期权定价中的蒙特卡洛模拟方法new

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权期权作为最基础的金融衍生产品之一 为其定价一直 是金融工程的重要研究领域 主要使用的定价方法有偏微偏微 分方程法分方程法 鞅方法鞅方法和数值数值方法 而数值方法又包括了二叉 树方法 有限差分法和蒙特卡洛模拟方法 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计 其实 质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得 到期权价格估计值 蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛 率不依赖于问题的维数 从而非常适宜为高维期权定价 1 预备知识 两个重要的定理 柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 强大数 定律和莱维一林德贝格 Levy Lindeberg 中心极限定理 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果 稳定性的一系列极限定律 在蒙特卡洛方法中用到的是随 机变量序列同分布的 Kolmogorov 强大数定律 设为独立同分布的随机变量序列 若 12 则有 1 2 k Ek 1 1 lim 1 n k n k p n 显然 若是由同一总体中得到的抽样 那么由 12 n 此大数定律可知样本均值当 n 很大时以概率 1 收敛于 1 1 n k k n 总体均值 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种 情形下是正态的 并由此应用正态分布的良好性质解决实 际问题 设为独立同分布的随机变量序列 若 12 则有 2 1 2 kk EDk 1 0 1 n k d k n N n 其等价形式为 2 1 1 1 lim exp 22 n x k k n tn Pxdtx n Black Scholes 期权定价模型 模型的假设条件 1 标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dtdW S 其中 标的资产的价格 是时间 的函数 为标的资产 St 的瞬时期望收益率 为标的资产的波动率 是维纳过 dW 程 2 证券允许卖空 证券交易连续和证券高度可分 3 不考虑交易费用或税收等交易成本 4 在衍生证券的存续期内不支付红利 5 市场上不存在无风险的套利机会 6 无风险利率 为一个固定的常数 r 下面 通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无 套利定价原理建立期权定价模型 首先 为了得到期权的 微分形式 先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式 伊藤Ito公式 设 是二元可微函数 若随机 VV S t V 过程 满足如下的随机微分方程 S dS S t dtS t dW S 则有 2 22 2 1 2 VVVV dVS t SS t SdtS t SdW tSSS 根据伊藤公式 当标的资产的运动规律服从假设条件 中的几何布朗运动时 期权的价值的微分形式为 VV S t 2 22 2 1 2 VVVV dVSSdtSdW tSSS 现在构造无风险资产组合 即有 V VS S drdt 经整理后得到 2 22 2 1 0 2 VVV SrSrV tSS 这个表达式就是表示期权价格变化的 Black Scholes 偏 微分方程 它同时适合欧式看涨期权 欧式看跌期权 美 式看涨期权和美式看跌期权 只是它们的终值条件和边界 条件不同 其价值也不相同 欧式看涨期权的终边值条件分别为 max 0 T V S TSK 00 S V S T SS 通过求解带有终边值条件的偏微分方程 得出欧式看涨期 权的的解析解 12 r T t V S tSN dKeN d 其中 2 2 1 2 x d N dedx 2 1 ln 2 S KrTt d Tt 为期权的执行日期 为期权的执行价格 21 ddTt TK 欧式看跌期权的终边值条件分别为 max 0 T V S TKS 0 0 KS V S T S 此外 美式看涨期权的终值条件为 max 0 V S tSK 美式看跌期权的终值条件为 然而 美 max 0 V S tKS 式期权的价值没有解析解 我们一般可通过数值方法 蒙 特卡洛模拟 有限差分法等 求得其近似解 风险中性期权定价模型 如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动 dS rdtdW S 即标的资产的瞬时期望收益率 取为无风险利率 同理 r 根据伊藤公式可以得到 2 ln 2 dSrdtdW 22 2 lnln 22 TtTt SSrTtWWNrTtTt 2 exp 2 TtTt SSrTtWW 对数正态分布的概率密度函数 设 2 N e 则 的密度函数为 2 2 1 ln exp 0 2 2 00 x x P x x x 根据上述公式 得到标的资产的密度函数如下 T S 2 2 2 ln 21 exp 0 2 2 00 t x rTt S xP x TtTtx x 在风险中性概率测度下 欧式看涨期权定价为 exp max 0 Q T V S tr Tt ESK 2 2 2 2 2 2 ln 1 2 max 0 exp 22 ln 2 exp 22 Q T K K x rTt S ESKdx TtTt x rTt K S dx TtxTt 接下来 求解以上风险中性期望 首先 对上式的右 边第一个广义积分分别作变量替换 和 可以得到 2 ln 2 x rTt S y Tt uyTt 2 22 2 2 2 2 ln 2 22 1 ln 2 ln 1 2 exp 22 11 22 K S rT t uu K r T tr T tr T t T t K rT t S T t x rTt S dx TtTt SeeduSeeduSeN d 再对等式的右边的第二个无穷积分 令 可求得 2 lnln 2 xSrTt u Tt 2 22 2 2 2 2 lnln 2 22 2 lnln 2 ln 2 exp 2 2 11 22 K SKrT t uu T t KSrT t T t x rTt K S dx TtxTt KeduKeduKN d 将以上的计算结果代入期望等式中 得到欧式看涨期 权的价格公式为 12 max 0 r T tQr T t T V S teESKSN dKeN d 其中 2 1 ln 2 S rTt K d Tt 21 ddTt 可以看出 对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的 结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致 的 基于风险中性的期权定价原理在于 任何资产在风险 中性概率测度下 对于持有者来说都是风险偏好中性的 便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风 险折现便是初始时刻的期权价值 蒙特卡洛模拟方法就是 一种基于风险中性原理的期权数值定价方法 2 蒙特卡洛模拟方法及其效率 假设所求量 是随机变量的数学期望 那么近似 E 确定 的蒙特卡洛方法是对进行 n 次重复抽样 产生独立 同分布的随机变量序列 并计算样本均值 12 n 那么根据 Kolmogorov 强大数定律有 1 1 n nk k n 因此 当 n 充分大时 可用作为所 lim 1 n n p n 求量 的估计值 由中心极限定理可得到估计的误差 设随机变量的方 差 对于标准正态分布的上分位数 有 2 D 2 2 Z 2 2 2 2 1 exp 1 22 Z n Z t pZdt n 这表明 置信水平对应的渐近置信区间是1 实际上 由此可确定蒙特卡洛方法的概率2n Z n 化误差边界 其误差为 误差收敛速度是 2 Z n 1 2 O n 不难看出 蒙特卡洛方法的误差是由和决定的 n 在对同一个进行抽样的前提下 若想将精度提高一位数字 要么固定 将 n 增大 100 倍 要么固定 n 将减小 10 倍 若两个随机变量的数学期望 12 12 EE 那么无论从或中抽样均可得到的蒙特卡洛 12 1 2 估计值 比较其误差 设获得的一个抽样所需的机时为 i i t 那么在时间 T 内生成的抽样数 若使 则i i T n t 12 12 nn 需使 因而 若要提高蒙特卡罗方法的效率 不能 1 12 2 tt 单纯考虑增加模拟的次数 n 或是减小方差 应当在减小 2 方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时 使方差与 2 机时 t 的乘积尽量的小 3 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤 期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价 原理 在风险中性测度下 期权价格能够表示为其到期回 报的贴现的期望值 即 其 12 exp Q T PErT f S SS 中的表示风险中性期望 r 为无风险利率 T 为期权的 Q E 到期执行时刻 是关于标的资产价格路径的 12 T f S SS 预期收益 由此可知 计算期权价格即就是计算一个期望值 蒙 特卡洛方法便是用于估计期望值 因此可以得到期权定价 的蒙特卡洛方法 一般地 期权定价的蒙特卡洛模拟方法 包含以下几步 以欧式看涨期权为例 l 在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径 将时间区间分成 n 个子区间 标 0 T 012 0 n ttttT 的资产价格过程的离散形式是 2 11 1 2 1 iiiii rtttt z jj ii StSt e 0 1 i zN 2 计算在这条路径下期权的到期回报 并根据无风险 利率求得回报的贴现 exp max 0 jj T CrTSK 3 重复前两步 得到大量期权回报贴现值的抽样样本 4 求样本均值 得到期权价格的蒙特卡洛模拟值 1 1 exp max 0 1 m j T m jj MC j rTSK CC mm 另外 我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率 化误差边界 这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一 由于 m 条路径的收益均值为 exp max 0 jj T CrTSK m 条路径的方差为 则可 1 1 m j mean i CC m 2 var 1 1 1 m j mean i CCC m 得 95 的置信区间为 varvar 1 96 1 96 meanmean CC CC mm 例 1 假设无红利的股票 A 初始价格为 6 价格过 程服从几何布朗运动 年预期收益率为 10 收益率的波 动率为每年 25 时间步长为 0 01 年 1 年为 100 时间步 给定数据 以及 100 用蒙特卡 0 6 0 1 0 25S d 洛方法模拟资产的价格路径如下 2 1 0 10 25 0 01 0 250 01 2 i A SttS t e 0102030405060708090100 5 75 5 8 5 85 5 9 5 95 6 6 05 6 1 6 15 6 2 6 25 Monte Carlo Price Path Simulation Period Price 1 0102030405060708090100 5 2 5 4 5 6 5 8 6 6 2 6 4 6 6 Monte Carlo Price Path Simulation Period Price 2 图 1 蒙特卡洛方法模拟股票 A 价格路径 图 2 蒙特卡洛方法模拟股票 B 价格路径 若无红利的股票 B C D 其价格均为 6 股票 B 的期望收益率为 0 1 波动率为 0 6 股票 C 的期望收益率 为 0 5 波动率为 0 25 股票 D 的期望收益率为 0 5 波动 率为 0 6 分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的 价格路径如下 2 1 0 10 6 0 01 0 60 01 2 i B SttS t e 2 1 0 50 25 0 01 0 250 01 2 i C SttS t e 2 1 0 50 6 0 01 0 60 01 2 i D SttS t e 0102030405060708090100 5 85 5 9 5 95 6 6 05 6 1 Monte Carlo Price Path Simulation Period Price 3 0102030405060708090100 5 4 5 6 5 8 6 6 2 6 4 6 6 6 8 7 Monte Carlo Price Path Simulation Period Price 4 图 3 蒙特卡洛方法模拟股票 C 价格路径 图 4 蒙特卡洛方法模拟股票 D 价格路径 从图中可以看出 股票 C 和股票 D 的价格上升速度较 快 而股票 B 和股票 D 的价格波动比较大 这是与股票 C 和股票 D 价格的期望收益率较高 股票 B 和股票 D 价格的 波动率较高相对应的 欧式看涨期权 通过 0 6 2 0 1 0 25 1SKrT Black Scholes 公式计算得的精确值为 蒙特卡洛模 4 1903C 拟的价格为 其蒙特卡洛模拟图如下 4 1787C 00 511 522 533 54 3 8 4 4 2 4 4 4 6 4 8 5 5 2 5 4 European Call Option Price Estimation Estimation log N Monte Carlo 5 上述同样的条件 路径由 100 逐渐增加到条 对应地 分别得到的期权价值的模拟值和置信区间 结果如下表所 示 各种路径下蒙特卡洛方法模拟的 95 置信区间 N模拟值置信区间 1004 3146 4 0112 4 6180 5004 2262 4 0962 4 3563 10004 2213 4 1287 4 3139 20004 1633 4 0984 4 2281 50004 1695 4 1280 4 2111 100004 1787 4 1490 4 2083 500004 1960 4 1826 4 2094 4 1886 4 1791 4 1980 4 1914 4 1884 4 1944 4 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价 权证是一种合同 权证投资者在约定时间内有权按约 定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券 权证 发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方 权证 主要具有价格发现和风险管理的功能 它是一种有效的风 险管理和资源配置工具 现选取我国认股权证中的五粮 YGC1 马钢 CWB1 伊 利 CWB1 为例 以 2006 年的价格作为样本区间模拟认股权 证的价值 并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由 wind 数 据库给出的理论值进行比较 本例采用一年期短期利率 2 52 作为无风险利率 用这些权证的正股股票价格序列来 计算波动率 现实中用等时间间隔观测股票价格序列 0 1 2 i S in 股票投资的连续复利收益率 则 1 ln iii uSS 1 2 in 的样本标准差 如果用日数据计算波 i u 2 1 1 1 n i i uu n 动率 则年度波动率按下式计算 年度波动率 日波动率 每年的交易日数 1 2 将时间区间取为 2006 年 12 月 1 日 2006 年 12 月 29 日 则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与 Black Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下 蒙特卡洛方法对五粮 YGC1 认股权证的模拟 51 15 日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值 12 110 16410 0669 82112 1812 10013 52413 351 12 410 12010 35710 12112 1912 08013 57413 401 12 59 88010 63010 40112 2012 21013 77113 601 12 69 39510 38610 15112 2111 90013 37613 201 12 79 1479 9989 75112 2211 42012 68712 501 12 89 0509 7859 53112 2512 03813 74213 571 12 119 8509 2258 95112 2611 97813 40613 231 12 129 82510 60010 37112 2713 00114 36414 201 12 139 76610 26010 02112 2813 05014 61214 451 12 1410 58911 33211 12112 2914 50016 19816 051 12 1510 84912 02811 831 蒙特卡洛方法对马钢 CWB1 认股权证的模拟 53 91 日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值 12 11 1431 2440 56912 181 7751 7091 052 12 41 2091 1880 51712 191 8031 7091 052 12 51 2411 2230 54912 201 7301 7561 103 12 61 3491 2230 54912 211 6411 7091 052 12 71 6331 4160 74312 221 7001 5420 778 12 81 7501 6180 95212 251 7071 4530 848 12 111 9191 4160 74312 261 8351 5201 052 12 121 8741 6180 95212 271 7761 7091 052 12 131 7941 7481 09412 281 6441 8111 163 12 141 7941 6330 96912 291 7081 7481 094 12 151 8301 6330 969 蒙特卡洛方法对伊利 CWB1 认股权证的模拟 62 03 日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值日期实际值 蒙特卡洛 模拟值 理论值 12 113 32413 53312 62912 1814 76014 81813 988 12 413 25013 94713 06912 1915 47915 54114 748 12 513 29613 95713 07912 2015 48716 63015 888 12 612 91113 95713 07912 2115 59416 44915 698 12 712 85313 28812 36912 2215 16816 57315 828 12 812 73412 76311 80912 2516 61615 81715 038 12 1112 92012 57611 60912 2616 61917 75417 058 12 1214 05912 94111 99912 2717 67317 87917 188 12 1313 52814 10813 23912 2817 67319 72619 098 12 1414 28113 81512 92912 2917 67319 72619 098 12 1514 34914 61913 778 从表可看出 由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的 模拟值比由 Black Scholes 公式计算的理论值更接近实际值 为了更直观的比较 由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格 与 Black Scholes 模型的精确值和市场价格比较的结果如下 图 其中 SJ 代表实际值 MC 代表蒙特卡洛方法求得的模 拟值 BS 代表由 Black Scholes 公式计算出的理论值 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17SJ MC BS 五粮 YGC1 价格模拟比较图 0 0 5 1 1 5 2 2 5SJ MC BS 马钢 CWB1 价格模拟比较图 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21SJ MC BS 伊利 CWB1 价格模拟比较图 从图中明显看出 五粮 YGC1 和伊利 CWB1 的模拟结果 比较好 蒙特卡洛模拟值和 Black Scholes 模型的理论值均 与实际值吻合 而马钢 CWB1 的实证结果不理想 但是三 种结果的走势图有共同的趋势 从比较分析中发现蒙特卡 洛方法模拟的价格比 Black Scholes 模型更接近实际价格 对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏 受诸多因素影 响 主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关 等等 隐含波动率及其数值计算方法 隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率 是 通过 Black Scholes 期权定价公式计算出来的波动率 由于 我们无法给出它的解析解 因此 只能借助于数值计算给 出近似解 下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率 牛顿迭代法是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域上近 似求解方程根的方法 步骤 1 将函数在点附近展开成泰勒级数 f x 0 x 2 0 0000 2 fx f xf xfxxxxx 步骤 2 取泰勒级数的前两项作为 000 f xf xfxxx 假设 求解方程 并令其解 0 0fx 000 0f xf xfxxx 为 得 这样得到迭代公式 1 x 0 10 0 f x xx fx 1 n nn n f x xx fx 经过 n 次迭代后 可以求出的近似解 0f x 根据牛顿迭代法 隐含波动率的计算步骤如下 1 假设其他变量保持不变 认为函数 是隐含波动率的一元函数 12 r T t Mar fSN dKeN dC 其中的是市场上观察到的期权价格 Mar C 2 求函数的导数 f 2 1 2 1 2 d C fS Te 3 由迭代公式计算波动率 直至 1 i ii i f f i f 是期望达到的精度 此外 为了计算隐含波动率 经济学家和理财专家曾 做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式 如 Brenner 和 Subrahmanyam 于 1988 年 Chance 于 1993 年分别提出 计算隐含波动率的公式 虽然这些公式对于持有平价期权 的波动率的计算还算准确 但是基础资产的价格一旦偏离 期权的执行价格的现值 其准确性就会丧失 1996 年 Corrado 和 Miller 在前人研究的基础上建立了如下公式 大 大提高了隐含波动率的计算的准确性 2 2 12 22 rTrTrT rT SKeSKeSKe CC SKeT 5 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价 运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基 本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同 并且用最小二乘回 归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和 各样本路径的最优停时的确定 其基本思路是 在期权的 有效期内 将其标的资产价格过程离散化 随机模拟出标 的资产价格的多条样本路径 从而得到每个时刻资产价格 的截面数据 选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数 作为解释变量 下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变 量 进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值 并 与该时刻期权的内在价值作比较 若后者较大 则应该立 即执行期权 否则 就应继续持有期权 最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤 首 先 随机生成标的资产价格的多条样本路径 然后 从到 期时刻逆向求解 比较期权的内在价值与持有价值 确定 出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时 最后 将 所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均 值便是模拟的期权价值 下面 我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标 的资产的美式看跌期权进行定价 其算法实现步骤如下 第一步 随机生成标的资产价格过程的多条样本路径 现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为 T 期权的执行时刻为 标的资产价格为 期权的 T 0 tT S 执行价格为 在风险中性条件下 该期权的初始时刻价值 X 为 01 exp Q T t PErtf S SSS 其中 为标的资产价格的路径 01 T t S SSS 是在最优执行时刻 的期权价值 上式定义 01 T t f S SSS t 的 便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价 P 值 将期权的存续区间均分为个子区间 则每个子区 0 T N 间的长度为 标的资产价格过程的离散形式 T t N 2 11 exp 2 iii SSrtt 其中 随机变量 服从标准正态分布 因此 0 1 iN 利用生成随机数模拟得到标的资产价格 的一条样本路径 S 重复执行次模拟 我们可得到资产价格的总样 01 N S SS M 本 1 MN S 第二步 计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价 值 对于美式看跌期权 在期权的有效时刻 样本路径 i 上的内在价值为 持有价值为 j max 0 jj ii I SXS 由于美式期权在有效期的任何时 1 exp jQj iii H SEr t C SS 候都可行权 所以必须比较该时刻期权的内在价值与持 j i I S 有价值的大小 以确定该时刻的期权价值以及是否执 j i H S 行期权 即 max jjj iii C SI SH S 由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的 价值 需通过逆向求解这个期望价值 这正是普通的蒙特 卡洛模拟法为美式期权定价的难点所在 最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标 的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模 型 2 1123 exp jjj jiiij Yr t C Saa Sa S 上述模型以所有样本路径在时刻 的价格 和作为解释变 ii S 2 i S 量 对应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量 采 用普通最小二乘法进行回归 求得回归系数的估计值 和样本回归方程 再将各个资产价格 123 a a a 2 123 jj jii Yaa Sa S 样本代入到回归方程分别可以得到其期权的持有价值估计 值 1 exp jj jiii YE Y SEr t C SS 根据计量经济学的理论 这个估计值就是在标的资产 价格下的期权持有价值的无偏估计值 另外 本例中选取 j i S 基函数作为解释变量 根据实际情况 2 012 1 L SL SS L SS 中也可以选取其他形式的基函数 2 012 exp exp 1 exp 1 2 2222 SSSS L SL SSL SS 作为解释变量 现在 我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径 上的最优停时和每个样本点的期权价值 在到期日 执行 T 看跌期权的价值为 接着 判断在时刻是否 max 0 j N XS 1N 行权 若期权处于实值状态 即 则与继续持有期权 1 j N SX 的价值相比较 若内在价值大于持有价值 则应立即执行 期权 否则 继续持有期权 考虑在该时刻期权处于实值 的样本子集 近似期权持有价值的回归方程为 2 112131 exp max 0 jjjj NNNNj yr TXSaa Sa S 其中 是时刻所有期权处于实值状态的标的 1N jJ 1N J 1N 资产价格样本集 在时刻的资产价格信息下 比较 1N 1 j N S 内在价值与继续持有期权的价值就可做出是 1 max 0 j N XS 1 j N y 否执行期权的决策 同理 我们可倒推继续求得时刻 的期权持有价值 对于每条样本路径 期权 2 3 0NN j 或是在最优停时执行 或是永不执行 具体设计 0 1 j tN 程序时 令初值 在时刻 如果继续持有期权 则 j tN 1N 不变 如果执行期权 则 依此类推 每个样本上 j t 1 j tN 就只有一个最优停时 每次更新 最后便求得每条样本路 j t 径上的最优停时 第三步 对各条样本路径上的期权价值按无风险利率 贴现并求其均值 经过次模拟后 得到条标的资产价格的样本路径 MM 以及每条样本路径上的最优停时 和在该时刻的期权价值 j t max 0 1 2 jj jj tt I SXSjM 由于每条样本路径上的最优执行时间不同 期权价值的贴 现因子也不同 所以应分别进行贴现求均值 最终得到 j rt e 初始时刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值 1 01 exp exp j M j j t jQ T t rtI S PErtf S SSS M 例 3 已知股票价格为 50 美式看跌期权执行价为 50 到期日为 5 个月 股票年收益率的标准差为 0 4 无风险利 率为 10 用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格 编制最小二乘蒙特卡洛模拟的 MATLAB 程序如下 function price AmericanOptLSM S0 K r T sigma N M dt T N R exp r sigma 2 2 dt sigma sqrt dt randn N M S cumprod S0 ones 1 M R ExTime N ones M 1 CF zeros size S CF end max K S end 0 for ii N 1 2 Idx find S ii C nIdx setdiff 1 M Idx Jdx CF ii Idx Jdx max K X Jdx 0 ExTime Idx Jdx ii CF ii nIdx exp r dt CF ii 1 nIdx end Price mean CF 2 exp r dt 绘制标的股票价格模拟图 x1 0 N y1 S y2 mean S subplot 2 1 1 plot x1 y1 subplot 2 1 2 plot x1 y2 xlabel 期权存续期间 ylabel 股价的模拟路径 绘制期权价值模拟图 figure x2 1 N y3 CF 2 end for i 1 M y4 i y3 i ExTime i end plot x2 y3 ExTime y4 xlabel 期权的最优停止时间 ylabel 期权价值的模拟路径 模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示 模拟的期权价值路径及其最优停时如下图 本例中的美式看跌期权价格为 price AmericanOptLSM 50 50 0 1 5 12 0 4 50 Price 4 2654 6 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差 减少技术 方差减少技术的共性是利用模型特点 调整或修正模 拟的输出变量 从而降低估计值的方差 在采用方差减少 技术时 要具体问题具体分析 针对不同期权类型的特点 应用相关的方差减少技术 从而取得效率的最大改进 对偶变量 Antithetic variates 技术 对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术 以 标准欧式看涨期权为例 其标准蒙特卡洛估计值为 1 1 exp max 0 1 exp m j T m jj MC j rTSK CrTC mm 标的股票的股价终值抽样为 2 1 2 0 1 2 j rTT z j T SS ejm 由概率论的知识可知也是标准正态分布中相互独 j Z 立的抽样值 那么用代替得到的也是股票价格终值 j Z j Z j T S 的抽样 从而由的平均值也 exp max 0 1 2 j jT CrTSKjm 能得到期权价格的无偏估计量 因此 由对偶变量技术得 到的期权价格蒙特卡洛估计值为 1 1 2 m jj AV j CC C m 对偶变量技术的有效性 由于 所以 jj Var CVar C 并且 令 对于 1 22 jj jjj CC VarVar CCov C C jj CZ 标准欧式看涨期权 是单调递增函数 由不等式 j Z 可知 从而 jjjj EZZEZEZ 0 jj Cov CC 对偶变量技术有效 1 22 jj j CC VarVar C 显然 标准欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单 调函数 所以对偶变量技术对这两种期权也适用 而障碍 期权 和回望期权则反之 对偶变量技术置信区间的估计 由于 并不独立 而才是独 1122 mm C C C CCC 1122 222 mm CCCCCC 立同分布的抽样 故采用 n 个而非 2n 1122 222 mm CCCCCC 个来计算样本标准差 1122 mm C C C CCC 以上对偶变量技术采用的输入变量 Z 服从标准正态分 布 实际上使用更广泛的输入变量是随机数 显然 i U 与具有相同分布且两者负相关 从而只要输入变量与1 i U i U 输出变量存在单调关系 对应的输出变量与对应的输1 i U i U 出变量也存在负相关关系 对偶变量技术有效 控制变量 Control variates 技术 一元控制变量 若是期权到期回报贴现的 n 次独 1 n YY 立模拟值 那么期权价格的蒙特卡罗估计值是 假 1 1 n i i YY n 设得到 的同时能得到另一个输出变量且己知 i Y i X E X 独立同分布 则对于确定的数 b 有 1 ii X Yin iii Y bYb XE X 期权价格的控制变量估计值即为 1 1 n ii i Y bYb XE XYb XE X n 所谓的 控制 是指 由下式可知控制变量 XE X 估计值是无偏估计量 E Y bE Yb XE XE YE Y 若令 则有 22 XY Var XVar Y 222 2 iiiii YXXYXY Var Y bVar Yb XE XVar YbX bb 对上式关于 b 求导数 解得能够使最小化的 b i Var Y b 值应为 因此 Y XY X Cov X Y b Var X 2 1 iXYi Var Y bVar Y 由此可见 只要 X 与 Y 的相关性越强 那么控制变量 估计的方差减少越显著 所以控制变量技术的关键是选择 与 Y 关系密切且期望值已知的控制变量 另外 由于计算 的两个量和未知 故实践中采用的是的估 b Cov X Y Var X b 计值 1 2 1 n ii i n i i XXYY b XX 多元控制变量 控制变量技术也可以推广到多元情形 假设得到 的同时能得到 d 维向量并且 i Y 1 dT iii XXX 已知 独立同分布 的协方差矩 E X 1 ii X Yin X Y 阵为 XXY T XYY 是矩阵 是矩阵 且是非奇异矩阵 则 X dd XY 1d X 对于确定的向量 b 有 多元控制 T iii Y bYbXE X 变量估计值为 1 1 n TT ii i Y bYbXE XYbXE X n 由于 经过 2 2 TTT iiiYXXY Var Y bVar YbXE Xbbb 推导可知最优控制系数向量 相应的最小化方差为 1 XXY b 其中 22 1 iY Var Y bR 1 2 2 T XYXXY Y R 下面介绍在一种特殊情形下的推导过程 b 若多元控制变量之间彼此独立 即 1 2 d XXX 则有 0 ij Cov XXij 11 2 dd iii ii ii Var Y bVar YbVar XCov Y b X 由多元函数的极值理论 可解得使最小化的向 i Var Y b 量的第 i 个分量应为将代入 b 1 1 2 i XXY i Cov X Y bid Var X b 可得 2 22 1 1 1 d i iiY i Var Y bY XVar YR 关于偏差的讨论 由于未知 实践中采用的是其估 b 计值 由 与的相关性 可知控制变量估计值将是有 b b i X Y b 偏的 并且也将是有偏的 2 1 1 1 n ni i SY bY b n 解决如上问题的方法有两个 一是增加模拟的次数 当 n 增大时 偏差的响将会变小 另一个方法是将模拟分 为两个部分 先用次模拟得到结果生成 再用 11 n nn b 次模拟的结果计算 这样得到的估计值将是无偏 1 nn Y b 不过 现实情形下 的偏差并不大 从而采用复杂的分 b 步运算获取无偏估的作法并不吸引人 控制变量的类型 期权定价中常采用的三种控制变量 有标的资产价格 定价已解决的期权以及为模拟标的资产 价格所需的正态随机变量 1 标的资产价格 在期权定价的蒙特卡罗模拟中 标的资产价格是来源 最广的一类控制变量 在风险中性测度下 假设无风险利 率为常数 r 资产价格的贴现为鞅 即 而待定价 0 rt t E eSS 的期权价格是标的资产价格的函数 两者具有相关性 因 此可以采用标的资产价格 或其贴现 作为控制变量 若待定价的是标准欧式看涨期权 那么 rt T YeSK 将作为控制变量 相应的控制变量估计值为 rt T eS 0 1 1 n rti iT i Y bYb eSS n 实验证明 当 K 0 时 控制变量与 Y 的相关性最强 从而方差减少效果显著 而当 K 很大时情况相反 若待定价的是亚式期权 N 为一年 1 n jrn N j S YeK n 中交易的总天数 那么可将作为控制变量 由于 0 n j j S 1 00 000 1 1 r nN nnn rj N jj r N jjj e ESE SS eS e 相应的控制变量估计值为 1 0 10 11 1 r nN mn i ij r N ij e Y bYbSS me 2 定价己解决的期权 如果两种期权的回报函数具有相似性 并且其中一种 期权的定价公式已知 那么可将此期权作为控制变量为另 一种期权定价 最著名的例子是 Kemna 和 Vorst 使用几何 平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权定价 显 然这两种期权的回报具有很强的相关性 从而方差减少效 果显著 再比如仍是对算术平均资产价亚式期权定价 由于与 其具有相同到期日与敲定价格的标准欧式看涨期权的价格 可以由 B S 公式得到 故可将作为控制变量 rn N n eSK 3 正态随机变量 模拟标的资产价格路径要用到正态随机变量 因此可 考虑将正态随机变量 或其线性组合 作为控制变量 比如为算术平均执行价亚式期权定价 模拟的过程需要独立的 均值 1 n jrn N n j S YeS n j S 为 方差为的正态随机变量 从而将 2 2 rN 2 N 1 n XX 作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为 1 n XX 2 10 12 mn i ij ij r Y bYX mN 矩匹配 Moment Matching 技术 为了模拟标的资产样本路径需要从正态分布中抽样 考虑最简单的情形 标准欧式看涨股票期权的蒙特卡洛估 计值需要 m 个独立且服从标准正态分布的抽样 12 m Z ZZ 由于的样本矩不一定与总体矩匹配 故而矩匹配技术的 j Z 思想就是对这些样本进行调整 使其一阶矩 二阶矩乃至 高阶矩与总体矩匹配 再利用调整后的样本得到蒙特卡洛 估计值 定义是样本均值 通过如下调整可达到一阶矩 1 1 m j j ZZ m 匹配 由生成的股票价格终 1 2 jj ZZZ jm 0 1 j ZN j Z 值为 从而期权到期回报贴现的一次模拟值为 j T S 利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估 exp max 0 j jT CrTSK 计量为 1 1 m j j C m 和对偶变量技术一样 应用矩匹配技术会给置信区间 的估计带来变化 因为并不独立 导致 12 m Z ZZ 也不独立 所以不能直接应用中心极限定理估计 12 m C CC 误差 一个解决方案是将抽样分隔为不同批次 对每个批次 分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计 再将 批均值作为蒙特卡罗估计值 由批方差得到误差估计 例 如可采用 10000 个相互独立的批次 每个批次对 100 个标 准正态分布抽样应用矩匹配技术 即总共采用 100 万个标 准正态分布抽样 如果定义为样本标准 通过如下的调 2 1 1 1 m Zj j SZZ m 整可达到前两阶矩匹配 1 2 j j Z ZZ Zjm S 需注意由上式得到的不再服从标准正态分布 故相应 j Z 的将是期权价格的有偏估计 这个偏差在极端情况下可能 j C 会很大 由此致的复杂性使得矩匹配技术的效率改进没有 一个通用的量化标准 如果待匹配的抽样其总体均值 总体方差 j Z0 Z u 1 Z 作如下变换可分别达到一阶矩匹配和前两阶矩匹配 1 2 jjZ ZZZujm 1 2 jZ j Z ZZ Zjm S 其中 与的定义同上 仍以标准欧式看涨股票期权为Z Z S 例 若股价服从风险中性的几何布朗运动 则股价终值的 均值与方差已知 故可采用上式对运用矩匹配技术 j T S 分层抽样 Stratified Sampling 技术 分层抽样技术使样本的经验概率与理论概率相一致 其本质是为了使输入变量分布得更为均匀 这一点与对偶 变量技术相同 考虑简单情形下分层样本的获取 在计算标准欧式看 涨期权的价格时 需要标准正态分布中 m 个相互独立的抽 样 其经验分布不会完全与总体分布相吻合 12 m ZZZ 尤其是尾部表现可能较差 通过下述分层抽样方法可以对 样本的经验分布加以改进 是在 0 1 上均匀分布的随机数 以的长度 12 m U UU 1 m 对区间进行分层 可以得到 n 个分层区间段 令 显然 落在 1121 0 1 m mm mm 1 1 2 j j Uj Vjm m j V 第 j 层上 从而落在标准正态分布的上分位数 1 jj ZV 1j m 与上分位数之间 故由可得标准正态分布的一个 j m 12 m V VV 分层抽样 需要注意的是的高度相关性使得标准误差的估 12 m V VV 计复杂化 为此用批处理的方法对其进行估计 具体过程 同上一节介绍 在高维情形下 采用拉丁超立方抽样技术 Latin Hypercube Sampling 较为简便 假设是上均匀分布随机 1 2 1 2 d jjjj UUUUjm 0 1 d 向量序列 是 d 个独立抽取的上的随机排 12 d 1 2 m 列 令 1 1 2 1 2 k jkk j Uj Vkdjm m 其中是第 k 个排列的第 j 个元素 那么由得到 k j j U 的仍然是上服匀分布的随机向量 并且的第 k 个 j V 0 1 d j V 坐标落入第 k 个 0 l 区间的 m 个不同分层内 从而 k j V 也是一种分层抽样样本 同样地 由于不 12 m V VV 12 m V VV 独立 故而要改变误差估计的方法 重要性抽样 Importance Sampling 技术 重要性抽样技术的思想是用一种概率测度下的期望值 代替另一种概率测度下的期望值 这种概率测度的转换是 通过似然比 Likelihood Ratio 或 Radon Nikodym 导数实现的 金融工程中的风险中性定价即为此思想的一个应用 在期 权定价中 这种方法被用来对小概率事件进行模拟以获得 更有效的估计 首先介绍这种技术的一般化理论 假设 X 是概率密度 为 f 的 d 维随机向量 h 是到 R 上的函数 待求值为 d