2011年高考一轮数学复习 8-2双曲线 理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 8 8 章章 第第 2 2 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 双曲线的定义 1 已知 F1 F2是双曲线 y2 1 的左 右焦点 P Q 为右支上的两点 直线 PQ x2 2 过 F2且倾斜角为 则 PF1 QF1 PQ 的值为 A 8 B 2 2 C 4 D 随 的大小而变化 2 解析 由双曲线定义知 PF1 QF1 PQ PF1 QF1 PF2 QF2 PF1 PF2 QF1 QF2 4a 4 2 答案 C 2 设 P 为双曲线 x2 1 上的一点 F1 F2是该双曲线的两个焦点 若 y2 12 PF1 PF2 3 2 则 PF1F2的面积为 A 6 B 12 3 C 12 D 24 3 解析 由题意得 PF1 PF2 2 且 PF1 PF2 3 2 由此解得 PF1 6 PF2 4 又 F1F2 2 2 且 F1F2 2 PF2 2 F1P 2 即 PF1 PF2 则 PF1F2的面积是 1 1213 PF1 PF2 6 4 12 1 2 1 2 答案 B 3 设点 P 在双曲线 1 上 若 F1 F2为此双曲线的两个焦点 且 x2 9 y2 16 PF1 PF2 1 3 则 F1PF2的周长等于 A 22 B 16 C 14 D 12 解析 由题意 a 3 b 4 c 5 根据题意 点 P 在靠近焦点 F1的那支上 且 PF2 3 PF1 所以由双曲线的定义 PF2 PF1 2 PF1 2a 6 PF1 3 PF2 9 故 F1PF2的周长等于 3 9 10 22 答案 A 考点二 双曲线的方程 4 过点 2 2 且与双曲线 y2 1 有公共渐近线的双曲线方程是 x2 2 A 1 B 1 y2 2 x2 4 x2 4 y2 2 用心 爱心 专心 C 1 D 1 y2 4 x2 2 x2 2 y2 4 解析 设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 y2 0 x2 2 据已知点 2 2 在双曲线上 代入得 2 从而所求方程为 y2 2 即 1 x2 2 y2 2 x2 4 答案 A 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线为 y kx k 0 离心率 e k x2 a2 y2 b25 则双曲线方程为 A 1 B 1 x2 a2 y2 4a2 x2 a2 y2 5a2 C 1 D 1 x2 4b2 y2 b2 x2 5b2 y2 b2 解析 由 y kx k 0 为双曲线 0 的一条渐近线 知 k 又 e k 故有 x2 a2 y2 b2 b a5 c a c2 5b2 a2 4b2 5 b a 故方程为 1 x2 4b2 y2 b2 答案 C 考点三 双曲线的性质 6 2010 广西桂林十八中月考 已知抛物线 y2 x 的准线与双曲线 1 b 0 的 36 5 x2 9 y2 b 左准线重合 则此双曲线的渐近线方程是 A y x B y x 3 4 4 3 C y x D y x 5 3 3 5 解析 本题主要考查圆锥曲线的几何性质 利用性质准确求得 b 的值是解题关键 抛 物线的准线为 x 双曲线的左准线为 x b 16 即双曲线 9 5 9 9 b 9 9 b 9 5 方程为 1 双曲线的渐近线方程是 y x 故选 B x2 9 y2 16 4 3 答案 B 7 2010 江西模拟 已知双曲线 1 a 0 b 0 双曲线斜率大于零的渐近线 l x2 a2 y2 b2 交双曲线的右准线于 P 点 F c 0 为右焦点 1 求证 直线 PF 与渐近线 l 垂直 2 延长 FP 交左准线于 M 交双曲线左支于 N 使 M 为 PN 的中点 求双曲线的离心 率 解 1 证明 右准线为 x 由对称性不妨设渐近线 l 为 y x 则 P 又 a2 c b a a2 c ab c 用心 爱心 专心 F c 0 kPF ab c 0 a2 c c a b 又 kl kPF kl 1 PF l b a 2 PF 的方程为 y x c a b 又左准线为 x M a2 c a2 c a a2 c2 bc 又 M 是 PN 的中点 N 3a2 c a 3a2 c2 bc N 在双曲线上 1 9a2 c2 a2 3a2 c2 2 b4c2 即 2 1 9 e2 1 e2 3 e2 e2 1 令 t e2 则 t2 10t 25 0 t 5 即 e 5 8 如图 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 F1 F2分别为左 右焦点 x2 a2 y2 b2 5 2 M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点 且 F1M F2M 1 4 1 求双曲线的方程 2 设 A m 0 和 B 0 0 m 1 是 x 轴上的两点 过点 A 作斜率不为 0 的直线 l 使 1 m 得 l 交双曲线于 C D 两点 作直线 BC 交双曲线于另一点 E 证明直线 DE 垂直于 x 轴 解 1 根据题设条件 F1 c 0 F2 c 0 设点 M x y 则 x y 满足Error 因 e 解得 M c a 5 2 2a 5 2b 5 故 c c F1M F2M 2a 5 2b 5 2a 5 2b 5 a2 c2 b2 4 5 4 5 1 4 利用 a2 b2 c2 得 c2 5 4 于是 a2 1 b2 1 4 因此 所求双曲线的方程为 x2 4y2 1 2 证明 设点 C x1 y1 D x2 y2 E x3 y3 用心 爱心 专心 则直线 l 的方程为 y x m y1 x1 m 于是 C x1 y1 D x2 y2 两点坐标满足 Error 将 代入 得 x 2x1m m2 4y x2 8my x 4y m2 x 2mx1 m2 0 2 12 12 12 12 1 由 x 4y 1 点 C 在双曲线上 上面方程可化简为 m2 2x1m 1 2 12 1 x2 8my x x 2mx1 m2x 0 2 12 12 1 由已知 显然 m2 2x1m 1 0 于是 x1x2 x2 1 2mx1 m2x2 1 m2 2x1m 1 因为 x1 0 得 x2 x1 2m m2x1 m2 2x1m 1 同理 C x1 y1 E x3 y3 两点坐标满足 Error 可解得 x3 x1 2 1 m f 1 m 2x1 f 1 m 2 2x1 1 m 1 m2x1 2m x1 1 2x1m m2 所以 x2 x3 故直线 DE 垂直于 x 轴 1 2009 全国卷 设双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则 x2 a2 y2 b2 该双曲线的离心率等于 A B 2 3 C D 56 解析 双曲线的一条渐近线为 y x b a 由Error 消 y 得 x2 x 1 0 b a 由题意 知 2 4 0 b a b2 4a2 又 c2 a2 b2 c2 a2 4a2 5a2 c a5 答案 C 2 2009 全国卷 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 过 F 且斜率 x2 a2 y2 b2 为的直线交 C 于 A B 两点 若 4 则 C 的离心率为 3 AF FB A B 6 5 7 5 用心 爱心 专心 C D 8 5 9 5 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 F c 0 由 4 AF FB 得 c x1 y1 4 x2 c y2 y1 4y2 设过 F 点的斜率为的直线方程为 x c 3 y 3 Error 则有 a2 y2 y b4 0 b2 3 2b2c 3 Error 将 y1 4y2分别代入 得 Error 化简得Error 4b4c2 3 b2 3a2 2 3b4 4 b2 3a2 化简得 16c2 9 3a2 b2 9 3a2 c2 a2 25c2 36a2 e2 即 e 36 25 6 5 答案 A 3 2009 湖南 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中 有 一个内角为 60 则双曲线 C 的离心率为 解析 若 F1B2F2 60 则 B2F1F2 60 tan60 b2 3c2 b c3 从而 3c2 c2 a2 a2 2c2 舍 若 B2F1B1 60 则 B2F1F2 30 tan30 c2 3b2 3 c2 a2 b c 3 3 e2 e 3 2 6 2 答案 6 2 4 2009 重庆 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 c 0 x2 a2 y2 b2 F2 c 0 若双曲线上存在点 P 使 则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF1F2 sin PF2F1 a c 解析 由 F1F2 即 2c c2 2ac a2 0 e2 2e 1 0 1 e0 b 0 x2 a2 y2 b2 其中 a2 b2 c2 2a 2b 2c 8 a b c 4 a b 2 2 a2 b2 4 c 2 2c2 c2 8c 16 0 c 4 4 或 c 4 4 负根舍去 22 又 a2 b2 c2 a b