统计方面的论文

本科毕业论文 题目名称： 全概率公式与贝叶斯公式的推广及应用 学 院 ： 数学与统计学院 专业年级 ： 统计 12 级 1 班 学生姓名 ： 曲 鹏 班级学号 ： 20121203010127 指导教师 ： 刘钰靖 二 O 一 六 年 五 月 二十四 日 摘 要 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中 重要的公式 ,分析 ,阐述 了它们的用法及它们所适用的概型 我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广 ,并说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原 公式更广 在弄清楚事件间相互影响的次序 ,合理 地设出完备事件组 本论文结合实例阐述了 全概率公式与贝叶斯公式 及它们的推广定理在产品检查 上 、医疗诊断 上 以及统计 与 决策等中的应用 . 关键词 :全概率公式；推广；贝叶斯公式；应用 . in to to We in to t is to of to to in so 目 录引 言 1页 第一章 全概率公式的应用及其推广 2页 2页 2页 2页 概率公式在摸球模型中的应用 2页 概率公式在实际比赛中的应用 3页 概率公式在医疗诊断中的应用 3页 4页 概率公式的推广定理 1及其应用 4页 概率公式的推广定理 2及其应用 5页 概率公式的推广定理 3及其应用 6页 概率公式的推广定理 4及其应用 7页 第二章 贝叶斯公式的应用及其推广 9页 叶斯公式以及它与全概率公式的联系 9页 9页 叶斯公式 在工厂产品检查中的应用 9页 叶斯公式在医疗诊断中的应用 10页 叶斯公式在统计决策中的应用 11页 叶斯公式的推广 12页 12页 的应用 13页 第三章 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 15页 概率公式与贝叶斯公式的综合应用 15页 第四章 总 结 16页 参考文献 17页 致 谢 18页 1 引 言 全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式， 主要用于计算比较复杂事件的概率 ,实质上是加法和乘法 的综合运用 现在社会在飞速发展 , 市场也竞争激烈 , 决策者必须综合考察以往的信息及现状 , 从而做出最佳的综合判断 , 则概率分析这门学科越来越显示其重要性 , 全概率公式和贝叶斯公式是概率分析的重要公式 , 利用数学方法 , 定量地对症施治 , 会解决很多问题 助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供有价值 的 信息 这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具 . 第一章 全概率公式的应用及推广 2 第一章 完备事件组 在了解全概率公式之前，我们先来看一下完备事件组的概念 . 如果 n 个事件1, (1)1, (2)1 那么，我们称这个 n 个事件1, 的一个划分，也称构成一个完备事件组 . 为了下 面推广全概率公式的需要 , 我们首先介绍一下“ 全概率公式” . 设 n 个事件构成样本空间的一个划分 ,B 是一个事件 ( ) 0, ( ) 0, 2, ,L 时则有： 1( ) ( ) ( | )n P A P B A , 在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得，但却很容易找到 的一个完备事件组1,一般 ()| )P B 可以通过计算得到，那么就能用全概率公式求出 P（ B） 下面几个例子中可以加深对它的了解 . 概率公式的应用 概率公式在摸球模型中的应用 例 1：设甲袋中有 a 只白球， b 只红球，从甲袋中任取一球放入已袋中，再从已袋中任取一球，试求已袋中取出的球是白球的概率？ 解：设 A = 从 甲 袋 中 取 出 的 球 是 白 球,B = 从 乙 袋 中 取 出 的 是 白 球,则A ,A 构成完备事件组，因此： P（ B） = ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A P A P B A= b 1 +1b a b = 3 概率公式在实际比赛中的应用 例 2、某投篮小组共有 20名投手 , 其中一级投手 4人 , 二级投手 8人 , 三级投手 8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是 分析：问题实质上涉及到两个部分：第一 , 选出的投手不知道是哪个级别的 ,由全 概率公式知 , 都应该考虑到 , 才为全面 某个级别的投手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的 , 记为： “选出的 i 级投手”， 1,2,3i ，则1 2 3,A A ： 1 2 3A A A ， ， 1, 2, 3 由题意：1 4()20,2 8()203 8()20 “选出的投手能通过选拔进入比赛”，要求： ( ) ? 则：1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A = 4 8 80 . 9 0 . 7 0 . 42 0 2 0 2 0 =62% 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为 62%比 是因为三种可能性都考虑到了 . 概率公式在医疗诊断中的应用 例 3、据调查，在 50个耳聋人中有 4人色盲，在 9950个非耳聋人中有 796人色盲，分析两种疾病是否相关 . 分析 :设事件 A 为耳聋人，事件 B 为色盲人， ()P A p ， 则 ( ) 1P A p 4( | )50P B A =796( | )9950P B A =全概率公式，1( ) ( ) ( | ) P A P B A = ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A = p 0 . 0 8 p （ 1- ） 所以， ( ) ( | ) ( | ) 0 . 0 8P B P B A P B A ,事件 A 与事件 B 相互独立 . 第一章 全概率公式的应用及推广 4 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关 . 概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征 法，充分利用好全概率公式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具 有可信度，更有利于促进对病人的对症施治 . 当一个复杂事件的发生与一列互不相 容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的分割，而这些事件对复杂事件的发生没有影响时，可将全概率公式作以下推广 . 概率公式推广定理 1及其应用 设12, , , , A 是一列事件，添加12, , , C后，或其自身构成样本空间 的一个分割 , 0 , 1 , 2 , , i 则对任一事件 B ， 当 | 0 , 1, 2 , , , C k m 有 1 | P A P B A . 证明：121 A B B C B C B C U U U L 11( ) ( ) ( ) P A B P B C =11( ) ( | ) ( | )mi i P B A P B C =1( ) ( | ) P B A例 4、 设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为p ，一人击中目标被摧毁的概率是 p ，两人击中目标被摧毁的概率是 2p ，三人击中目标被摧毁的概率是 3p ，求目标被摧毁的概率 . 解：令 B “目标被摧毁”，有 i 个人击中目标” 1,2,3i ， 21213 1 3 ,p A C p p p q 2 2 223 1 3 ,p A C p p p q 33p A p其中 虽然1 2 3A A A、 、不构成样本空间 的分割，但添加 C “三人均未击中”后就构成 的分割，而 |p B C Q 于是，得： 5 3 2 2 31| 3 3 2 3 p A p B A p q p p q p p p 223 2 3p q q p q p p p 当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，全概率公式可推广为推广定理 2. 概率公式 推广定理 2及其应用 设 1, 2 , ,iA i n 和 1, 2 , ,jB j m 是先后两个试验过程中的划分， C 为目标事件 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,i j i P A P B P A B i n j m 时， 则有 ： 11| | i j i i P A P B A P C A B 证明：11( ) ( ) ( ) P C A P A C11 1( ) ( )i C P A C B U=1 1 11( ) ( )mn n mi j i ji i B C P A B C ) ( | ) ( | )nm i j i i P B A P C A B 例 5、已知两个箱子中各装有 3个不合格品和 5个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第 一箱中取出一个产品是合格品的概率 . 解 ： 设 示“从第一箱中取出 i 个合格品放入第二箱中” 0,1i ；第二箱中取出 j 个合格品放入第一箱中” 0,1j ； C 表示“再从第一箱中取出一个合格品” 0 1 0 0 1 0 0 1 1 13 5 4 5 3 6, , | , | , | , |8 8 9 9 9 9P A P A P B A P B A P B A P B A 第一章 全概率公式的应用及推广 6 0 0 0 1 1 0 1 15 6 4 5| , | , | , |8 8 8 8P C A B P C A B P C A B P C A B 故由全概率推广公式得： 11005| | j i i P A P B A P C A B下面我们再将全概率公式推广至条件全概率公式的情形 . 概率公式推广定理 3及其应用 设12, , , A为样本空间 的一个分割 ,即12, , , A互不相容且1 U, 0 , 1 , 2 , , i n ， ,当 0 , 0 P A C时，有 1| | | .n C P A C P B A C 特别当 C 分别与 12, , , A 独立时， 1| | .n C P A P B A C 证明： 设 ,据加法公式，有 1.n C P A B C 当 0 , 0 1, 2 , , P A C i n 时 | | | .i i i i B C P A C P B A C P C P A C P B A C所以 1| | | .n C P C P A C P B A C 故1()( | ) ( | ) ( | | )() C P A C P B A 而当 C 与12, , , A独立时，有： |, C P A此时： 1| | .n C P A P B A C 例 6、设有两箱相同的产品，第一箱内装 50件，其中 10件合格品；第二箱内装 30件，其中 18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率 . 解 ： 设 示“抽取第 i 箱” 1,2i ； j 次取出的产品是合格品” 1,2j 21( ) ( ) 2P B P B,1 1 1 213( | ) , ( | )55P A B P A B, 第一章 全概率公式的应用及推广 6 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 5P A P B P A B P B P A B 由于 : 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 2 1 211| 1 3 9 1 7| , | , | , |4 4 4 9 2 9P A B P B P A A P B A P A A B P A A P A 由条件全概率公式得： 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 9 3 1 7| | | | | 0 . 4 94 4 9 4 2 9P A A P B A P A A B P B A P A A B 灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具，全概率公式还可以推广至随机变量的情形中 广四 全概率公式推广定理 4及其应用 设二维随机变量 ( , )联合密度函数为, ( , )x y，边缘密度函数分别为()()么其条件密度函数可以由下式来表示： ,| ， ）（ ） =（ ）, ,|( , )()() x xf x . 这样就可以得到全概率公式的分布形式： ,|( ) ( , ) ( ) ( ) ,X X Y X Y t Yf x f x t d t f x f t d t,|( ) ( , ) ( ) ( ) Y Y X s Xf y f s y d s f y f s d s 在应用时，有时候会遇到混合型随机变量 ，即其中一个是离散型的，另一个是连续型的，这时可以利用分布律 . 设二维随机变量 ( , )中 , X 是连续型随机变量 , Y 是离散型随机变量 ,其分布律为 ()么： |( ) ( ) ( ) ,x X Y y x f x p y 如果 X 是离散型的 , Y 是连续型的 ,则有： |( ) ( ) ( ) Y t Yp x p x f t d t 第一章 全概率公式的应用及推广 8 这些公式对解决含有不确定因素的问题有重要的作用 . 广定理 4在保险中的应用 例 7、 某保险公司想对其索赔额建立一个模型 , 以此期望其产品获得好的利润 . 根据历史数据 , 认为具有利好风险的投保人 ,其索赔额的密度函数为 : 2( ) 2 x e , 0x . 而认为具有利坏风险的投保人 ,其索赔额的密度函数则为 : 31() 3 x e ， 0x 000元人民币为一个单位 , 现已知指定的投 保人具有利坏风险的可能性是 30% , 问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率有多大 ? 解 ：设 X 表示索赔额 , I 表示风险的指示变量 . 则由所给信息知 : 设有利坏风险时 , 1I , 其概率为 30%; 设有利好风险时 , 1I ,其概率为 70%,从而 有 ： 2|0 ( ) 2 , 0 ;x e x 3|11( ) , 0 .3 x e x 那么由混合型全概率公式可得随机变量 X 的密度函数为 : | 0 | 1( ) ( ) ( 0 ) ( ) (1 )X X I I X I If x f x P f x P2 312 0 . 7 0 0 . 3 03 2 31 . 4 0 . 1 而我们要求的是索赔额 1X 的概率 ,由密度函数与概率之间的关系可得 : 122 331 1 1( 1 ) ( ) 1 . 4 0 . 1 1 . 4 0 . 1 f x d x e d x e d x e e 此即索赔额大于一个单位的概率 . 在这个问题中关键是要求出索赔额在不同风险下的密度函数 ,为此我们必须把题设的信息数量化 ,设一个指示变量 ,从而使问题变得更容易求解 推广定理 4在实际保险中的应用也是很广泛的 . 9 第二章 在介绍了全概率公式以后还得介绍贝叶斯公式，因为贝 叶斯公式和全概率公式是一组互逆公式 设 n 个事件1,B 是一个事件，当( ) 0, )( 0, 1, 2, ,L 时则有贝叶斯公式为： 1( ) ( | )( | ) , 1 , , .( ) ( | ) p B B i p B A条件概率的定义及乘法公式有： ( ) ( ) ( | )( | )( ) ( )i i A B P A P B B P B P B, 对 () 1( ) ( | )( | ) , 1 2 .( ) ( | ) P B B i P B A L、由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的 面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用 . 叶斯公式的应用 叶斯公式在工厂产品检查中的应用 例 1、某厂生产的产品次品率为 但是没有适当的仪器进行检验，有人声称发明一种仪器可以 用来检验，误判的概率仅为 5% 分析： “ 5%的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正 (或次 )品中实际正 (或次 )品率” . 第二章 贝叶斯公式的应用及其推广 10 解： 设事件 A 表示“客观的次品”，事件 B 表示“经检验判为次品的产品”，由题意知： ( ) , ( ) ， ( | ) 0 P B A , ( | ) 0 P B A . 由贝叶斯公式可计算“被检验出的次品中实际次品率”为： ( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P B A P A P B A 0 . 0 0 1 0 . 9 50 . 0 0 1 0 . 9 5 0 . 9 9 9 0 . 0 5 同理，“被检验出的正品中实际正品率”为： ( | ) 0 . 9 9 9 9 4 7P A B 由 ( | ) 0 . 0 1 8 6 6 4P A B 可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，因为被仪器 判为次品的产品中实际上有 98%以上的是正品，这样导致损耗过高 们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，又保证了正品具有较高的可信度 . 叶斯公式在医疗诊断中的应用 例 2： 某地居民肝癌病发率为 患病则呈阳性，未患病则呈阴性 问，某人经检验结果呈阳性，他患肝癌的概率有多大 ? 解：设事件 A 表示“患有肝癌”，事件 B 表示“检验结果呈阳性”， 由题意知 ( ) 0 0 4 , ( ) 0 9 6, ( | ) 0 ,P B A ( | ) 0 ,P B A 由贝叶斯公式可知“他确实患有肝癌的概率”为： ( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B B P A P B A P A P B A 0 . 0 0 40 . 0 0 4 （ （ - 0 . 9 9 9 0 . 0 5 11 显然，这使他大吃一惊，患有肝癌的可能不到 是可以理解的 000人中约有 4人患有肝癌， 9996人不患肝癌，这 1000人的检验中约有504人的结果呈阳性，其中约 500人都是“虚惊一场” 少“虚报” 是提高诊断的关键所在 查” ,再对有可疑之人进行“甲胎蛋白质检查” (A)= ( | )P A B 样就大大提高了此法的准确率了 . 叶斯公式在统计决策中的应用 目前，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而做出判断 进行统计决策的重要工具 . 例 3、 一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“ S ”，失败记作“ D ”，推销员的主观概率 ( ) ， ( ) ，成功的收益为 50000元，失败的收益为 咨询公司作预测调查，有两种调整方法 1， 2， 其费用分别为 2000元， 3000元，若同时进行 1， 2，费用为 4000元， 了解咨询公司的业绩，预报的结论为： 对 l： ( | ) 0 F S ( | ) 0 D 对 2： ( | ) 0 F S ( | ) 0 D (F ：可行； E ：不可行 ) 现有如下六种决策 : a 、不进行调查 ； b 、只进行 1 ； c 、只进行 2 ; d 、 1， 2同时进行； e 、先做 1，视情况后做 2 ； f 、 先做 2，视情况后做 1. 若效益 系数为风险中性，请试选择一种最好的决策？ 解 : 分别计算各决策的期望效益 (收支 )： a 销 5 0 0 0 0 ( ) ( 3 0 0 0 0 ) ( )E U P S P D 5 0 0 0 0 0 . 3 3 0 0 0 0 0 . 7 6 0 0 0 ; 不推销，期望效益 (收支 )为 0. 11( ) 6 0 0 0 0 3 0 0 022E U a ； b 调查方法 1. 1 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0 . 6 0 . 3 0 . 1 0 . 7 0 . 2 5p F p F S p S p F D p D ；1( ) 第二章 贝叶斯公式的应用及其推广 12 1已用咨询费 2000元 . 1F 表示可行，导致推销，此时运用贝叶斯公式 : 1111( | ) ( )( | ) 0 . 7 2( | ) ( ) ( | ) ( )p F S p F p F S p S p F D p D 因而1( | ) 0 P D F 期望收支 (效益 )：1( ) 5 0 0 0 0 0 . 7 2 3 0 0 0 0 0 . 2 8 2 7 6 0 0 F . ( ) 2 7 6 0 0 0 . 2 5 2 0 0 0 0 . 7 5 5 4 0 0E U b ； c ， 同 ()b 一样用贝叶斯公式有： ( ) 6 7 9 6;EU c d 四种可能结果： 1 2 1 2 1 2 1 2,F F F E E F E E 1 2 1 2 1 2( ) ( | ) ( | ) ( )p F F p F F S p F F D p D=1 2 1 2( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) 0 . 1 5 1p F S p F S p S p F D p F D p D; 同理有12( ) 0 9 ;P F E 12( ) 0 9 ;P E F 12( ) 0 1,P E E 再运用贝叶斯公式， 注意到此时咨询费用为 4000元， 进一步计算有 ( ) 5 8 0 8;E U d e l，若结论为不可行 ()E ，则不进行 2. 若结论为可行，则进 行 2，经计算 (同以前方法 )有： ( ) 4 1 9 6;EU e f .同 e ，有 ( ) 6 1 8 8;E U f 根据期望效益准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为 6796，对应的决策是 C，即只进行 2是最好的决策，此例中还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合联用是统计决策中的一个重要方法 贝叶斯公式的推广 当试验的随 机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广 . 叶斯公式推广定理 1 设 ( 1, 2, )iA i n 1, 2 , , )jB j n 13 C 为目标事件 ) 0,( ) 0,( ) 0, ( ) 0 B , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,i n j m有： （ 1） 1( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 ,()mi j i i P B A P C A C i K （ 2） 1 ( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 ,()ni j i i P B A P C A C j K （ 3） ( ) ( | ) ( | )( | ) , 1 , 2 , , 1 , ,()i j i i P B A P C A B C i n j 1）： 1 ()()( | )( ) ( ) B C P C P C=1( ) ( | ) ( | )()mi j i i P B A P C A 同理可以证明（ 2）、（ 3） 叶斯公式推广定理 1的应用 叶斯推广定理 1在摸球模型中的应用 例 4、已知甲、乙两个口袋中各装有 3个白球和 5个黑球 个球然后放人乙袋中，再从乙袋中任取 1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出 1个球 (1)已知最 后从甲袋中取出的是 1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率 ;(2)已知最后从甲袋中取出的是 第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率 ;(3)已知最后从甲袋中取出的是 1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率 . 解：设 示“从甲中取出 i 个黑球放人乙中”， 0,1i ；乙中取出 :个黑球又放回甲中” , 0,1;j C 表示“第二次从甲中取出 1个黑球” 1 0 03 5 3( ) ; ( ) ( | )8 8 8P A P A P B A ； ；1 0 0 153( | ) ( | )99P B A P B A；; 1 1 0 0 0 1 1 0 1 16 5 6 4 5( | ) ( | ) ; ( | ) ; ( | ) ; ( | ) 8 8 8P B A P C A B P C A B P C A B P C A B ；第二章 贝叶斯公式的应用及其推广 14 (1)由贝叶斯推广（ 1）可得：11101( ) ( | ) ( | )() ()i j P B A P C A C 5 3 4 6 5() 78 9 8 9 85 128 同理可得：（ 2）、（ 3）： 13 5 6 5 6 528 9 8 8 9 8( | ) ;5 38P B C 115655898( | ) 28P A B C 15 第三章 概率公式与贝叶斯公式的综合应用 通过上面二章，主要讲述了全概率公式与贝叶斯公式这两个公式以及其公式推广在多方面的应用 概率公式与贝叶斯公式在生活实际的应用中其实是相互关联，相互联系的 与全概率公式是互逆应用的 时候单纯的运用其中一个公式很难解决问题，综合运用两个公式时却往往能使问题