情况的不同种数为 答 20 插空法 如 1 3 人坐在一排八个座位上 若每人的左右两边都有空位 则不同的坐法种数有 种 答 24 2 某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如 果将 这两个节目插入原节目单中 那么不同的插法种数为 答 42 间接扣除法 如在平面直角坐标系中 由六个点 0 0 1 2 2 4 6 3 1 2 2 1 可以确定三角 形的个数为 答 15 隔板法 如 1 10 个相同的球各分给 3 个人 每人至少一个 有多少种分发 每人至少两个呢 答 36 15 2 某运输公司有 7 个车队 每个车队的车都多于 4 辆且型号相同 要从这 7 个车队中 抽出 10 辆车组成一运输车队 每个车队至少抽 1 辆车 则不同的抽法有多少种 答 84 先选后排 先分再排 注意等分分组问题 如某种产品有 4 只次品和 6 只正品 每只产品均不相同且可区分 今每次取出一只测试 直到 4 只次品全测出为止 则最后一只次品恰好在第五次测试时 被发现的不同情况种数是 用心 爱心 专心 答 576 8787 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 特别地 1 x n 1 Cn1x Cn2x2 Cnrxr Cnnxn 8888 二项展开式通项 Tr 1 Cnran rbr 作用 处理与指定项 特定项 常数项 有理项等有 关问题 要注意区别二项式系数与项的系数 8989 二项式系数性质 对称性 与首末两端等距的二项式系数相等 Cnm Cnn m 中间项二项