高二数学下 12.1《曲线与方程》教案（1） 沪教版

用心 爱心 专心 12 112 1 曲线与方程曲线与方程 一 教学内容分析一 教学内容分析 曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念 它既是直线与方程的自 然延伸 又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础 是解析几何中承上启下的关键章 节 本节在充分讨论曲线方程概念后 介绍了解析几何的思想 通过直角坐标系建立曲线 的方程 再用代数方法研究曲线性质 通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题 由曲线的已知条件求曲线方程 然后通过方程研究曲线的性质 曲线方程的概念和求曲线方 程的问题又有内在的逻辑顺序 前者回答什么是曲线方程 后者解决如何求出曲线方程 为后 面用曲线方程研究曲线性质奠定基础 曲线 与 方程 是点的轨迹的两种表现形式 曲线 是轨迹的几何形式 方 程 是轨迹的代数形式 求曲线方程是用方程研究曲线的先导 是解析几何所要解决的两大 类问题的首要问题 体现了坐标法的本质 代数化处理几何问题 在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的 思想 学习解析几何的意义和要解决的问题 为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的 准备 作为曲线内容学习的开始 曲线与方程 这一小节思想性较强 约需三课时 第一 课时介绍曲线与方程的概念 第二课时讲曲线方程的求法 第三课时讲曲线的交点 12 1 1 12 1 1 2 2 曲线与方程 曲线与方程 二 教学目标设计二 教学目标设计 理解曲线和方程的概念 以简单的几何轨迹问题为例 学会求曲线方程的一般方法和 步骤 能根据所给条件 选择适当坐标系求曲线方程 通过积极参与 亲身经历曲线方程的 获得过程 体验坐标法在处理几何问题中的优越性 渗透数形结合的数学思想 会在简单的 情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点 通过自主探索 合作交流 学生历经从 特殊 一般 特殊 的认知模式 深化 对求曲线方程本质的理解 完善认知结构 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法 领悟坐标法和解析几何的思想 难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法 四 教学用具准备四 教学用具准备 用心 爱心 专心 本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹 五 教学流程设计五 教学流程设计 课堂小结并布置作业 六 教学过程设计六 教学过程设计 1212 1 1 1 1 曲线方程的概念 曲线方程的概念 一 复习回顾一 复习回顾 思考并回答下列问题思考并回答下列问题 1 l是过点 1 0 且斜率为 2 的直线 能否说方程 0 12 xxy是直线l的方程 为什么 复习直线方程的概念 2 在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的 答 借助直线方程研究直线的位置关系 说明说明 曲线方程的概念是解析几何的核心概念 也是基础概念 教学中应从直线方程概念 和轨迹概念入手 通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系 说明曲线 与方程的对应关系 二 讲授新课二 讲授新课 1 1 概念引入 概念引入 1 以定点 A 1 0 为圆心以 1 为的圆是否可以用某个方程来表示 设原上任意一点 M 的坐标为 yx 则x和y应当满足 概念 实例引入 曲线和方程 求曲线的方程 方法 步骤 运用与深化 例题解析 巩固练习 用心 爱心 专心 1 1 22 yx 平方后整理得 02 22 xyx 问 能否用方程 来表示圆 A 为什么 用方程 2 2xxy 与方程 中的哪一个来表示圆 A 比较好 说明说明 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念 2 2 概念形成 概念形成 曲线方程的定义曲线方程的定义 一般地 如果曲线C与方程0 yxF之间有以下两个关系 曲线C上的点的坐标都是方程0 yxF的解 以方程0 yxF的解为坐标的点都是曲线C上的点 此时 把方程0 yxF叫做曲线C的方程 曲线C叫做方程0 yxF的曲线 说明说明 利用集合与对应的观点可以更清楚 更深刻地理解曲线方程的概念 设 MPMP 表示曲线C上适合某种条件的点M的集合 0 yxFyxQ表示二元方程的解对应的点的坐标的集合 于是 方程 0 yxF叫做曲线C的方程等价于 PQ QP 即 QP 3 3 概念深化 概念深化 例 1 已知两点 A 1 1 和 B 3 1 求证线段 AB 的垂直平分线l的方程是 022 yx 课本 P31 例 1 证明 略 例 2 1 已知点 A 1 0 B 0 1 问线段 AB 的方程是不是01 yx 为什 么 课本 P31 例 1 2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹 C 的方程是不是0 yx 为什么 解 略 用心 爱心 专心 说明说明 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系 教学中应紧扣概念 注意强调曲 线方程的完备性和纯粹性 三 巩固练习三 巩固练习 课本 P33 练习 12 1 1 练习 3 告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的 概念 四 课堂小结四 课堂小结 1 曲线方程的概念 曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样 2 如何理解曲线的方程的概念 利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念 利 用集合的观点理解曲线的方程的概念 五 作业布置五 作业布置 习题册习题册 P17P17 A A 组组 第第 1 1 2 2 3 3 题 题 P19P19 B B 组组 第第 2 2 题题 12 112 1 2 2 求曲线的方程 求曲线的方程 一 复习回顾一 复习回顾 思考并回答下列问题思考并回答下列问题 1 提问 什么是曲线的方程和方程的曲线 学生思考并回答 教师强调 2 回顾与思考 坐标法和解析几何的意义 基本问题 对于一个几何问题 在建立直角坐标系的基础上 用坐标表示点 用方程表示曲线 并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质 这一研究几何问题的方法称为坐标法 这 门学科称为解析几何 解析几何的两大基本问题就是 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 说明说明 通过对上面两个问题的思考 进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习 目标 二 学习新课二 学习新课 如何根据已知条件 求出曲线的方程 用心 爱心 专心 例 1 已知两定点 0 1 1 P和 0 3 2 P 求到点 1 P和 2 P的距离的平方和是 16 的点的轨 迹方程 课本 P33 例 3 例 2 动点 M 与距离为 4 的两个定点 A B 满足5M MBA 建立适当的坐标系 并求 动点 M 的轨迹方程 课本 P34 例 4 说明说明 分析上面两个例题的求解过程 总结出求解曲线方程的大体步骤 首先应有坐标系 其次设曲线上任意一点 然后写出表示曲线的点集 再代入坐标 最后整理出方程 并证明 或修正 然后结合课本归纳出以下五个步骤 1 建立适当的直角坐标系 如果已给出 本步骤省略 2 设曲线上任意一点的坐标为 yx 3 根据曲线上点所适合的条件 写出等式 4 用坐标yx 表示这个等式 并化简 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述五个步骤可简记为 建系 设点 写出集合 列方程 化简 证明 例 3 已知一条曲线在x轴的上方 它上面的每一点到点 2 0 A的距离减去它到x轴的距离 的差都是 2 求这条曲线的方程 补充 答案 0 8 1 2 xxy 说明说明 一般情况下 求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解 如果求解过程中的转 化都是等价的 那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点 在本教材中证 明不作要求 特殊情况要说明 因此上述五个步骤又可简记为 建系 设点 写出集合 列 方程 化简 修正 例 4 已知定点 0 4 A和曲线1 22 yx上的动点 B 求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程 课 本 P34 例 5 说明说明 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做 代入法 这类求轨迹方程的问题的特 点是 问题中一般含有两个 或两个以上 的相关联的动点 其中一个动点在已知曲线上运 动 所以 代入法 又叫做相关点法 三 巩固练习三 巩固练习 用心 爱心 专心 课本 P35 练习 12 1 2 第 3 4 题 四 课堂小结四 课堂小结 1 解析几何研究研究问题的方法是什么 2 如何求曲线的方程 求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点 x y 横纵坐标 间的等量关系 3 请对求解曲线方程的五个步骤进行评价 各步骤的作用 哪步重要 哪步应注意什 么 五 作业布置五 作业布置 习题册习题册 P17 18P17 18 A A 组组 第第 4 4 5 5 6 6 题 题 P19P19 B B 组组 第第 4 4 题题 七 教学设计说明七 教学设计说明 曲线方程的概念是解析几何的核心概念 也是基础概念 它既是直线与方程的自然延伸 又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础 是解析几何中承上启下的关键章节 对于一个几何问题 在建立坐标系的基础上 用坐标表示点 用方程表示曲线 通过研 究方程的性质间接地来研究曲线的性质 这是解析几何的基本思想 因此 解析几何面临两 大基本问题 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 事实上 在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题 因此 在本节的教学 中应该从直线方程概念和轨迹概念入手 通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间 的对应关系 说明曲线与方程的对应关系 由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内 在的逻辑顺序 所以教材安排先研究如何求出曲线方程 再研究如何用方程研究曲线 在学习求曲线方程的方法时 应从具体实例出发 引导学生从曲线的几何条件 一步 步地 自然而然地过渡到代数方程 曲线的方程 这个过渡是一个从几何向代数不断转化的 过程 在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的 这将决定第五步如何做 同时不要生 硬地给出或总结出求解步骤 应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得 曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式 这个形式的特点是 含动点