2010-2011学年高中数学 立体几何中的向量方法 平行与垂直关系的向量证法同步精品学案(一) 新人教A版选修2

用心 爱心 专心1 3 2 3 2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 一一 平行与垂直关系的向量证法平行与垂直关系的向量证法 知识点一知识点一 求平面的法向量求平面的法向量 已知平面 经过三点 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求平面 的 一个法向量 解 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 1 2 4 1 2 4 AB AC 设平面 的法向量为 n x y z 依题意 应有 n 0 n 0 AB AC 即Error 解得Error 令 y 1 则 x 2 平面 的一个法向量为 n 2 1 0 反思感悟 用待定系数法求平面的法向量 关键是在平面内找两个不 共线向量 列出方程组 取其中一组解 非零向量 即可 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 DC 的中点 求证 是平面 A1D1F 的法向量 AE 证明 设正方体的棱长为 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 是平面 A1D1FAE 的法向量 证明 设正方体的棱长为 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 E 1 1 1 2 D1 0 0 1 AE 0 1 1 2 F A1 1 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1D F 0 1 2 1 A1D1 用心 爱心 专心2 0 AE 1D F 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 又 A1D1 D1F D1 AE A1D1 AE A1D1 AE 平面 A1D1F 是平面 A1D1F 的法向量 AE 知识点二知识点二 利用向量方法证平行关系利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是 B1D1的中点 求证 B1C 平面 ODC1 证明 方法一 1B C 1A D B 1A D B1C A1D 又 A1D 面 ODC1 B 1C 面 ODC1 方法二 1B C 11B C 1B B 1B O 1OC 1D O OD 1OC OD 共面 1B C 1OC OD 又 B1C 面 ODC1 B1C 面 ODC1 方法三 建系如图 设正方体的棱长为 1 则可得 B1 1 1 1 C 0 1 0 O C1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1B C OD 1 2 1 2 1 1OC 1 2 1 2 0 设平面 ODC1的法向量为 n x0 y0 z0 用心 爱心 专心3 则 得Error 1 0 0 n OD n OC 令 x0 1 得 y0 1 z0 1 n 1 1 1 又 n 1 1 0 1 1 1 0 1B C n B1C 平面 ODC1 1B C 反思感悟 证明线面平行问题 可以有三个途径 一是在平面 ODC1 内找一向量与共线 二是说明能利用平面 ODC1内的两不共线向量线1B C 1B C 性表示 三是证明与平面的法向量垂直 1B C 如图所示 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 BE CF BCF CEF 90 AD EF 2 3 求证 AE 平面 DCF 证明 如图所示 以点 C 为坐标原点 以 CB CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴 y 轴和 z 轴 建立空间直角坐标系 C xyz 设 AB a BE b CF c 则 C 0 0 0 A 0 a 3 B 0 0 E b 0 F 0 c 0 33 0 b a 0 0 AE CB 3 0 b 0 BE 所以 0 0 从而 CB AE CB BE CB AE CB BE 所以 CB 平面 ABE 因为 CB 平面 DCF 所以平面 ABE 平面 DCF 故 AE 平面 DCF 知识点三知识点三 利用向量方法证明垂直关系利用向量方法证明垂直关系 用心 爱心 专心4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是棱 AB BC 的中点 试在棱 BB1上找一点 M 使得 D1M 平面 EFB1 解 建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体的棱长为 2 则 E 2 1 0 F 1 2 0 D1 0 0 2 B1 2 2 2 设 M 2 2 m 则 1 1 0 0 1 2 EF B1E 2 2 m2 1D M 平面 EFB1 1D M EF B1E 1D M1D M 0 且 0 1D M EF 1D M B1E 于是 2 2 0 2 2 m 2 0 m 1 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M 平面 EFB1 反思感悟 证明直线与平面垂直有两种方法 1 用直线与平面垂直的 判定定理 2 证明该直线所在向量与平面的法向量平行 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 B1C A1B 求证 AC1 A1B 证明 建立空间直角坐标系 C1 xyz 设 AB a CC1 b 则 A1 B 0 a b B1 0 a 0 C 0 0 b A 3 2 a a 2 0 3 2 a 1 2a b C1 0 0 0 于是 0 a b 1A B 3 2 a 1 2a b 1B C 用心 爱心 专心5 1AC 3 2 a a 2 b B1C A1B b2 0 1B C 1A B a2 2 而 a2 a2 b2 b2 01AC 1A B 3 4 1 4 a2 2 1AC 1A B 即 AC1 A1B 课堂小结课堂小结 1 用待定系数法求平面法向量的步骤 1 建立适当的坐标系 2 设平面的法向量为 n x y z 3 求出平面内两个不共线向量的坐标 a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 4 根据法向量定义建立方程组Error 5 解方程组 取其中一解 即得平面的法向量 2 平行关系的常用证法 证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直 然后说明AB CD 直线在平面外 证面面平行可转化证两面的法向量平行 3 垂直关系的常用证法 要证线线垂直 可以转化为对应的向量垂直 要证线面垂直 可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直 要证面面垂直 可以转化为证明两个平面的法向量垂直 一 选择题 1 已知 A 3 5 2 B 1 2 1 把按向量 a 2 1 1 平移后所得的向量是 AB A 4 3 0 B 4 3 1 C 2 1 0 D 2 2 0 答案 B 4 3 1 平移后向量的模和方向是不改变的 AB 2 平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 与平 面 的位置关系是 A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 不能确定 答案 C 用心 爱心 专心6 解析 1 2 0 2 1 0 0 两法向量垂直 从而两平面也垂直 3 从点 A 2 1 7 沿向量 a 8 9 12 的方向取线段长 AB 34 则 B 点的坐标为 A 9 7 7 B 18 17 17 C 9 7 7 D 14 19 31 答案 B 解析 设 B x y z x2 y 1 z7 AB 8 9 12 0 故 x2 8 y 1 9 z7 12 又 x22 y 12 z72 342 得 17 2 342 0 2 x 18 y 17 z 17 即 B 18 17 17 4 已知 a 2 4 5 b 3 x y 分别是直线 l1 l2的方向向量 若 l1 l2 则 A x 6 y 15 B x 3 y 15 2 C x 3 y 15 D x 6 y 15 2 答案 D 解析 l1 l2 a b 则有 2 3 4 x 5 y 解方程得 x 6 y 15 2 5 若直线 l 的方向向量为 a 1 0 2 平面 的法向量为 u 2 0 4 则 A l B l C l D l 与 斜交 答案 B 解析 u 2a a u l 二 填空题 6 已知 A 1 1 1 B 2 3 1 则直线 AB 的模为 1 的方向向量是 答案 或 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 解析 1 2 2 3 AB AB 模为 1 的方向向量是 AB AB 7 已知平面 经过点 O 0 0 0 且 e 1 1 1 是 的法向量 M x y z 是平面 内 任意一点 则 x y z 满足的关系式是 用心 爱心 专心7 答案 x y z 0 解析 e x y z 1 1 1 x y z 0 OM 8 若直线 a 和 b 是两条异面直线 它们的方向向量分别是 1 1 1 和 2 3 2 则 直线 a 和 b 的公垂线 与两异面直线垂直相交的直线 的一个方向向量是 答案 1 4 5 答案不唯一 解析 设直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量为 n x y z a 与 b 的方向向量分 别为 n1 n2 由题意得Error 即 Error 解之得 y 4x z 5x 令 x 1 则有 n 1 4 5 三 解答题 9 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 E F 分别是 BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面 ADE 2 平面 ADE 平面 B1C1F 证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz 则有 D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 B1 2 2 2 所以 0 2 1 1FC 2 0 0 0 2 1 DA AE 1 设 n1 x1 y1 z1 是平面 ADE 的法向量 则 n1 n1 DA AE 即 得 1 11 2 2 DAx AEyz 1 1 n n 1 11 0 2 x zy 令 z1 2 则 y1 1 所以 n1 0 1 2 因为 n1 2 2 0 所以 n1 FC1 FC1 又因为 FC1 平面 ADE 所以 FC1 平面 ADE 2 2 0 0 11C B 设 n2 x2 y2