2012高中数学 集合单元小结（2）教案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 1 教案教案 集合单元小结 二 集合单元小结 二 教学目标 归纳集合子 交 并 补的基本题型 能解决一些综合问题 教学重点 归纳基本题型 教学难点 运用所学理论解决综合问题 课 型 复习课 教学手段 多媒体 实物投影仪 教学过程 一 创设情境 集合是数学是的一个重要概念 它不仅跟高中数学的绝大部分内容都有联系 更在于集 合思想当今已经渗透到自然科学的各个领域 因此让学生掌握集合知识不仅是数学教学本身 的需要 同时也成了提高学生素质的一部分 由于集合这一节教材概念较抽象 出现的符号 术语比较多 致使部分学生一时难以适应 解题中常常出现因不能理解题意而造成的错误 为了使学生能顺利地学好这一节内容 教学中应当注意 正确进行集合中符号语言的转译 熟练运用集合与集合的关系解题 借助数轴和文氏图等图形思考有利于集合运算 不要忘掉空集的特殊性 空集是任何集合的子集 集合中元素的确定性 互异性 无序性是解题的依据 注意解题后的检验 对于含字母的题目 要充分注意字母的取值范围 必要时进行分类讨论 集合作为数学中很重要的基础内容 是会考和高考的必考内容 试题一般有两种类型 第一种是集合知识本身 第二种是集合语言与其它数学知识的综合运用 高一数学的目的是 以完成第一种类型为主的 鉴于高一学生数学知识的局限并不宜过多补充 应对学生正确使 用集合语言 规范书写格式等方面严格要求 这样做对以后运用集合思想解第二类型的习题 是有益的 从近几年的考题看 通常用列举法或描述法给出集合后考查空集与全集的概念 元素与 集合 集合与集合之间的关系 集合的交 并 补运算 集合的运算是重点考查内容 在解 集合问题时 常将集合化简或转化为熟知的代数 三角 几何问题 同时涉及到数形结合 方程与不等式 化归等数学思想的应用 集合作为数学问题解决的工具 另外定义新运算是 一个新的命题背景 二 师生探究 考点题型考点题型 1 1 集合与元素的关系判定集合与元素的关系判定 由集合中元素的确定性知 对于一个集合 它的元素必须是确定的 特别是对于描述法 表示的集合 一定要抓住集合的公共属性和本质特征 灵活应用 例例 1 1 镇江统测 已知集合则必有 22 xNxA 1A 0A 2A 2A 试题解析试题解析 在集合 中 则在中有 选 xN 22x 0 1x 规律说明规律说明 此类问题主要有两类 一是元素和集合之间的关系 二是集合与集合之间的关 系 关键在于确定集合的元素 并真正认识集合中元素的属性 然后依据集合的有关概念 特别是集合中元素的三要素 对于用描述法给出的集合 要紧紧抓住竖线前面的代 x xP 表元素以及它所具有的性质 P 重视发挥图示法的作用 通过数形结合直观地解决问题 x 用心 爱心 专心 2 变式延伸变式延伸 南通二模 设集合 21 Px xmmZ 则 2 Qy yn nZ 0 xP 若 0 yQ 00 axy 00 bx y A B C D QbPa PbPa PbQa aQ bQ 详解详解 集合 表示所有的奇数 表示所有的偶数 则是奇数 则是偶数 0 xP 0 x 0 yQ 0 y 是奇数 是偶数 00 axy 00 bx y 则 选 aP bQ 考点题型考点题型 2 2 集合之间的包含关系和交 并 补运算集合之间的包含关系和交 并 补运算 若对于任意的 总有 则 若且 则 xA xB AB AB BA AB 若存在一个元素 得 则 xA xB AB 这是证明或判断一个集合 特别是无限集合 包含与相等关系的一般性方法 例 例 南京 月调研 已知集合 集合 13 AxxN 2 Bxx 则 ABI A C D 23 xx 2 2 3 试题解析试题解析 集合 13 AxxN 0 1 2 集合 2 Bxx 2 2x xx 或 则 选 ABI 2 规律说明规律说明 集合之间的运算一般都采用数形结合解决 不等式的运算多用数轴进行 但在 运算过程中要注意元素的属性 本例集合中的元素必须保证 否则容易误选 AxN 变式延伸变式延伸 设关于的方程 的解集分别为 A B 若x 2 120 xpx 2 0 xqxr 求的值 3 4AB 3AB p q r 详解详解 由得 是方程和方程的公共解 3AB 2 120 xpx 2 0 xqxr 即 2 3 3 120p 2 3 3 0qr 解得 1p 39qr 3 4A 用心 爱心 专心 3 又 则 3 4AB 3AB 3 4BB 3B 则 2 40qr 由 联列得39qr 2 40qr 6 9qr 答案 1p 6 9qr 变式延伸变式延伸 设 已知 则实数 2 4 21 Aaa 9 5 1Baa 9AB a 详解详解 由得 或 解得 9AB 219a 2 9a 5 3 3a 当时 与矛盾5a 4 9 25A 9 0 4B 9 4AB 9AB 当时 中元素重复 矛盾3a 52a 12a B 当时 满足题设3a 4 7 9A 9 8 4B 答案 3a 考点题型 考点题型 集合之间的包含关系和交 并 补运算集合之间的包含关系和交 并 补运算 例 例 南京二模 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 集合 A 1 2 5 集合 B 1 3 4 则 B UA A 1 B 3 4 C 2 5 D 1 2 3 4 5 试题解析试题解析 由 A 1 2 5 得 3 4 6 UA B 3 4 选 UA 规律说明规律说明 文氏图对处理集合与集合的关系 单元素与集合的关系等有直观的启示 应给 与重视 对于全集中各区域的关系应熟记 变式延伸变式延伸 设集合 A B 是全集的子集 1 2 3 4U 已知 1 UA B 3AB 2 UU AB 求 U AB 详解详解 本题涉及交集 并集 补集等概念 关系较复杂 可 借助图形考虑 如图 用方框表示全集 U 子集 A B 的关系表示如下 由 A B 公共部分应填 3 3AB 由 在 A 之外 B 内应填 1 1 UA B BA U 2 1 34 用心 爱心 专心 4 由 在 A 与 B 之外应填 2 2 UU AB 则在 A 内 B 外应填 4 因此在 A 与 B 的并集之外应是 2 即得 2 U AB 本题亦可直接运用关系 得解 BCACBAC UUU BCACBAC UUU 变式延伸变式延伸 设集合 若 则 a 的取值范围是 12 xxA 0 axxB A B C D 2a 1a 1a 2a 详解详解 在数轴上分别表示集合 若 则 即选 1a 考点题型考点题型 4 4 集合运算与方程的解集合运算与方程的解 以集合形式出现的方程问题 此类问题主要分两类 1 不含参数的一般可直接求解 2 含参数问题 往往是等价转换集合的表示或化简集合 然后依据方程理论进行分类解 决 例 例 2001 年武汉市联考 设 B 2 40Ax xx 22 2 1 10Bx xaxa 若 求的值 ABB a 若 求的值 ABB a 试题解析试题解析 化简集合 A 得 A 一 4 0 由 则有 可知集合 B 或为 或为 ABB BA 0 4 4 0 若 B 由 解得 22 4 1 4 1 0aa 1a 若 代入得 则 或0B 2 10a 1a 1a 当时 A 合题意 1a 2 40Bx xx 4 0 当时 A 也合题意 1a 2 0Bx x 0 若 代入得 解得 或4B 2 870aa 1a 7a 当时 中已讨论 合题意 1a 当时 不合题意 7a 2 16480Bx xx 4 12 由 得 或 1a 1a 2 因为 所以 又 A 一 4 0 而 B 至多只有两个根 因此应有ABB AB A 由 1 知 1a 规律说明规律说明 明确和的含义 根据问题的需要 将和ABB ABB ABB 用心 爱心 专心 5 转化为等价的关系式和是解决本题的关键 同时 在包含关系式ABB BA AB 中 不要漏掉的情况 BA B 变式延伸变式延伸 如果方程的解集为 A 的解集为 B 利用 A B 表示 0axb 0cxd 的解集 的解集 axb 0cxd axb 0cxd 详解详解 首先必须对问题的实质有一个清楚的认识 当方程 或方程0axb 0cxd 有一个成立时 方程 就成立 所以 1 的解集是 A 与 的并集 axb 0cxd 当与都不成立时 才能使 成立 所以 2 0axb 0cxd axb 0cxd 的解集是 A B 两集合补集的交集 0 x axb cxd 0 x axb 0 x cxd AB 0 x axb cxd 0 x axb 0 x cxd UU AB 变式延伸变式延伸 设 若 求实数的取值 2 2 10 Ax xpxxR AR p 范围 详解详解 本题等价于二次方程无正实根 再分成有根和无根讨论 2 2 10 xpx 由 得 或 且AR A A 0 x 当时 解得A 2 2 40p 40p 当时 方程有两个根非正根A 则 解得 2 12 2 40 2 0 p xxp 0p 综合 得4p 变式延伸变式延伸 设 2 10Ax y yx 是否存在 使得 A B 2 42250Bx yxxy Cx y ykxb k bN C 证明此结论 详解详解 A B C A C 且B C k2x2 2bk 1 x b2 1 0 bkxy xy1 2 A C 1 2bk 1 2 4k2 b2 1 0 4k2 4bk 10 即b2 1 bkxy yxx05224 2 用心 爱心 专心 6 4x2 2 2k x 5 2b 0 B C 2 1 k 2 4 5 2b 0 k2 2k 8b 19 0 从而 8b 20 即b 2 5 由 及b N N 得b 2 代入由 1 0 和 2 0 组成的不等式组 得 032 0184 2 2 kk kk k 1 故存在自然数k 1 b 2 使得 A B C 考点题型考点题型 5 5 含有含有 n n 个元素的集合的子集的个数个元素的集合的子集的个数 含有 n 个元素的集合的子集的共有个 真子集共有个 非空真子集共有2n21 n 个 用这一结论 可以判断一类集合的个数 这一点也可以通过具体的例子验证 22 n 例例 5 5 已知 M 1 2 3 4 5 集合 AM 集合 A 中的任一元素a满足条件 若a A 则 6 a A 试写出所有满足条件的集合 A 详解详解 依题意集合 A 中的元素个数可以是 1 2 3 4 5 若 A 中只有一个元素 则 A 3 若 A 中有两个元素 则 A 1 5 或 2 4 若 A 中有三个元素 则 A 1 3 5 或 2 3 4 若 A 中有四个元素 则 A 1 2 4 5 若 A 中有五个元素 则 A 1 2 3 4 5 变式延伸变式延伸 下列命题中正确命题的个数是 A B B CA C A B BA B A B B A ABA B B A A B A 2 个B 3 个 C 4 个D 5 个 详解详解 由 A B B 可知 AB A B A 由 AB 可得出 A B B 由 A 可得出 A B 但不能得出 B A 而 A B B C 可能是 A C 如 B R A Z B U Z 满足 A B B C 但不能得到 A C 正确的是 选 B 考点题型考点题型 6 6 集合中的图形应用问题集合中的图形应用问题 集合中的交 并 补等运算 可以借助图形进行思考 图形不仅可以使各集合之间的相 互关系直观明了 同时也便于将各元素的归属确定下来 使抽象的集合运算能建立在直观的 形象思维基础上 因此图形既是迅速理解题意的工具 又是正确解题的手段 例例 6 6 某地对农户抽样调查 结果如下 电冰箱拥有率为 49 电视机拥有率为 85 洗衣 机拥有率为 44 至少拥有上述三种电器中两种以上的占 63 三种电器齐全的为 25 用心 爱心 专心 7 那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为 10 12 C 15 27 试题解析试题解析 这是一个小型应用题 把各种人群看做集合 本题就是已知全集元素个数 求其 某个子集的元素个数 可借助文氏图解法 解 不妨设调查了 100 户农户 U 被调查的 100 户农户 A 100 户中拥用电冰箱的农户 100 户中拥有电视机的农户 C 00 户中拥有洗衣机的农户 由图知 的元素个数为 49 85 44 63 25 90 ABC 则的元素个数为 100 90 二 10 U ABC 答案 规律说明规律说明 一般此类题利用文氏图直观手段 使集合中元素的个数 以及集合间的关系更 直接的显示 进而根据图逐一把文字陈述的语句 翻译 为数学符号语言 通过解方程和限 制条件的运用解决问题 变式延伸变式延伸 某车间有 120 人 其中乘电车上班的 84 人 乘汽车上班的 32 人 两车都乘 的 18 人 求 1 只乘电车的人数 2 不乘电车的人数 3 乘车的人数 4 不乘车的人数 5 只乘一种车的人数 详解详解 设只乘电车的人数为人 不乘电车的人数为人 乘车的人xy 数为人 不乘车的人数为人 只乘一种车的人数为 人 zst 如图所示 1 66 人 2 36 人 3 98 人 x y z 人 人22s 80t 三 回顾反思 1 解题时要特别关注集合元素的三个特性 特别是互异性 要进行解题后的检验 2 空集在解题时有特殊地位 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 时刻关 注对空集的讨论 防止漏掉 3 解题时注意区分两大关系 一是元素与集合的从属关系 二是集合与集合的包含关系 4 解答集合题目 认清集合元素的属性 是点集 数集或其他情形 和化简集合是正确求解 的两个先决条件 四 课后练习 1 1 设 A x y 2x y 1 B x y x 2y 3 则 A B 答案答案集合 A B 分别表示两条直线 A B 是求两条直线的交点 用心 爱心 专心 8 由解得 2x y 1 x 2y 3 x 1 y 1 A B 1 1 2 2 若 A 1 3 a B 1 a 2 a 1 且 A B A 则a的值为 答案答案 A B A BA 若a 2 a 1 3 则a 2 或a 1 符合题意 若a 2 a 1 a 则a 1 不合题意 舍去 a的值为 2 或 1 3 3 设 M 0 1 2 N x xM 则 M N 的关系为 答案答案 M 0 1 2 N x xM 集合 N 中的元素 x 可以是 0 1 2 0 1 2 M N 4 4 在 100 名学生中 体育爱好者有 81 人 音乐爱好者有 64 人 若体育 音乐都爱好的有 K 人 则 K 的最大值为 K 的最小值为 答案答案依题意 K 64 且 K 81 K 64 即 K 的最大值为 64 81 64 100 K K 45 即 K 的最小值为 45 5 5 巳知集合 则符合条件的不同集合 A B 共有 ABa b ABa b c d A 3 对 B 4 对 C 8 对 D 16 对 解析解析 可用列举法 借助文氏图解决 1 d c b a B A 2 dc b a B A 3 dc b a B A 4 d c b a B A 答案答案 B 6 6 设全集为正整数集 则集合U N 2 Ax xn nN 4 Bx xn nN 可以表示为 N 解析解析 正整数集分为正奇数集和正偶数集 由已知得 则 正奇数 NBA UB 选 U UAB 用心 爱心 专心 9 答案 答案 7 7 已知 A x x 2 2x 3 0 B x ax 1 0 当 B A 时 a的取值的 集合为 A 1 B 1 C 1 0 D 1 0 1 3 1 3 1 3 1 3 解析解析 A x x 2 2x 3 0 1 3 B A B 或 B 1 或 B 3 当 B 时 a 0 当 B 1 时 a 1 当 B 3