第四章　圆与方程_单元质量评估（人教A版必修2）

第四章第四章 圆圆与方程与方程 单单元元质质量量评评估 人教估 人教 A 版必修版必修 2 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 下面表示空间直角坐标系的直观图中 正确的个数为 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 已知圆的方程是 x 2 2 y 3 2 4 则点 P 3 2 满足 A 是圆心B 在圆上C 在圆内D 在圆外 3 已知空间两点 P1 1 3 5 P2 2 4 3 则 P1P2 等于 A B 3C D 74101453 4 圆心为 2 1 且经过点 1 3 的圆的标准方程是 A x 2 2 y 1 2 25 B x 2 2 y 1 2 25 C x 2 2 y 1 2 5 D x 2 2 y 1 2 5 5 直线 x y 4 0 与圆 x2 y2 2x 2y 2 0 的位置关系是 A 相交B 相切 C 相交且过圆心D 相离 6 2013 广东高考 垂直于直线 y x 1 且与圆 x2 y2 1 相切于第一象限的直线 方程是 A x y 0B x y 1 0 2 C x y 1 0D x y 0 2 7 2013 黄冈高二检测 若直线 y kx 1 与圆 x2 y2 kx my 4 0 交于 M N 两点 且 M N 关于直线 x 2y 0 对称 则实数 k m A 1B 1C 0D 2 8 若圆 C 的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线 4x 3y 0 和 x 轴都相切 则该圆 的标准方程是 A x 2 2 y 1 2 1B x 2 2 y 1 2 1 C x 2 2 y 1 2 1D x 3 2 y 1 2 1 9 已知 A x y x2 y2 1 B x y x 5 2 y 5 2 4 则 A B 等于 A B 0 0 C 5 5 D 0 0 5 5 10 一条光线从点 A 1 1 出发 经 x 轴反射到 C x 2 2 y 3 2 1 上 则光走 过的最短路程为 A 1B 2C 3D 4 11 方程 lgx 的根的个数是 4 2 A 0B 1 C 2D 无法确定 12 过点 M 1 2 的直线 l 与圆 C x 2 2 y2 9 交于 A B 两点 C 为圆心 当 ACB 最小时 直线 l 的方程为 A x 1B y 1 C x y 1 0D x 2y 3 0 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 2020 分分 请把正确答案填在题中的请把正确答案填在题中的 横线上横线上 13 2013 大同高二检测 已知 ABC 的三个顶点为 A 1 2 5 B 1 0 1 C 3 4 5 则边 BC 上的中线长为 14 已知圆 C x 1 2 y 2 2 4 点 P 0 5 则过 P 作圆 C 的切线有且只有 条 15 2013 江西高考 若圆 C 经过坐标原点和点 4 0 且与直线 y 1 相切 则圆 C 的方程是 16 2013 浙江高考 直线 y 2x 3 被圆 x2 y2 6x 8y 0 所截得的弦长等于 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 7070 分分 解答时写出必要的文字说明 证明过程解答时写出必要的文字说明 证明过程 或演算步骤或演算步骤 17 10 分 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆 车辆只能在道路中心线一侧行 驶 一辆宽为 2 7 m 高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道 18 12 分 一个长方体的 8 个顶点坐标分别为 0 0 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 3 1 9 3 0 9 0 0 9 0 1 9 1 在空间直角坐标系中画出这个长方体 2 求这个长方体外接球的球心坐标 3 求这个长方体外接球的体积 19 12 分 2013 宁波高二检测 已知圆 C 的圆心在直线 y x 1 上 且过点 A 1 3 与直线 x 2y 7 0 相切 1 求圆 C 的方程 2 设直线 l ax y 2 0 a 0 与圆 C 相交于 A B 两点 求实数 a 的取值范围 20 12 分 已知直线 l1 x y 1 0 直线 l2 4x 3y 14 0 直线 l3 3x 4y 10 0 求圆 心在直线 l1上 与直线 l2相切 截直线 l3所得的弦长为 6 的圆的方程 21 12 分 已知圆 C x2 y2 2x 4y 1 0 O 为坐标原点 动点 P 在圆 C 外 过 P 作圆 C 的切线 设切点为 M 1 若点 P 运动到 1 3 处 求此时切线 l 的方程 2 求满足条件 PM PO 的点 P 的轨迹方程 22 12 分 能力挑战题 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆心在第二象限 半径 为 2的圆 C 与直线 y x 相切于坐标原点 O 2 1 求圆 C 的方程 2 试探求圆 C 上是否存在异于原点的点 Q 使 Q 到定点 F 4 0 的距离等于线段 OF 的长 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 答案解析答案解析 1 解析 选 C 根据空间直角坐标系的规定可知 1 2 4 都正确 3 中 Oy 轴的正 向应为负向 所以选 C 2 解析 选 C 因为 3 2 2 2 3 2 22 1 1 4 22 所以直线与圆相离 变式备选 2013 郑州高一检测 对任意实数 k 圆 C x 3 2 y 4 2 13 与直线 l kx y 4k 3 0 的位置关系是 A 相交B 相切 C 相离D 与 k 取值有关 解析 选 A 对任意实数 k 直线 l kx y 4k 3 0 恒过定点 4 3 而 4 3 2 3 4 20 则圆心到直线的距离等于 半径 1 即 1 c 所求方程为 x y 0 0 0 12 1222 7 解析 选 B 由题意知 MN 的中垂线为直线 x 2y 0 所以 k 2 此时圆方程为 x2 y2 2x my 4 0 所以圆心坐标为 1 代入 x 2y 0 m 2 得 m 1 所以 k m 1 8 解析 选 A 设圆方程为 x a 2 y b 2 1 a 0 b 0 则有 b 1 所以 4 3 5 a 2 b 1 所以该圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 9 解析 选 A 集合 A 是圆 O x2 y2 1 上所有点组成的集合 集合 B 是圆 C x 5 2 y 5 2 4 上所有点组成的集合 又 O 0 0 r1 1 C 5 5 r2 2 OC 5 2 所以 OC r1 r2 3 所以圆 O 和圆 C 外离 无公共点 所以 A B 10 解析 选 D A 1 1 关于 x 轴的对称点 B 1 1 圆心 C 2 3 所以光走过的最短 路程为 BC 1 4 11 解析 选 B 设 f x g x lgx 则方程根的个数就是 f x 与 g x 两个函 4 2 数图象交点的个数 如图所示 在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象 由图可得函数 f x 与 g x lgx 仅有 1 个交点 所以方程仅有 1 个根 4 2 12 解析 选 D 当 CM l 即弦长最短时 ACB 最小 所以 kl kCM 1 所以 kl 所以 l 的方程为 x 2y 3 0 13 解析 BC 的中点为 D 1 2 3 则 AD 2 1 1 2 2 2 2 5 3 2 答案 2 14 解析 由 C 1 2 r 2 得 PC 5 r 2 12 2 5 22 所以点 P 在圆 C 外 所以过 P 作圆 C 的切线有且只有 2 条 答案 2 15 解析 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 因为圆 C 经过 0 0 和点 4 0 所以 a 2 又 圆与直线 y 1 相切 可得 1 b r 故圆的方程为 x 2 2 y b 2 1 b 2 将 0 0 代入解 得 b r 所以圆的方程为 x 2 2 y 3 2 2 25 4 答案 x 2 2 y 3 2 2 25 4 16 解析 由解得或所以两交点坐标为 1 1 y 2 3 2 2 6 8 0 x 1 1 x 3 9 和 3 9 所以弦长 l 4 1 3 2 1 9 2 5 答案 4 5 17 解析 以某一截面半圆的圆心为坐标原点 半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴 建 立直角坐标系 如图 那么半圆的方程为 x2 y2 16 y 0 将 x 2 7 代入 得 y 0 即 5a2 4 0 由于 a 0 解得 a 2 5 5 所以实数 a 的取值范围是 2 5 5 20 解析 设所求圆的圆心为 C a a 1 半径为 r r 0 则点 C 到直线 l2的距离 d1 4 3 1 14 5 7 11 5 点 C 到直线 l3的距离是 d2 3 4 1 10 5 7 6 5 由题意 得 7 11 5 7 6 5 2 32 2 解得 a 2 r 5 即所求圆的方程是 x 2 2 y 1 2 25 21 解题指南 1 对切线的斜率是否存在分类讨论 2 设出点 P 的坐标 代入平面 内两点间的距离公式 化简得轨迹方程 解析 把圆 C 的方程化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 如图所示 所以圆心为 C 1 2 半径 r 2 1 当 l 的斜率不存在时 此时 l 的方程为 x 1 点 C 到 l 的距离 d 2 r 满足条件 当 l 的斜率存在时 设斜率为 k 得 l 的方程为 y 3 k x 1 即 kx y 3 k 0 则 2 解得 k 2 3 1 2 所以 l 的方程为 y 3 x 1 即 3x 4y 15 0 综上 满足条件的切线 l 的方程为 x 1 或 3x 4y 15 0 2 设 P x y 则 PM 2 PC 2 MC 2 x 1 2 y 2 2 4 PO 2 x2 y2 因为 PM PO 所以 x 1 2 y 2 2 4 x2 y2 整理 得 2x 4y 1 0 所以点 P 的轨迹方程为 2x 4y 1 0 22 解析 1 设圆心为