平面向量与三角形四心

一些结论 以下皆是向量 1 若 P 是 ABC 的重心 PA PB PC 0 2 若 P 是 ABC 的垂心 PA PB PB PC PA PC 内积 3 若 P 是 ABC 的内心 aPA bPB cPC 0 abc 是三边 4 若 P 是 ABC 的外心 PA PB PC AP 就表示 AP 向量 AP 就是它的模 5 AP AB AB AC AC 0 则直线 AP 经过 ABC 内心 6 AP AB AB cosB AC AC cosC 0 经过垂心 7 AP AB AB sinB AC AC sinC 0 或 AP AB AC 0 经过重 心 8 若 aOA bOB cOC 则 0 为 A 的旁心 A 及 B C 的外角平分线的交点 以下是一些结论的有关证明 1 O 是三角形内心的充要条件是 aOA 向量 bOB 向量 cOC 向量 0 向量 充分性 已知 aOA 向量 bOB 向量 cOC 向量 0 向量 延长 CO 交 AB 于 D 根据向量加法得 OA OD DA OB OD DB 代入已知得 a OD DA b OD DB cOC 0 因为 OD 与 OC 共线 所以可设 OD kOC 上式可化为 ka kb c OC aDA bDB 0 向量 向量 DA 与 DB 共线 向量 OC 与向量 DA DB 不共线 所以只能有 ka kb c 0 aDA bDB 0 向量 由 aDA bDB 0 向量可知 DA 与 DB 的长度之比为 b a 所以 CD 为 ACB 的平分线 同理可证其它的两条也是 角平分线 必要性 已知 O 是三角形内心 设 BO 与 AC 相交于 E CO 与 AB 相交于 F O 是内心 b a AF BF c a AE CE 过 A 作 CO 的平行线 与 BO 的延长线相 交于 N 过 A 作 BO 的平行线 与 CO 的延长线相交于 M 所以四边形 OMAN 是平 行四边形 根据平行四边形法则 得 向量 OA 向量 OM 向量 ON OM CO 向量 CO ON BO 向量 BO AE CE 向量 CO AF BF 向量 BO c a 向量 CO b a 向量 BO a 向量 OA b 向量 BO c 向量 CO a 向量 OA b 向量 OB c 向量 OC 向 量 0 2 已知 ABC 为斜三角形 且 O 是 ABC 所在平面上的一个定点 动点 P 满足向量 OP OA 入 AB AB 2 sin2B AC AC 2 sin2C 求 P 点轨迹过三角形的垂心 OP OA 入 AB AB 2 sin2B AC AC 2 sin2C OP OA 入 AB AB 2 sin2B AC AC 2 sin2C AP 入 AB AB 2 sin2B AC AC 2 sin2C AP BC 入 AB BC AB 2 sin2B AC BC AC 2 sin2C AP BC 入 AB BC cos 180 B AB 2 sin2B AC BC cosC AC 2 sin2C AP BC 入 AB BC cos B AB 2 2sinB cos B AC BC cosC AC 2 2sinC cosC AP BC 入 BC AB 2sinB BC AC 2sinC 根据正弦定理得 AB sinC AC sinB 所以 AB sinB AC sinC BC AB 2sinB BC AC 2sinC 0 即 AP BC 0 P 点轨迹过三角形的垂心 3 OP OA AB AB sinB AC AC sinC OP OA AB AB sinB AC AC sinC AP AB AB sinB AC AC sinC AP 与 AB AB sinB AC AC sinC 共线 根据正弦定理 AB sinC AC sinB 所以 AB sinB AC sinC 所以 AP 与 AB AC 共 线 AB AC 过 BC 中点 D 所以 P 点的轨迹也过中点 D 点 P 过三角形重心 4 OP OA ABcosC AB ACcosB AC OP OA ABcosC AB ACcosB AC AP ABcosC AB ACcosB AC AP BC AB BC cosC AB AC BC cosB AC AB BC cos 180 B cosC AB AC BC cosC cosB AC BC cosBcosC BC cosC cosB 0 所 以向量 AP 与向量 BC 垂直 P 点的轨迹过垂心 5 OP OA AB AB AC AC OP OA AB AB AC AC OP OA AB AB AC AC AP AB AB AC AC AB AB AC AC 各为 AB AC 方向 上的单位长度向量 向量 AB 与 AC 的单位向量的和向量 因为是单位向量 模长都 相等 构成菱形 向量 AB 与 AC 的单位向量的和向量为菱形对角线 易知是角平分 线 所以 P 点的轨迹经过内心 向量的三角形不等式 1 a b a b a b 当且仅当 a b 反向时 左边取等 号 当且仅当 a b 同向时 右边取等号 2 a b a b a b 当且仅当 a b 同向时 左边取等号 当且仅当 a b 反向时 右边取等号 定比分点 定比分点公式 向量 P1P 向 量 PP2 设 P1 P2 是直线上的两点 P 是 l 上不同于 P1 P2 的任意一点 则存在 一个实数 使 向量 P1P 向量 PP2 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 若 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x y 则有 OP OP1 OP2 1 定比分点向量公式 x x1 x2 1 y y1 y2 1 定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫 做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC OA OB 且 1 则 A B C 三点共线 三角形重心判断式 在 ABC 中 若 GA GB GC O 则 G 为 ABC 的 重心 编辑本段 向量共线的重要条