第2讲周期性问题.doc

周期性问题 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。苏轼 在日常生活中，有不少“周而复始”的循环现象，如：日出日落、月缺月圆、四季轮回，我们称这样的现象叫周期现象。在长期的实践中，人们还创造了具有这种周期性变化的记数方法和计时方法，如：计算钟点是“l，2，3，4，5. 6，7，8. 9，10 ,11，12”这12个数循环，构成一个周期。按照7天一轮计算天数是“日、一、二、三、四、五、六”，这也是一个周期，这相当于一些连续自然数被7除的余数0，l，2，3，4，5，6的循环。 我们把与周期有关的数学问题叫做周期性问题。12个数的循环，就说周期是12；7个数的循环，就说周期是7。解周期性问题的关键是发现周期现象和利用周期，因此，我们在解这类问题时，要抓住两点： (1)找出规律，发现周期现象； (2)把要求解的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解法。例题解析 例1 今年6月l日是星期六，今年6月20日是星期几？ 分析与解：每星期有7天，就是以7为周期，把6月1 日作为周期的第1天，1除以7余l，且6月1日是星期六。将星期与余数排列成下表： 余数 1 2 3 4 5 6 0 星期 六 日 一 二 三 四 五 从6月1日到6月20日共20天，207=26，说明6月20日是星期四。 答：今年6月20日是星期四。用这种方法计算时，先排列出余数与星期一至星期日的对应关系来，再计算总天数，用总天数除以7，查看余数相对应是星期几就可以了。 例2 如图2 -1，数手指大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5；然后换向，无名指为6中指为7，食指为8，大拇指为9；再换向，食指为10这样数到2010时，应该停在哪个手指上？ 分析与解要依题意数手指一个一个地数到2010是不太现实的，要找出规律，应通过观察。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010大 食 中 无 小 无 中 食 大 食 中 无( ) 可以发现8个数为一周期，因为20108= 2512，余数是2，一周期里第2个是食指，所以数到2010就应停在食指上。 答：应该停在食指上。 例3某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出一集，星期六停播。问：最后一集在星期几播出? 分析与解：把从星期日直至星期五这样的6天当作一个播放周期，试着看看84集的连续剧可播出多少周期零几天。由于846 =14 可见这部连续剧恰可播14个周期，幸运的是，开播的那天恰是星期日，所以播完时恰逢星期五。 倘若是从星期二开播，就要先从84中减去4，得80，再看806=132，这时，播最后一集的日子是星期一。 例4如图2-2，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面（ABC）是红色，底面（BCD）是白色，右侧面(ACD)是蓝色，左侧面（ABD）是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧的棱翻转，第3次绕底面面对你的棱向你翻转，第4次绕底面左侧的棱翻转。此后依次重复上述操作过程。 问：按规则完成第l00次操作后，面对你的面是什么颜色？ 解 由初始状态第1次翻转后，红面为底面；第2次翻转后，蓝面变为底面，这时黄面正对着你；第3次翻转后，黄面变为底面；第4次翻转后，红面变为底面，这时白面正对着你继续按规则操作，会发现连续翻转到第8次时红面正对着你。此后，每8次操作面对你的红面重复出现，形成周期有序的变化。 由于1008=124所以完成第100次操作后，面对你的面与完成第4次操作面对你的面相同，是白色，研究数的循环，就是要发现周期性和确定周期。在小学数学中，循环小数是大家较早遇到的周期性问题。 例5 写成循环小数后，小数点后第2000位数字是什么？ 解 =0.142857142857 它的循环节是6位，循环节的6个数字依次是1，4，2，8，5，7。因为20006=3332，所以，展开成循环小数后，它的第2000位数字是循环节的第2位数字，是4。 答：小数点后第2000位数字是4分母是7的分数有一个十分有趣的性质，它们的循环周期都是6，循环节中的6个数字都是1，4，2，8，5，7，只是排列的顺序不同而已具体写出来就是： 现在请想一想，你能回答下面的问题吗？ “有一个六位数，无论用1，2，3，4，5，6这6个数中的哪一个去乘它，所得的结果仍然是六位数，而且6令数字也完全相同，只是排列的顺序不同，这个六位数是多少？” 答：142857。 1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一年级 第二试有这样一道题： 一个自然数a，若将其数字重新排列，可得一个新的自然数b。如果a恰是b的3倍，我们称a是一个希望数。 请你举例说明：希望数一定存在。 这是一道很难的题目，因为怎样寻找“希望数”，既没有法则可依，也没有公式可套，一个个试吗？没有足够的时间，很多同学都放弃了，如果你能联想到分母是7的分数写成循环小数后的上述性质，此题的答案就唾手可得：3142857 =428571即428571是一个“希望数”。若干个同样的数相乘，个位数字的变化也有周期性。例如，2的连乘积：2，2=4，23=8，24 =16，25=32，26=64，个位数字的变化是2，4，8，6，2，4，周期是4。例6 求19931993的个位数字。 解：对于1993n，其个位数字随n的变化呈现一定规律，当n=l，2，3，4，5，6，7，8，时，1993的末位数字依次为3，9，7，1，3，9，7,1，每4个数出现周期性变化，又19934=4981。故19931993的个位数字为3。给定自然数a，可从特例归纳出a的末位数字随n的增大而作周期性变化的规律，很容易得到：(1)当a的末位数字是0，1，5或6时，周期是1；(2)当a的末位数字是4或9时，周期是2；(3)当a的末位数字是2，3，7或8时，周期是4。一些有规律的数，被某个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性。例7有一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，其中第1、第2个数都是1，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的和，那么，在这串数中，第2000个数被3除后所得的余数是几？解 我们只要把前两个数被3除后所得的余数相加，然后再除以3，所得的余数就是后一个数被3除的余数。（想一想：为什么？）这样就很容易算出前若干个数被3除的余数列表如下：观察余数可以看出，第9、第10两个数被3除的余数与第l、第2两个数被3除的余数对应相5同，这样第11个数的余数，就与第3个数的余数相同因此，这串数被3除的余数，每8个数循环一次。因为20008= 250，所以第2000个数被3除的余数，与第8个数被3除的余数一样，0。题中的数列，是著名的斐波那契( Fibonacci)数列。由上述例题可以看出，在解答周期性问题时，应当注意：(1)每个周期的长度是多少；(2)每个周期内变化的次序；(3)在求题目的答案时，通常用问句中的数据除以周期的长度，并把所得的余数同一个周期内某种状态相对应。 同步训练 11992年1月l8日是星期六，再过十年的1月18日是星期 。2黑珠、白珠共102颗，穿成一串。排列如图2-3:这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的，这种颜色的珠子在这串中共有_颗。 3流水线上生产小木珠涂色的次序是先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白继续下去，第1993个小珠的颜色是_色。 4把珠子一个一个地如图2-4按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中，第1992粒珠子投在_ _袋中。 5将数列1，4，7，10，13，依次如图2-5排列，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第_行第_列。 1 4 7 10 13 28 25 22 19 16 31 34 37 40 43 58 55 52 49 46 图2-5 6分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 。 7化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 。 8在一个循环小数0. 1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在_ _和_ _这两个数字上。 9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘，积的个位数是_ _。 10.算式（367367+762762）123123的得数的尾数是_ _ _。 11乘积l23419901991是一个多位数，而且末尾有许多0，从右到左第一个不等于O的数是多少？ 12