2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（课标全国卷Ⅰ解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 课标全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 课标全国卷 解析版 解析版 教师简评 2010 年黑龙江 海南 宁夏 吉林高考数学试题从整体看 体现 总体稳定 深化能力 的特点 在保持 2009 年特点的同时 又力争创新与变化 试题不仅注意对基础 知识的考查 更注重了对能力的考查 从考生角度来说 试卷总体相对基础 有较好的梯 度 注重认知能力和数学运用能力的考查 稳中求新 1 忠实地遵循了 普通高中新课程标准教学要求 和 2010 年 考试说明 2 题型稳定 突出对基本知识但考查 全卷没有一道偏题 怪题 全卷结构 题型包括 难度基本稳定 填空题比较平和 不需要太繁的计算 考生感觉顺手 许多试题源于 课本 略高于课本 附加题部分 选做题对知识的考查单一 解决要求明确 学生容 易入手 3 多题把关 有很好的区分度 能有效区分不同能力层次的考生群体 4 深化能力立意 知识与能力并重 全卷在考查知识的同时 注重考查学生的数学基本 能力 许多试题实际上并不难 知识点熟悉 但需要考生自主综合知识 才能解决问 题 关注联系 有效考查数学思想方法 如函数与方程思想 分类讨论思想等 5 加大数学应用题考查力度 体现 学数学 用数学的基本思想 参考公式 样本数据的标准差 锥体体积公式 12 n x xx 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 Vsh 其中为样本平均数 其中 S 为底面面积 h 为高x 柱体体积公式 球的表面积 体积公式 VSh 23 3 4 4 SR VR 其中 S 为底面面积 h 为高 其中 R 为球的半径 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 已知集合 则2 4 Ax xxR BxxxZ AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 答案 D 命题意图 本试题主要考查集合的概念和基本运算中的交集问题 解析 选 D 22 0 1 2AxxB 2 a b 为平面向量 已知 a 4 3 2a b 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 2 A B C D 8 65 8 65 16 65 16 65 答案 C 命题意图 本试题主要考查向量的运算及夹角公式 解析 由题知选 C 16 4 3 5 12cos 65 a b aba b a b 3 已知复数 则 2 3 13 i z i i A B C 1 D 2 1 4 1 2 答案 B 命题意图 本试题主要考查复数的除法运算问题 以及复数模的含义 解析 选 B 331 42 2 13 ii ZZ i 4 曲线在点 1 0 处的切线方程为 2 y21xx A B 1yx 1yx C D 22yx 22yx 答案 A 命题意图 本试题主要考查导数的几何意义的运用 求曲线的切线方程 解析 由点斜式得切线方程为选 A 2 321yxk 切 1yx 5 中心在远点 焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离心率为x A B 65 C D 6 2 5 2 答案 D 命题意图 本试题主要考查双曲线方程的设法 及离心率的求法 解析 由题双曲线为标准双曲线设为 淅近线为 又因点 22 22 1 xy ab b yx a 在淅近线上所以选 D 4 2 22 5 2 2 cab abe aa 6 如图 质点在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始p 位置为 角速度为 1 那么点到轴 0 p22 px 3 距离关于时间 的函数图像大致为dt 答案 C 命题意图 本试题主要考查观察能力 解析 由图知当时 且开始时先减小再增加故选 C0t 2d d 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A 3a2 B 6a2 C 12a2 D 24a2 答案 B 命题意图 本试题主要考查长方体外接球半径的求法 解析 因长方体的外接球球心为体角线的中点 所 2 22 2 6 22 aaa a RR 以选 B 2 6Sa 球 8 如果执行右面的框图 输入 N 5 则输出的数等于 A B 5 4 4 5 C D 6 5 5 6 4 1 2 3 4 4 2 04 2x 5y 0 D C B A 答案 D 命题意图 本试题主要考查程序框图的运用 重点是理解循环结构的表示的含义 解析 由图知 当 N 5 时循环体共运行 5 次 因所以输出数为 111 11k kkk 选 D 11111115 1 1 25 6223566 9 设偶函数 f x 满足 f x 2x 4 x0 则 20 x f x A B 24x xx 或 04 x xx 或 C D 06 x xx 或 22 x xx 或 答案 B 命题意图 本试题主要考查函数的奇偶性质的运用及不等式的解法 解析 当时 则 因为偶函数 故0 x 0 x f x 24 x f xfx 解得所以故选 B 0f x 22xx 或 202222f xxx 或 10 若 a 是第一象限的角 则 sina 4 5 sin 4 a A B C D 7 2 10 7 2 10 2 10 2 10 答案 A 命题意图 本试题主要考查角的诱导公式 两角和的正弦公式 解析 为第三象限 3 sin1 cossinsinsin 544 选 A 7 2 coscos 410 11 已知ABCD 的三个顶点为 A 1 2 B 3 4 C 4 2 点 x y 在 A ABCD 的内部 则 z 2x 5y 的取值范围是 A A 14 16 B 14 20 C 12 18 D 12 20 答案 B 命题意图 本试题主要考查线性规划的运用 解析 因四边形为平行四边行 所以 AC 中点与 BD 中点重合 得点 D 为在平面直 0 4 角坐标系内做出 如图所示作直线 平移直线 到过点 D 时 z 最大ABCDA 250lxy l 为 20 过点 B 时 z 最小为 14 又因直线过平行四边行内部的点所以选 B 5 x y 1 2 3123456789 10 11 12 13 1 3 2 1 o 12 已知函数 f x 若 a b c 均不相等 且 f a f b f c 则 lg 1 0 10 1 6 0 2 x x xx abc 的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 答案 C 命题意图 本试题主要考查数形结合思想来解求范围问题 解析 在且 f x 0 1 1 10 10 1 101 10 ff 作草图如图所示 不妨设 1120ff abc 则 f af bf ct 10 10 12201 tt abctt 所以选 C 12210 12abct 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都 必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 6 13 圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 20 xy 答案 2 22 yx 命题意图 本题主要考查圆的标准方程的求法 待定系数法 解析 由已知 可设圆的方程为 因为圆与直线相切 即圆 222 ryx 02 yx 心到直线的距离等于 即 r2 11 200 r 14 设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线 且恒有 yf x 0 1 可以用随机模拟方法计算由曲线及直线 所 01f x yf x 0 x 1x 0y 围成部分的面积 先产生两组 每组个 区间上的均匀随机数和iN 0 1 1 2 n x xx 由此得到 V 个点 再数出其中满足 1 2 n y yy 1 2 x yiN 的点数 那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 1 1 2 yf x iN 1 N 答案 N N1 N N S 1 15 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填 入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 答案 命题意图 本题主要考查三视图中的正视图与一个几何体之间的关系 解析 中的几何体 其正视图均有可能是三角形 而 三个几何体不管怎 么放 其正视图均不可能是三角形 几何体的正视图是四边形 这个几何体的正视 图可以是矩形 也可能是个圆 就看几何体怎么放 16 在中 D 为 BC 边上一点 若ABCA3BCBD 2AD 135ADB 则 BD 2ACAB 7 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设等差数列满足 n a 3 5a 10 9a 求的通项公式 n a 求的前项和及使得最大的序号的值 n an n S n Sn 答案 命题意图 本题主要考查等差数列的基本的通项公式以及前 n 项和公式 第 1 问求数 18 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥的底面为等腰梯形 垂足为 PABCD ABCDACBD H 是四棱锥的高 PH 8 n a 证明 平面 平面 PAC PBD 若 60 求四棱锥的体积 6AB APBADB PABCD 答案 2 因为 ABCD 为等腰梯形 AB CD ACBD AB A 6 所以 HA HB 3 因为APB ADR 600 所以 PA PB HD HC 1 6 可得 PH 3 等腰梯形 ABCD 的面积为 S AC x BD 2 9 分 1 2 3 所以四棱锥的体积为 V x 2 x 12 分 1 3 33 32 3 3 命题意图 本题主要考查立体几何中点线面位置关系及几何体体积的求法 以我们熟悉 的 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 9 计分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 19 本小题满分 12 分 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人 结果如下 估计该地区老年人中 需要志愿提供帮助的老年人的比例 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 根据 的结论 能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中 需要志愿 者提供帮助的老年人的比例 说明理由 附 答案 解 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地区老年人中需要帮 助的老年人的比例的估计值为 4 分 70 14 500 2 2 2 500 40 27030 160 9 967 200 300 70 430 k 由于所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 9 9676 635 8 分 3 由于 2 的结论知 该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关 并且从 20 本小题满分 12 分 设 分别是椭圆 E 1 0 b 1 的左 右焦点 过的直线 与 E 相交 1 F 2 F 2 x 2 2 y b 1 Fl 于 A B 两点 且 成等差数列 2 AFAB 2 BF 求AB 10 若直线 的斜率为 1 求 b 的值 l 答案 解 1 由椭圆定义知 22 F F A A 又2 AB AFFAB 得 2 即 21 4 2 3 xx 则 224 2 1212 2 222 84 1 4 1 2 8 4 9 1 11 bbb xxx x bbb 解得 2 2 b 21 本小题满分 12 分 设函数 2 1 x x fx eax 若 a 求的单调区间 1 2 x f 若当 0 时 0 求 a 的取值范围x x f 答案 解 11 时 当 1 2 a 2 1 1 2 x f xx ex 1 1 1 xxx fxexexex 时 当时 当时 1x fx 1 0 x 0fx 0 x 0fx 故在 单调增加 在 1 0 单调减少 f x 1 0 令 则 若 则当 1 a f xx xax 1 a g xxax x g xea 1a 时 为减函数 而 从而当 x 0 时 0 即 0 x g x g x 0 0g g x 0 f x 若 则当时 为减函数 而 从而当a 0 lnxa g x g x 0 0g 时 0 即 0 0 lnxa g x f x 综合得的取值范围为a 1 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知圆上的弧 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 AA ACBD E 点 证明 ACE BCD BE x CD 2 BC 答案 12 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 t 为参数 图 为参数 1 C 2 C 当 a 时 求与的交点坐标 3 1 C 2 C 过坐标原点 O 做的垂线 垂足为 A P 为 OA 的中点 当 a 变化时 1 C 求 P 点轨迹的参数方程 并指出它是什么曲线 答案 解 I 当时 C1的普通方程为 C2的普通方程为 3 3 1 yx 22 1xy 联立方程组解得C1与C2的交点为 1 0 22 3 1 1 yx x xy 13 22 II C1的普通方程为 sincossin0 xy A 点坐标为 故当变化时 P 点轨迹的参数方程为 2 sin cos sin aaa a 为参数 2 1 sin 2 1 sin cos 2 xa yaa a P 点轨迹的普通方程为 22 11 416 xy 故 P 点是圆心为 半径为的圆 1 0 4 1 4 命题意图 本题是选做题中的第二题 以求点坐标及轨迹方程的形式来主要考查参数方 程 也是一道相对基础的题目 通过学生们各自的擅长 进行选做 发挥同学们的各自的 X 1 tcosa y tsina X cos y sin 13 优势 一个公平竞争的平台 点评 本试题是选修部分的试题考查 试题难度不大 只要能够对某两块知识 比较熟悉点的话 还是很容易拿下的 这也提示我们在以后的学习中 对于这部分试题要 用心些 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 1 x 24x 画出函数 y 的图像 x 若不等式 ax 的解集非空 求 n 的取值范围 x 答案 5 分 由函数与函数的图像可知 当且仅当时 函数与函 x yf yax 2a x yf 数的图像有交点 故不等式的解集非空时 a 的取值范围为yax x fax 14 1 2 2 答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是最符合题目要求的 1 D 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 B 10 A 11 B 12 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题五分 共 20 分 13 x2 y2 2 14 15 16 2 1 N N 5 三 解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 2 因为 ABCD 为等腰梯形 AB CD ACBD AB A 6 所以 HA HB 3 因为APB ADR 600 所以 PA PB HD HC 1 6 15 可得 PH 3 等腰梯形 ABCD 的面积为 S AC x BD 2 9 分 1 2 3 所以四棱锥的体积为 V x 2 x 12 分 1 3 33 32 3 3 19 解 1 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 因此该地区老年人中需要帮 助的老年人的比例的估计值为 4 分 70 14 500 2 2 2 500 40 27030 160 9 967 200 300 70 430 k 由于所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 9 9676 635 8 分 3 由于 2 的结论知 该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关 并且从样本数 据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比