常微分方程模拟试卷1

填空题 1 方程 0M x y dxN x y dy 有只含x的积分因子的充要条件是 有只含 y 的积分因子的充要条件是 称为黎卡提方程 它有积分因子 称为伯努利方程 它有积分因子 若12 n X tXtXt 为n阶齐线性方程的n个解 则它们线性无关的充要条 件是 形如 的方程称为欧拉方程 若 t 和 t 都是 xA t x 的基解矩阵 则 t 和 t 具有的关系是 当方程的特征根为两个共轭虚根是 则当其实部为 时 零解是稳定的 对应 的奇点称为 二 计算题 1 3 0ydxxydy sincos2xxtt 若 21 14 A 试求方程组xAx 的解 1 2 0 t 并求 expAt 32 480 dydy xyy dxdx 求方程 2 dy xy dx 经过 0 0 的第三次近似解 6 求 1 5 dxdy xyxy dtdt 的奇点 并判断奇点的类型及稳定性 三 证明题 n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解 试卷答案 一填空题 MN yx x N MN yx y M 2 dy p x yQ x yR x dx yyz n dy p x yQ x y dx 1 np x dx n u x yye 12 0 n w x t x tx t 1 11 1 0 nn n nn nn d yddy xaaa y dxdxdx tt C 零 稳定中心 二计算题 解 因为 1 1 MN yx 所以此方程不是恰当方程 方程有积分因子 2 2 ln 2 1 dy yy yee y 两边同乘 2 1 y 得 3 2 0 dxxy dy yy 所以解为 3 2 1 x xyy dxdyc yyy 2 2 xy c y 即 2 2 xy yc 另外 y 0 也是解 线性方程0 xx 的特征方程 2 10 故特征根 i 1 sinf tt i 是特征单根 原方程有特解 cossin xt AtBt 代入原方程 A 1 2B 0 2 cos2ftt 2i 不是特征根 原方程有特解 cos2sin2xAtBt 代入原方程 1 3 A B 0 所以原方程的解为 12 11 cossincoscos2 23 xctctttt 解 2 21 690 14 p 解得 1 2 3 此时 k 11 2n 1 2 v 1 111233 22120 3 i tit i t t teAEe ti 由公式 expAt 1 0 in ti i t eAE i 得 333 101 11 exp 3 011 11 ttt tt AteEt AEete tt 解 方程可化为 3 2 8 4 dy y dx x dy y dx 令 dy p dx 则有 32 8 4 py x yp 两边对 y 求导 32232 2 4 8 4 dp y pypypy p dy 即 32 4 2 0 dp pyyp dy 由 20 dp yp dy 得 1 2 pcy 即 2 p y c 将 y 代入 2 2 2 4 cp x c 即方程的 含参数形式的通解为 2 2 2 2 4 cp x c p y c p 为参数 又由 32 40py 得 1 2 3 4 py 代入 得 3 4 27 yx 也是方程的解 解 00 2 10 0 225 20 0 410725118 30 0 0 2 4220 4400202204400160 x x x y x yxdx xxx yxdx xxxxxxx yxdx 解 由 10 50 xy xy 解得奇点 3 2 令 X x 3 Y y 2 则 dx xy dt dy xy dt 因为 11 11 1 1 0 故有唯一零解 0 0 由 22 11 21 1220 11 得 1i 故 3 2 为 稳定焦点 三 证明题 由解的存在唯一性定理知 n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解 10200 10200 111 10200 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n nnn n x tx tx t x tx tx t xtxtxt 考虑 10200 100 010 10 001 n w x tx tx t 从而 1 2 i x t in 是线性无关的 常微分方程期终试卷 2 一 填空题 30 1 形如 的方程 称为变量分离方程 这里 yxf 分别为 x y 的连 续函数 2 形如 的方程 称为伯努利方程 这里 xxQxP为 的连续函数 n 可化为线性方程 是常数 引入变量变换 1 0 3 如果存在常数 使得不等式 0 L 对于所有 称为利普希兹常数 都成立 LRyxyx 21函数 yxf 称为在 R 上关 于y满足利普希兹条件 4 形如 的方程 称为欧拉方程 这里 是常数 21 aa 5 设 是的基解矩阵 是 tAxxt tfxtAx 的某一解 则它的任一 解 可表为 t 二 计算题 40 1 求方程 的通解 2 6xy x y dx dy 2 求方程 xy e x y dx dy 的通解 3 求方程 t exxx 2 5 6 的隐式解 4 求方程 的第三次近似解 通过点 00 2 yx dx dy 三 证明题 30 1 试验证 t 12 2 t tt 是方程组 x tt 22 10 2 x x 2 1 x x 在任何不包含原点的区间 a bt 上的基解矩阵 2 设 t 为方程 x Ax A 为 n n 常数矩阵 的标准基解矩阵 即 0 E 证明 t 1 t0 t t0 其中 t0为某一值 常微分方程 期终试卷答卷 一 填空题 每空 5 分 1 yxf dx dy 2 n yxQyxP dx dy z n y 1 3 21 yxfyxf 21 yyL 4 0 1 1 1 1 1 ya dx dy xa dx yd xa dx yd x nn n n n n n n 5 ttt 二 计算题 每题 10 分 1 这是 n 2 时的伯努利不等式 令 z 1 y 算得dx dy y dx dz 2 代入原方程得到 xz xdx dz 6 这是线性方程 求得它的通解为 z 8 2 6 x x c 带回原来的变量 y 得到 y 1 8 2 6 x x c 或者 c x y x 8 86 这就是原方程的解 此外方程还有解 y 0 2 解 x yxe xye dx dy xy xy dxyxexdy xy dxxeydxxdy xy dxxedxy xy xdx e dxy xy 积分 cxe xy 2 2 1 故通解为 0 2 1 2 cex xy 3 解 齐线性方程 05 6 xxx 的特征方程为 056 2 5 1 21 故通解为 tt ecectx 5 21 2 不是特征根 所以方程有形如 t Aetx 2 把 tx 代回原方程 tttt eAeAeAe 2222 5124 21 1 A 于是原方程通解为 ttt eecectx 25 21 21 1 4 解 0 0 x x x dxxxx 0 2 2 01 2 202 5 0 2 2 12 xx dxxxx x 4400160202 1185 0 2 2 23 xxxx dxxxx x 三 证明题 每题 15 分 1 证明 令 t 的第一列为1 t t t 2 2 这时 1 t 2 2t tt 22 10 2 1 t 故1 t 是一个解 同样如果以2 t 表示 t 第二列 我们有2 t 0 1 tt 22 10 2 2 t 这样2 t 也是一个解 因此 t 是解矩阵 又因为 det t t 2 故 t 是基解矩阵 2 证明 1 t t t0 是基解矩阵 2 由于 t 为方程 x Ax 的解矩阵 所以 t 1 t0 也是 x Ax 的解矩阵 而当 t t0时 t0 1 t0 E t t0 0 E 故由解的存在唯一性定 理 得 t 1 t0 t t0 常微分方程期终试卷 3 一 解下列方程 10 8 80 1 1 2xylnydx 2 x 2 y 2 1y dy 0 2 dx dy 6x y x 2 y 3 y 2 2 1 2 yx y 4 x y 22 yx y 5 5 tgydx ctydy 0 6 6 y x 2 x 2 y dx xdy 0 7 一质量为 m 质点作直线运动 从速度为零的时刻起 有一个和时间成正比 比例系数为 1 k 的力作用在它上面 此外质点又受到介质的阻力 这阻力和速度成正比 比例系 数为2 k 试求此质点的速度与时间的关系 8 已知 f x x dttf 0 1 x 0 试求函数 f x 的一般表达式 二 证明题 10 2 20 9 试证 在微分方程 Mdx Ndy 0 中 如果 M N 试同齐次函数 且 xM yN 0 则 1 yNxM 是该方程的一个积分因子 10 证明 如果已知黎卡提方程的一个特解 则可用初等方法求得它的通解 试题答案 1 1 解解 M y 2xlny 2x N y 2x 则 MN yx M 2 ln 2ln xy xyy 1 y 故方 程有积分因子 y 1dy y e 1 y 原方程两边同乘以 1 y 得 2lnxyy y dx 2 2 2 1y y y x dy 0 是恰当方程 d 2 x lny y 2 1y dy 0 两边积分得方 程的解为 2 x lny 3 2 12 3 1 y C 2 2 解解 1 y 0 是方程的特解 2 当 y 0 时 令 z 1 y 得 dz dx 6 x z x 这是线性方程 解得它的通解为 z 2 6 8 c x x 代回原来的变量 y 得方程解为 1 y 2 6 8 c x x y 0 3 解解 令 x u 3 y v 2 可将原方程变为 dv du 2 2 v u v 再令 z v u 得到 z dz u u 2 2 1 z z 即 dz u u 2 2 1 1 z z z 分离变量并两端积分得 2 12 1 dz z z du u lnC 即 ln z 2arctgz ln u lnC ln zu 2arctgz lnC 代回原变量得 v C 2 v arctg u e 所以 原方程的解为 y 2 C 2 2 3 y arctg x e 4 4 解解 将方程改写为 y 2 1 x y x y 令 u x y 得到 x y x u u 则 变为 x dx du u 1 变量分离并两边积分得 arcsinu ln u lnC 故方程的解为 arcsinx y lnCx 5 5 解解 变量分离 ctgxdy tgydx 两边积分得 ln siny ln xcos C 或 sinycosx C 另外 由 tgy 0 或 ctgx 0 得 y k k 0 1 x t 2 t 0 1 也是方程 的解 tgy 0 或 ctgx 0 的解是 当 C 0 时的特殊情况 故原方程的解为 sinycosx C 6 解解 ydx xdy x 2 x 2 y dx 0 两边同除以 2 x 2 y 得 2 2 ydxxdy y x xdx 0 即 d arctg x y 1 2d 2 x 0 故原方程的解为 arctg x y 1 2 2 x C 7 解解 因为 F ma m dv dt 又 F 1F2F 12 tv kk 即 m dv dt 12 tv kk v 0 0 即 dv dt 12 tv kk v 0 0 解得 v 1 2 2 m k k 2t m k e 1 2 k k t 2 m k 8 解解 令 f x y 1 f x 0 x f t dt 两边求导得 1 y y 即 1 y y y 即 3 1 dy y dx 两边求积得 2 1 y 2x C 从而 y 1 2xC 故 f x 1 2xC 9 9 证明证明 如 M N 都是 n 次齐次函数 则因为 x xM y yM nM x xN y yN nN 故有 MN y xMyNx xMyN 2 yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 xxx xMyNN xMy xMyN NNM 2