2010浙江高中数学竞赛试卷

用心 爱心 专心 20102010 年浙江省高中数学竞赛试卷年浙江省高中数学竞赛试卷 说明 本试卷分为 A 卷和 B 卷 A 卷由本试卷的 2 题组成 即 10 道选择题 7 道填空题 3 道解答题和 2 道附加题 B 卷由本试卷的前 20 题组成 即 10 道 选择题 7 道填空题和 3 道解答题 一 选择题 本大题共有 10 小题 每题只有一个正确答案 将正确答案的序号 填入题干后的括号里 多选 不选 错选均不得分 每题 5 分 共 50 分 1 化简三角有理式 xxxx xxxx 2266 2244 cossin2cossin cossinsincos 的值为 A A 1 B sincosxx C sin cosxx D 1 sin cosxx 解答为 A 22442222 sincos sincossincos 2sincosxxxxxxxx 分母 4422 sincossincosxxxx 2 若 2 1 30 2pxxxq x 则 p 是q的 B A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解答为 B p 成立3x 所以 p 成立 推不出 q 一定成立 3 集合 P 363 xxRxx 则集合 R C P为 D A 6 3 x xx 或 B 6 3 x xx 或 C 6 3 x xx 或 D 6 3 x xx 或 解答 D 画数轴 由绝对值的几何意义可得63x 63 6 3 R PxxC Px xx 或 4 设a b 为两个相互垂直的单位向量 已知OP a OQ b OR ra kb 若 PQR 为等边三角形 则 k r 的取值为 C A 13 2 kr B 1313 22 kr C 13 2 kr D 1313 22 kr 解答 C PQQRPR 用心 爱心 专心 即 2222 13 1 1 2 2 rkrk 解得r k 5 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB 2BB1 则 CA1与 C1B 所成的角的大 小是 C A 60 B 75 C 90 D 105 解答 C 建立空间直角坐标系 以 11 AB所在的直线为x轴 在平面 111 ABC上垂直于 11 AB 的直线为y轴 1 BB所在的直线为z轴 则 11 26 2 0 0 0 22 AC 26 1 22 C 0 0 1 B 1111 2626 1 1 0 2222 CAC BCAC B 6 设 n a n b分别为等差数列与等比数列 且 1144 4 1abab 则以 下结论正确的是 A A 22 ab B 33 ab C 55 ab D 66 ab 解答 A 3 1144 2 4 1 2 abab 设等差数列的公差为d 等比数列公比为q 由 得d 1 q 33 33 22335566 24 3 2 2 2 4 0 1 24 abababab 得 7 若 15 12 xRx 则的二项式展开式中系数最大的项为 D A 第 8 项 B 第 9 项 C 第 8 项和第 9 项 D 第 11 项 解答 D 115121 2932 2 33 rr rrrrr TCTTTTr 由 r 10 第 11 项最大 8 设 cos 5 x f x 1 2 111 log log log e e afbfcf e 则下述关系 式正确的是 D A abc B bca C cab D bac 解答 D 函数 cos 5 x f x 为偶函数 在 0 2 上 cosf xx 为减函 用心 爱心 专心 数 而 1 2 1111 loglog log log2log log eee ee e log2log1 0 5log554 ee e 所以bac 9 下面为某一立体的三视图 则该立体的体积为 C 正视图 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形 侧视图 半径为 1 的 圆以及高为 1 的矩形 1 4 俯视图 半径为 1 的圆 A 3 2 B 2 3 C 4 3 D 3 4 解答 C 根据题意 该立体图为圆柱和一个 1 4 的球的组合体 10 设有算法如下 如果输入 A 144 B 39 则输出的结果是 B A 144 B 3 C 0 D 12 解答 B 1 A 144 B 39 C 27 2 A 39 B 27 C 12 3 A 27 B 12 C 3 4 A 12 B 3 C 0 所以 A 3 二 填空题 本大题共有 7 小题 将正确答案填入题干后的横线上 每空 7 分 共 49 分 11 满足方程2009220102009220102xxxx 所有实数解为 20102011x 解答 变形得 22 20101 20101 2020101xxx 解得 20102011x 12 xR 函数 2sin3cos 23 xx f x 的最小正周期为12 解答 2sin43cos 12 23 xx f x 的周期为 的周期为6 所以函数的周期为 13 设 P 是圆 22 36xy 上一动点 A 点坐标为 20 0 当 P 在圆上运动时 线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为 22 10 9xy 用心 爱心 专心 解答 设 M 的坐标为 00 x yPxy 设点坐标为则有 00 20 22 xy xy 00 220 2xxyy 因为 P 点在圆上 所以 22 220 2 36xy 所以 P 点轨迹 为 22 10 9xy 14 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D 使得 AD 把 ABC 分成两个等腰三角 形 试求 ABC 的最小内角的取值范围为 30 x 45 或 22 5 x 30 解答 如图 1 AD AC BD 2 DC AC AD BD A C D B 1 A C D B 2 在 1 中 设最小的角为 x 则 2x 90 得 x 45 又 x 180 4x30 所以 30 x 45 在 2 中 设最小的角为 x 则 3x 90 得 x 30 又 180 4x22 5 所以 22 5 x 30 15 设 z 是虚数 1 wz z 且12w 则 z 的实部取值范围为 1 1 2 a 解答 设 2222 120 abib zabiabib abab 22 01bab 或 当0b 无解 当 22 1 11 2 aba 16 设 442 1 1 xxxxkxf 如果对任何 1 0 x 都有0 xf 则 用心 爱心 专心 k的最小值为 1 192 解答 1 1 2 24 xx xx k 222 13313 1 1 24424 xxxxxx 因为时最小值为 分子 448 111 1 1 222 xxxxx 时 取最大值 所以 k 的最小值为 1 192 17 设Rqp qxpxxf 2 当函数 xf的零点多于 1 个时 xf在 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0 或 q 解答 因为函数qxpxxf 2 为偶函数 由对称性以及图像知道 xf在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 3 3 小题 每题小题 每题 1717 分 共分 共 5151 分 分 18 设数列 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1k kk 问 1 这个数列第 2010 项的值是多少 2 在这个数列中 第 2010 个值为 1 的项的序号是多少 解 1 将数列分组 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1 k kk 因为 1 2 3 62 1953 1 2 3 63 2016 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数 即为 57 7 10 分 2 由以上分组可以知道 每个奇数组中出现一个 1 所以第 2010 个 1 出现 在第 4019 组 而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位 所以第 2010 个值为 1 的项的序号为 1 2 3 4018 2010 8076181 17 分 19 设有红 黑 白三种颜色的球各 10 个 现将它们全部放入甲 乙两个袋子 中 要求每个袋子里三种颜色球都有 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相 等 问共有多少种放法 解 设甲袋中的红 黑 白三种颜色的球数为 x y z 则有1 9x y z 且 10 10 10 xyzxyz 1 5 分 即有 50050 5 xyzxyzxyyzzx 2 于是有 5 xyz 因此 x y z中必有一个取 5 不妨设5x 代入 1 式 得到 用心 爱心 专心 10yz 10 分 此时 y 可取 1 2 8 9 相应地 z 取 9 8 2 1 共 9 种放法 同理可得 y 5 或者 z 5 时 也各有 9 种放法 但有xyz 时二种放法重复 因此可得共有 9 3 2 25 种放法 17 分 20 已知椭圆 1 1 2 2 2 ay a x Rt ABC 以A 0 1 为直角顶点 边 AB BC 与椭圆交于两点 B C 若 ABC 面积的最大值为 27 8 求a的值 解 不妨设AB的方程 01 kkxy 则AC的方程为1 1 x k y 由 1 1 2 2 2 y a x kxy 得 02 1 2222 kxaxka 2 22 2 1 B a k x a k 由 2 2 2 1 1 1 yx k x y a 得 2222 20akxa kx 2 22 2 C a k x ak 从而有 22 2 22222 212 1 1 1 a ka k ABkAC a kkak 5 分 于是 2 44 2222 224 2 1 1 1 22 1 2 1 1 ABC k kk k SAB ACaa a kak aka k 令 1 2tk k 有 44 222 222 2 22 1 1 ABC a ta S aa ta a t t 10 分 因为 22 22 1 2 1 a a ta a t 2 1a t a 时等号成立 因此当 23 max 2 1 1 ABC aa S aa t 14 分 用心 爱心 专心 令 3 2 2 273297 3 839 03 1816 a aaaaa a 2 13297 212 3 16 a aaa a 不合题意 舍去 17 分 四 附加题 本大题共有四 附加题 本大题共有 2 2 小题 每题小题 每题 2525 分 共分 共 5050 分 分 21 设 D E F 分别为 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 记 AB AF CA CE BC BD 证明 ABCDEF SS 证明 由 sin 1 sin BFD ABC BDBFBS SBCBAB 5 分 1 1 DECAEF ABCABC SS SS 同理 10 分 所以 1 1 1 1 ABCBFDDECAEFDEF ABCABC SSSSS SS 1 1 1 111 等号成立或或 20 分 因此 ABCDEF SS 等号成立 当且仅当 D 与 C 重合 或 E 与 A 重合 或 F 与 B 重 合 25 分 22 1 设0a 平面上的点如其坐标都是整数 则称之为格点 今有曲线 3 yax 过 格点 n m 记1xn 对应的曲线段上的格点数为 N 证明 3 3 11 nm kk k Nakmn a 2 进而设a是一个正整数 证明 3 2 3 1 1 31 4 an k ka nnnn a 注 x表示不超过 x 的最大整数 证明 1 考虑区域0 0 xnym 且该区域上的格点为 nm 个 又该区域由区域 用心 爱心 专心 E 3 0 0 xnyax 以及区域 F 3 0 0 y ymx a 组