雅可比迭代实验报告

雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告 一 实验题目一 实验题目 分别利用雅可比迭代法和高斯 塞德尔迭代法求解以下线性方程组 使得误差不超过 0 00001 二 二 实验引言实验引言 1 实验目的 掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤 熟悉计算机 fortran 语 言 了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点 2 实验意义 雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种 求解方便实 用 三 算法设计三 算法设计 1 雅可比迭代法原理 设有线性方程组 Ax b 满足 将方程组变形为 x Bx f 则雅可比 Jacobi 0 ii a 迭代法是指 即 由初始解逐步迭代即可得到方程组的解 fBxX kk 1 算法步骤如下 步骤 1 给定初始值 精度 e 最大容许迭代次数 M 令 k 1 0 0 2 0 1 n xxx 步骤 2 对 i 1 2 n 依次计算 0 1 0 1 1 1 n 2 1 0 ii iii iiiij n ij j ijj xx xxe iaaxabx 2 45 3 8210 2 7210 321 321 321 xxx xxx xxx 步骤 3 求出 若 则输出结果 停止计算 max 1 i ni ee e n 2 1 0 ixi 否则执行步骤 4 步骤 4 若转步骤 2 继续迭代 若表明迭代失败 停止 1 kkMk Mk 计算 2 算法流程图 四 程序设计四 程序设计 program jacobi implicit none integer i j integer k save k real parameter e 0 001 integer parameter n 3 real x n y n b n data b 7 2 8 3 4 2 real D real a n n open unit 10 file 1 txt data a 10 1 1 1 10 1 2 2 5 write 10 矩阵 A 的形式为 write 10 1x 3f6 2 a forall i 1 n x i 0 end forall k 0 100 D 0 do i 1 n y i b i do j 1 n if i j y i y i a i j x j end do y i y i a i i end do do j 1 n D abs x j y j end do forall i 1 n x i y i end forall if D e then k k 1 write 10 迭代次数为 k goto 100 else goto 200 end if 200 write 10 write 10 用 jacobi 方法解得的结果 X t 为 write 10 1x 3f6 2 x stop end program 五 结果及讨论五 结果及讨论 1 实验结果 矩阵 A 的形式为 10 00 1 00 1 00 1 00 10 00 1 00 2 00 2 00 5 00 迭代次数为 1 迭代次数为 2 迭代次数为 3 迭代次数为 4 迭代次数为 5 迭代次数为 6 迭代次数为 7 用 jacobi 方法解得的结果 X t 为 1 10 1 20 1 30 2 讨论分析 1 误差 从上述输出结果中可以看出 当迭代次数 k 增大时 迭代值 x1 y1 z1 会越来越逼近方程组的精确解 x 1 0 y 1 2 z 1 3 2 收敛性 在本题目中 用雅可比迭代法和高斯 塞德尔迭代法分别求解该线性方程组 得 到的近似根是收敛的 六 算法评价六 算法评价 优点 迭代法算法简单 编制程序比较容易 缺点 迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质 譬如是所谓对角占优阵 以保证过程的收敛性 高斯 塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快 达到同样的 精度所需迭代次数少 但这个结论 在一定条件下才是对的 甚至有这样的方程 组 雅可比方法收敛 而高斯 塞德尔迭代法却是发散的 在雅可比迭代法求解 线性方程组时 只要误差截断设计的合理 原则上可以得到很正确的解 而通 常我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制 由于它的准确性 故在实际应用中比较常见 对于解一般线性方程组非常有效准确 通过该算法 以及编程对求解的过程 我们不难发现 雅克比迭代法的优点明显 计算公式 简单 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法 且计算过程中原始矩阵 A 始终不变 比较容易并行计算 然而这种迭代方式收敛速度较慢 而且占据的 存储空间较大 所以工程中一般不直接用雅克比迭代法 而用其改进方法 附 附 高斯 赛德尔程序 program G S implicit none integer i j integer k save k real parameter e 0 001 integer parameter n 3 real x n y n b n data b 7 2 8 3 4 2 real D real a n n open unit 10 file 1 txt data a 10 1 1 1 10 1 2 2 5 write 10 矩阵 A 的形式为 write 10 1x 3f6 2 a forall i 1 n x i 0 end forall k 0 100 D 0 do i 1 n y i b i do j 1 n if ij y i y i a i j y j end do y i y i a i i end do do j 1 n D abs x j y j end do forall i 1 n x i y i end forall if D e then k k 1 write 10 迭代次数为 k goto 100 else goto 200 end if 200 write 10 write 10 用 Gauss seidel 方法解得的结果 X t 为 write 10 1x 3f6 2 x stop end program