第三章_概率_单元质量评估（人教A必修三）

1 单元质量评估单元质量评估 三三 第三章第三章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 下列说法正确的是 A 任何事件的概率总是在 0 1 之间 B 频率是客观存在的 与试验次数无关 C 随着试验次数的增加 频率一般会越来越接近概率 D 概率是随机的 在试验前不能确定 2 下列事件中 随机事件的个数是 如果 a b 是实数 那么 b a a b 某地 1 月 1 日刮西北风 当 x 是实 数时 x2 0 一个电影院每天的上座率超过 50 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 先后抛掷两枚骰子 设出现的点数之和是 12 11 10 的概率依次是 P1 P2 P3 则 A P1 P2 P3B P1 P2 P3 C P1 P2 P3D P3 P2 P1 4 若 A 与 B 是互斥事件 其发生的概率分别为 P1 P2 则 A B 同时发生的概 率为 A P1 P2B P1 P2 C 1 P1 P2D 0 5 把标有号码 1 2 3 10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中 摇匀后 从中 2 任意取一个 号码为小于 7 的奇数的概率是 A B C D 3 10 7 10 2 5 3 5 6 某家庭电话在家里有人时 打进电话响第一声时被接的概率为 0 1 响第 二声时被接的概率为 0 3 响第三声时被接的概率为 0 4 响第四声时被接 的概率为 0 1 那么电话在响前四声内被接的概率是 A 0 1B 0 9C 0 7D 0 4 7 2013 四川高考 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串 彩灯的第一次闪亮相互独立 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次 闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 A B C D 1 4 1 2 3 4 7 8 8 如图是由一个圆 一个三角形和一个长方形构成的组合图形 现用红 蓝两种颜色为其涂色 每个小图形只能涂一种颜色 则三个小图形颜色不全 相同的概率为 A B C D 3 4 3 8 1 4 1 8 9 已知集合 A x y x2 y2 1 集合 B x y x y a 0 若 A B 的概 率为 1 则 a 的取值范围是 3 A 1 1 B 1 0 C D 2222 10 一个数学兴趣小组有女同学 2 名 男同学 3 名 现从这个数学兴趣小组 中任选 2 名同学参加数学竞赛 则参加数学竞赛的 2 名同学中 女同学人数 不少于男同学人数的概率为 A B C D 3 10 2 5 3 5 7 10 11 掷一枚均匀的正六面体骰子 设 A 表示事件 出现 2 点 B 表示 出 现奇数点 则 P A B 等于 A B C D 1 2 2 3 1 3 2 5 12 甲 乙两人玩数字游戏 先由甲任想一个数字记为 a 再由乙猜甲刚才 想的数字 把乙猜的数字记为 b 且 a b 1 2 3 4 5 6 若 a b 1 则称 甲 乙心有灵犀 现任意找两个人玩这个游戏 得出他们 心有灵犀 的概率为 A B C D 2 9 4 9 5 9 7 9 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 2020 分分 请把正确答案填在题请把正确答案填在题 中的横线上中的横线上 13 一个袋子中有 5 个红球 3 个白球 4 个绿球 8 个黑球 如果随机地摸出 一个球 记 A 摸出一个黑球 B 摸出一个白球 C 摸出一个绿球 D 摸出一个红球 则 P A P B P C D 14 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若 4 此点到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 则 1 2 1 4 去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 15 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 1 的概率为 16 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 乙也从该正方形四 个顶点中任意选择两个顶点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率 是 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 7070 分分 解答时写出必要的文字说明 证明解答时写出必要的文字说明 证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 17 10 分 同时抛掷两个骰子 各个面上分别标有数字 1 2 3 4 5 6 计算 1 向上的数相同的概率 2 向上的数之积为偶数的概率 18 12 分 在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径分别为 2cm 4cm 6cm 某人站在 3m 之外向此板投镖 设 投镖击中线上或没有投中木板时都不算 可重投 问 1 投中大圆内的概 率是多少 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外 的概率是多少 19 12 分 袋子中装有大小和形状相同的小球 其中红球与黑球各 1 个 白 球 n 个 从袋子中随机取出 1 个小球 取到白球的概率是 1 2 1 求 n 的值 2 记从袋中随机取出一个小球为白球得 2 分 为黑球得 1 分 为红球不得 分 现从袋子中取出 2 个小球 求总得分为 2 分的概率 20 12 分 一个袋中装有四个形状 大小完全相同的球 球的编号分别为 5 1 2 3 4 1 从袋中随机抽取两个球 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中 随机取一个球 该球的编号为 n 求 n m 2 的概率 21 12 分 能力挑战题 假设某人定了鲜奶 送奶工可能在早上 6 30 7 30 之间把鲜奶送到他家 他离开家去上学的时间是 6 15 7 00 之间 设送奶工到达他家的时间是 x 他离开家的时间是 y 用数对 x y 表 示可能的试验结果 则全部事件组成的集合 x y 6 5 x 7 5 6 25 y 7 1 用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件 A 2 他能在离家前喝到鲜奶的概率是多少 22 12 分 能力挑战题 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系 数 X 依次为 1 2 3 4 5 现从一批该日用品中随机抽取 20 件 对其等级系 数进行统计分析 得到频率分布表如下 X12345 fa0 20 45bc 1 若所抽取的 20 件日用品中 等级系数为 4 的恰有 3 件 等级系数为 5 的 恰有 2 件 求 a b c 的值 2 在 1 的条件下 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 x2 x3 等级系数 为 5 的 2 件日用品记为 y1 y2 现从 x1 x2 x3 y1 y2这 5 件日用品中任取两 件 假定每件日用品被取出的可能性相同 写出所有可能的结果 并求这两 件日用品的等级系数恰好相等的概率 6 答案解析答案解析 1 解析 选 C 概率区间应为 0 1 故 A 错 频率随着试验次数的改变而不同 一般随着试验次数的增加 频率越来越接近概率 故 B 错 C 正确 概率是确定 的值 不因试验次数而变化 故 D 错误 2 解析 选 B 为必然事件 为随机事件 变式备选 下列事件中 随机事件的个数为 物体在只受重力的作用下会自由下落 方程 x2 2x 8 0 有两个实根 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过 10 次 下周六会下雨 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解析 选 B 是必然事件 因为 4 32 28 0 所以方程 x2 2x 8 0 没有 实根 所以 是不可能事件 是随机事件 所以随机事件的个数为 2 个 3 解题指南 我们列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个 数 再分别求出点数之和是 12 11 10 的基本事件个数 进而求出点数之和是 12 11 10 的概率 P1 P2 P3 即可得到它们的大小关系 解析 选 B 先后抛掷两枚骰子 出现的点数共有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共 36 种 其中点数之 7 和是 12 的有 1 种 故 P1 点数之和是 11 的有 2 种 故 P2 点数之和是 1 36 2 36 10 的有 3 种 故 P3 故 P1 P2 P3 故选 B 3 36 4 解析 选 D 若 A 与 B 是互斥事件 则 A B 不可能同时发生 故 A B 同时 发生的概率为 0 5 解析 选 A 因为所有机会均等的可能共有 10 种 而号码小于 7 的奇数有 1 3 5 共 3 种 所以抽到号码为小于 7 的奇数的概率是 3 10 6 解析 选 B 根据互斥事件的概率加法公式 电话在响前四声内被接的概 率等于电话响第一声时被接的概率 加上响第二声时被接的概率 加上响第 三声时被接的概率 加上响第四声时被接的概率 故电话在响前四声内被接 的概率是 0 1 0 3 0 4 0 1 0 9 故选 B 7 解题指南 本题考查的是几何概型问题 首先明确两串彩灯开始亮是 4 秒 内任一时刻等可能发生 第一次闪亮相互独立 而满足要求的是第一次闪亮 的时刻相差不超过 2 秒 解析 选 C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立 且 4 秒内任一时刻等可能发生 所以总的基本事 件为如图所示的正方形的面积 而要求的是第一 次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的基本事件 即如 图所示的阴影部分的面积 根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮 的时刻相差不超过 2 秒的概率是 故选 C 12 16 3 4 8 解析 选 A 共有 8 种不同涂法 颜色全相同的有 2 种 所以所求概率为 P 8 6 8 3 4 9 解析 选 C 由题意 直线与圆有公共点 故 1 解得 a 222 故 a 的取值范围是 22 10 解析 选 D 3 名男同学 2 名女同学 共 5 名同学 从中选出 2 人 有 10 种 情况 女同学人数不少于男同学人数 包括 2 名女同学和 1 名女同学 1 名男 同学 共 7 种情况 故所求概率为 7 10 误区警示 解答本题时 对于基本事件的总数易算错 应该用枚举法一一列 举 或列表或用树状图都可以 11 解析 选 B 由古典概型的概率公式得 P A 1 6 P B 3 6 1 2 又事件 A 与 B 为互斥事件 由互斥事件的概率和公式得 P A B P A P B 1 6 1 2 2 3 一题多解 A B 的对立事件为 出现偶数且不是 2 其概率为 所以 2 6 1 3 P A B 1 1 3 2 3 12 解题指南 可用列表法得出所有的基本事件 解析 选 B 因为 a b 1 2 3 4 5 6 所以 a b 所有可能的结果如图所示 a123456 9 b 1012345 2 101234 3 2 10123 4 3 2 1012 5 4 3 2 101 6 5 4 3 2 10 共有 36 种不同结果 而 a b 1 的结果共有 16 种 因此 P a b 1 16 36 4 9 13 解析 球的总数为 20 所以基本事件总数为 20 事件 A 包含 8 个基本事 件 事件 B 包含 3 个基本事件 所以 P A P B 事件 C 包含 4 个基本 2 5 3 20 事件 事件 D 包含 5 个基本事件 且二者互斥 所以 P C P D C 4 20 5 20 9 20 答案 2 5 3 20 9 20 举一反三 题中条件不变 则 P A D 解析 P A D P A P D 8 20 5 20 13 20 答案 13 20 14 解题指南 根据条件先求出小波周末去看电影的概率 再求出他去打篮 球的概率 易得周末不在家看书的概率 10 解析 记 看电影 为事件 A 打篮球 为事件 B 不在家看书 为事件 C P A 1 1 1 2 2 12 1 4 3 4 P B 1 4 2 12 1 16 所以 P C P A P B 3 4 1 16 13 16 答案 13 16 15 解析 1 2 的区间长度为 3 x 1 的解集 1 1 的区间长度为 2 故所求概 率是 2 3 答案 2 3 16 解析 对于几何中的概率问题 关键是正确作出几何图形 列举出试验结 果所包含的基本事件数 然后求随机事件包含的基本事件数 进而利用概率 公式求概率 正方形四个顶点可以确定 6 条直线 甲 乙各自任选一条共有 36 个基本事件 两条直线相互垂直的情况有 5 种 4 组邻边和对角线 包括 10 个基本事件 故所求概率等于 10 36 5 18 答案 5 18 17 解析 每掷 1 个骰子都有 6 种情况 所以同时掷两个骰子总的结果数为 6 6 36 11 1 向上的数相同的结果有 6 种 故其概率为 P A 6 36 1 6 2 向上的数之积为偶数的情况比较多 可以先考虑其对立事件 即向上的数 之积为奇数 向上的数之积为奇数的基本事件有 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 共 9 个 故向上的数之积为奇数的概率为 P B 9 36 1 4 根据对立事件的性质知 向上的数之积为偶数的概率为 P C 1 P B 1 1 4 3 4 变式备选 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 1 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 2 若摸到红球时得 2 分 摸到黑球时得 1 分 求 3 次摸球所得总分为 5 的概 率 解析 1 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 2 记 3 次摸球所得总分为 5 为事件 A 则事件 A 包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 共 3 个 由 1 可知 基本事件总数为 8 所以事件 A 的概率为 P A 3 8 18 解析 整个正方形木板的面积 即基本事件所占的区域总面积为 16 16 256 cm2 记 投中大圆内 为事件 A 投中小圆与中圆形成的圆环 为事件 B 投中大 圆之外 为事件 C 则事件 A 所占区域面积为 62 36 cm2 事件 B 所 占区域面积为 42 22 12 cm2 事件 C 所占区域面积为 C 256 36 12 cm2 由几何概型的概率公式 得 1 P A 9 64 2 P B 3 64 3 P C 1 9 64 19 解析 1 由题意可得 解得 n 2 n 1 1 1 2 2 设红球为 a 黑球为 b 白球为 c1 c2 从袋子中取出 2 个小球的所有基本等 可能事件为 a b a c1 a c2 b c1 b c2 c1 c2 共有 6 个 其中得 2 分的基本事件有 a c1 a c2 所以总得分为 2 分的概率为 2 6 1 3 20 解题指南 采用列举法列出一切可能的结果组成的基本事件 再根据古 典概型的概率公式进行计算 第 2 问可利用对立事件的概率公式计算 解析 1 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2 1 和 3 1 和 4 2 和 3 2 和 4 3 和 4 共 6 个 从袋中取出的球的编号之和不大 于 4 的事件有 1 和 2 1 和 3 共 2 个 因此所求事件的概率 P 2 6 1 3 2 先从袋中随机取一个球 记下编号为 m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为 n 其一切可能的结果 m n 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 13 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 又满足 m 2 n 的事件的