北京市丰台区2013届高三数学下学期（3月）统一练习（一）文（丰台一模含解析）

1 丰台区丰台区 20132013 年高三年级第二学期统一练习 一 年高三年级第二学期统一练习 一 数学 文科 数学 文科 一 选择题 1 复数 z 1i i 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 A 解析 2 11 111 ii i iii 所以复数对应点的坐标为 1 1 为第一象限 选 A 2 若集合 A sin y yx xR B 2 1 0 1 2 则集合 RA B 等于 A 2 1 B 2 1 0 1 2 C 2 1 2 D 2 2 答案 D 解析 11 Ayy 所以 11 RA x xx 或 所以 22 2 2 RA Bx xx 或 选 D 3 设 n S 为等比数列 n a 的前n项和 34 20aa 则 3 1 S a A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 在等比数列中 由 34 20aa 得 4 3 2 a q a 所以 3 3 1 11 8 3 11 2 Sq aq 选 B 4 执行右边的程序框图所得的结果是 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 A 解析 第一次循环 2 0 3 b a a 不满足条件 循环 此时 2 2 3 kb 第二次循环 2 283 2 394 b a a 不满足条件 循环 此时 8 3 9 kb 第三次循环 结束 否 是 0 1bk 2 3 k ak 1kk ba 1 b a 开始 输出 k 2 3 28 3 1 39 b a a 满足条件 此时输出 3k 选 A 5 已知椭圆 22 2 1 2 xy a 的一个焦点与抛物线 2 8yx 的焦点重合 则该椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 3 3 C 2 2 D 6 3 答案 D 解析 抛物线的焦点坐标为 2 0 所以椭圆中的 2c 所以 2222 226abc 即 6a 所以椭圆的离心率为 26 36 c a 选 D 6 已知命题 p 0 32 xx x 命题 q 0 32xxx 则下列命题为真命题的 是 A pq B pq C pq D pq 答案 B 解析 由题意可知命题 p 0 32 xx x 为真命题 而命题 q 0 32xxx 为假命题 即 q 为真命题 由复合命题的真假可知 p q 为真 命题 选 B 7 某四面体三视图如图所示 则该四面体的四个面中 直角三角形的面积和是 A 2 B 4 C 2 5 D 4 2 5 答案 C 3 解析 由三视图可得原几何体如图 该几何体的高 PO 2 底面 ABC 为边长为 2 的等腰直角 三角形 所以 该几何体中 直角三角形是底面 ABC 和侧面 PBC 因为 PO 底面 ABC 所以 平面 PAC 底面 ABC 而 BC AC 所以 BC 平面 PAC 所以 BC AC PC 所以 则该四面体的四个面中 直角三角形的面积和是2 5 选 C 8 如果函数 y f x 图像上任意一点的坐标 x y 都满足方程 lg lglgxyxy 那么 正确的选项是 A y f x 是区间 0 上的减函数 且 x y 4 B y f x 是区间 1 上的增函数 且 x y 4 C y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y 4 D y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y 4 答案 C 解析 由lg lglgxyxy 得 00 xy xyxy 因为 2 2 xy xyxy 解得 4xy 由 xyxy 得 1 11 1 1 111 xx yf xx xxx 则函 数 f x 在 1 上单调递减 所以选 C 二 填空题 9 若 3 cos tan0 5 xx 则sin x 答案 4 5 4 解析 因为 3 cos0 5 x 所以x位于第一象限或第四象限 又tan 0 x 所以x位 于第四象限 即sin 0 x 所以 2 34 sin1 55 x 10 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生 将他们期中考试的数学成绩 均为整数 分成六段 40 50 50 60 90 100 后得到频率分布直方图 如图所示 则分数在 70 80 内的人数是 答案 30 解析 由题意 分数在 70 80 内的频率为 1 0 010 0 015 0 015 0 025 0 005 10 1 0 7 0 3 则分数在 70 80 内的人数是 0 3 100 30 人 11 直线 x 3 y 2 0 被圆 22 4xy 截得的弦长为 答案 2 3 解析 圆心为 0 0 半径为 2 圆心到直线的距离 22 2 1 1 3 d 直线 l 与圆 C 相交所得的弦长为 22 2 212 3 12 已知变量 x y 满足约束条件 1 10 1 xy x xy 则 2zxy 的最大值为 答案 2 解析 作出可行域如下图阴影所示 由 1 1 xy xy 得 1 0 x y 所以 B 1 0 令 z 2x y 则当直线 y 2x z 经过点 B 时该直线在 y 轴上的截距 z 最大 zmax 2 1 0 2 13 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB AD 1 BC 2 E 是 CD 的中点 则 CD BE 答案 1 解析 以 B 为原点 以 BC AB 所在直线为 x y 轴 建立如图所示直角坐标系 5 可得 A 0 1 B 0 0 C 2 0 D 1 1 因为 E 是 CD 的中点 所以点 E 的坐标为 3 1 2 2 E 所以 3 1 1 1 2 2 CDBE 可得 3 131 1 1 1 2 222 CD BE 14 已知实数 1 2 2 2 1 0 log 1 xax x af x xx 若方程 2 3 4 f xa 有且仅有两个不等实根 且较大实根大于 2 则实数a的取值范围是 答案 2 3 2 3 解析 根据题意 作出函数 2 3 4 yf xa 的图象 发现 当 x 1 时 函数的图象是由 1 2 logyx 的图象向上下平移 2 3 4 a 单位而得 它与 x 轴必有一个交点 且交点的横坐标大于 1 而 1x 的图象是抛物线的一部分 各段图象如图 若方程 2 3 4 f xa 有且仅有两个不 等实根 且较大实根大于 2 则有 2 1 2 21 2 3 1 20 4 3 log 20 4 yaa ya 解得 2 2 3 2 3 3 a a 即 2 3 2 3 a 所以实数a的取值范围是 2 3 2 3 三 解答题 15 已知函数 6 求 f x 的最小正周期和单调递增区间 求函数 f x 在 3 44 上的值域 16 如图 四棱锥 P ABCD 中 BC AD BC 1 AD 3 AC CD 且平面 PCD 平面 ABCD 求证 AC PD 在线段 PA 上 是否存在点 E 使 BE 平面 PCD 若 存在 求 PE PA的值 若不存在 请说明理由 17 在一次抽奖活动中 有 a b c d e f 共 6 人 获得抽奖的机会 抽奖规则如下 主办方先从 6 人中随 机抽取两人均获一等奖 再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖 最后还从这 4 人中随机 抽取 1 人获三等奖 求 a 能获一等奖的概率 若 a b 已获一等奖 求 c 能获奖的概率 18 已知函数 1 f x xa 2 3g xbxx 1 设函数 h xf xg x 且 1 1 0hh 求 a b 的值 2 当 a 2 且 b 4 时 求函数 g x x f x 的单调区间 并求该函数在区间 2 m 1 2 4 m 上的最大值 19 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab 0ab 的右焦点为 F 2 0 且过点 P 2 2 直线 l过点 F 且交椭圆 C 于 A B 两点 求椭圆 C 的方程 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M 1 0 2 求直线l的方程 20 设满足以下两个条件的有穷数列 12 n a aa 为 n n 2 3 4 阶 期待数列 123 0 n aaaa 123 1 n aaaa E B A D C P 7 分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶 期待数列 若某 2013 阶 期待数列 是等差数列 求该数列的通项公式 记 n 阶 期待数列 的前 k 项和为 1 2 3 k Skn 试证 2 1 k S 丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习 一 数学 文科 参考答案 一 选择题 题号 12345678 答案 ADBADBCC 二 填空题 9 4 5 10 30 11 2 3 12 2 13 1 14 2 3 2 3 三 解答题 15 本题 13 分 已知函数 求 f x 的最小正周期和单调递增区间 求函数 f x 在 3 44 上的值域 解 2 1 sin22cos2sin 2 4 f xxxx 3 分 最小正周期 T 4 分 单调增区间 3 88 kkkZ 7 分 33 2 4422 xx 5 2 444 x 10 分 f x 在 3 44 上的值域是 1 2 13 分 8 16 本题 13 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 BC AD BC 1 AD 3 AC CD 且平面 PCD 平面 ABCD 求证 AC PD 在线段 PA 上 是否存在点 E 使 BE 平面 PCD 若存在 求 PE PA的值 若不存在 请说明理由 解 平面 PCD 平面 ABCD 平面 PCD 平面 ABCD CD AC CD AC 平面 ABCD AC 平面 PCD 4 分 PD 平面 PCD AC PD 6 分 线段 PA 上 存在点 E 使 BE 平面 PCD 7 分 AD 3 在 PAD 中 存在 EF AD E F 分别在 AP PD 上 且使 EF 1 又 BC AD BC EF 且 BC EF 四边形 BCFE 是平行四边形 9 分 BE CF BE 平面 PCD 11 分 EF 1 AD 3 1 3 EFPE ADPA 13 分 17 本题 13 分 在一次抽奖活动中 有 a b c d e f 共 6 人获得抽奖的机会 抽奖 规则如下 主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖 再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获 二等奖 最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖 求 a 能获一等奖的概率 若 a b 已获一等奖 求 c 能获奖的概率 解 设 a 能获一等奖 为事件 A 事件 A 等价于事件 从 6 人中随机取抽两人 能抽到 a 从 6 人中随机抽取两人的基本事件 有 a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 15 个 4 分 包含 a 的有 5 个 所以 P A 51 153 答 a 能获一等奖的概率为 1 3 6 分 设 若 a b 已获一等奖 c 能获奖 为事件 B F E B A D C P 9 a b 已获一等奖 余下的四个人中 获奖的基本事件有 c c c d c e c f d c d d d e d f e c e d e e e f f c f d f e f f 16 个 11 分 其中含有 c 的有 7 种 所以 P B 7 16 答 若 a b 已获一等奖 c 能获奖的概率为 7 16 13 分 18 本题 14 分 已知函数 1 f x xa 2 3g xbxx 1 设函数 h xf xg x 且 1 1 0hh 求 a b 的值 2 当 a 2 且 b 4 时 求函数 g x x f x 的单调区间 并讨论该函数在区间 2 m 1 2 4 m 上的最大值 解 函数 h x 定义域为 x x a 1 分 则 2 1 23 h xfxg xbx xa 3 分 因为 1 0 1 0 h h 所以 2 1 30 1 1 230 1 b a b a 解得 0 2 a b 或 4 3 6 a b 6 分 记 x g x f x 则 x x a bx2 3x x a 因为 a 2 b 4 所以 2 2 43 xxxx x 2 7 分 2 122262 23 31 xxxxx 令 0 x 得 3 2 x 或 1 3 x 10 8 分 当 3 2 x 或 1 3 x 时 0 x 当 31 23 x 时 0 x 函数 x 的单调递增区间为 31 2 2 23 单调递减区间为 31 23 10 分 当 2 m0 时 据期待数列的条件 可得 100810092013 1 2 aaa 1006 100511 1006 221006 1007 d