2012高一数学 3.4.1基本不等式的证明（2）学案_第1页
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用心 爱心 专心 1 20122012 高一数学高一数学 3 4 13 4 1 基本不等式的证明 基本不等式的证明 2 2 学案 学案 学习目标 学习目标 1 进一步掌握基本不等式 2 学会推导并掌握均值不等式定理 3 会运用基本不等式求某些函数的最值 求最值时注意一正二定三等四同 4 使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题 基本不等式在证 明题和求最值方面的应用 学习过程 学习过程 一 问题情境 提问 我们上一节课已经学习了两个重要的不等式 请同学们回忆一下 这两个重要不 等式叙述的内容是什么 等号 成立的条件是什么 我们称ba ba 2 为 的算术平均数 称baab 为的几何平均数 ab ba abba 2 2 22 和成立的条件是不同的 前者只要求a b都是实数 而后者 要求a b都是正数 二 学生活动 提问 问题 1 已知yx 都是正数 若 那么有无最大值 若有求出最大值4 yxyx 问题 2 如何求出最大值的呢 何时取到最大值的 问题 3 如果将问题 1 中条件改为 那么有无最值呢 4 yx4 xyyx 用心 爱心 专心 2 问题 4 请同学们分组讨论能否由问题 1 及问题 3 推广至更一般的结论出来 学生讨论 完后 在学生回答的基础上得出以下最值定理 三 建构数学 最值定理 已知yx 都是正数 如果积xy是定值p 那么当yx 时 和yx 有 最小值p2 如果和yx 是定值s 那么当yx 时 积xy有最大值 2 4 1 s 说明 最值定理是求最值的常用方法 但应注意以下几点 最值的含义 取最小值 取最大值 用基本不等式求最值必须具备的三个条件 一 正 二 定 三 相等 函数式中各项必须都是正数 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值 四 数学运用 1 例题 例 1 1 求 lglog 10 x x 1 x的最值 并求取最值时的x的值 2 若上题改成10 x 结果将如何 用心 爱心 专心 3 例 2 1 求 4 04 yxxx 的最大值 并求取最大值时的x的值 2 求 20 4 2 xxxy的最大值 并求取最大值时x的值 例 3 已知是正实数 若21xy 求 11 xy 的最小值 x y 变题 若 求的最小值 41 1 x y xy 实实实实yx 例 4 求下列函数的值域 1 2 2 2 1 3 x xy 2 x xy 1 用心 爱心 专心 4 归纳 用均值不等式解决此类问题时 应按如下步骤进行 1 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 求出函数的最大值或最小值 4 写出正确答案 2 练习 1 已知 1 01 01 9 xyxy 求 11 33 loglogxy 的最大值并求相应的 x y值 2 已知0 x 求 4 23x x 的最大值 并求相应的x值 3 已知02x 求函数 3 83 f xxx
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