2013高考数学二轮复习精品资料专题09 圆锥曲线教学案（教师版）

1 20132013 高考数学二轮复习精品资料专题高考数学二轮复习精品资料专题 0909 圆锥曲线教学案 教师圆锥曲线教学案 教师 版 版 2013 2013 考纲解读考纲解读 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 理解数形结合的思想 了解圆锥 曲线的简单应用 2 了解双曲线的定义 几何性质 掌握双曲线的标准方程 会利用定义 标准方程和几 何性质解决一些简单的问题 3 了解抛物线的定义 几何性质 掌握抛物线的标准方程 会利用定义 标准方程和几 何性质解决一些简单的问题 4 了解圆锥曲线的简单应用 理解直线与椭圆 直线与抛物线的位置关系 知识网络构建知识网络构建 重点知识整合重点知识整合 2 双曲线 1 双曲线的定义 2 两种标准方程 1 a 0 b 0 焦点在x轴上 1 a 0 b 0 焦 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 点在y轴上 3 双曲线方程的一般形式 mx2 ny2 1 mn0 n 0 时 焦点在x轴上 当m0 时 焦点在y轴上 4 双曲线的简单几何性质 2 3 抛物线 1 抛物线的定义 2 抛物线的标准方程 3 抛物线方程的一般形式 焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2 x 0 表示 焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2 y 0 表示 4 抛物线的简单几何性质 高频考点突破高频考点突破 考点一考点一 椭圆椭圆 1 定义式 PF1 PF2 2a 2a F1F2 2 标准方程 焦点在x轴上 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 焦点在y轴上 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 焦点不确定 mx2 ny2 1 m 0 n 0 3 离心率 e 0 0 0 可解决 2 弦长问题 AB 1 k2 x1 x2 2 1 1 k2 y1 y2 2 3 中点弦问题 用点差法较简单 考点二考点二 双曲线双曲线 1 定义式 PF1 PF2 2a 2a0 b 0 x2 a2 y2 b2 焦点在y轴上 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 焦点不明确 mx2 ny2 1 mn1 c a 1 b a 2 注意 若a b 0 则 1 e0 则e 2 若b a 0 则e 2 3 焦点在x轴上 渐近线的斜率k b a 焦点在y轴上 渐近线的斜率k a b 4 与 1 共渐近线的双曲线方程可设为 0 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 例 2 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是y x 它的一个焦点 x2 a2 y2 b23 5 在抛物线y2 24x的准线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 36 y2 108 x2 9 y2 27 C 1 D 1 x2 108 y2 36 x2 27 y2 9 变式探究 设直线l过双曲线C的一个焦点 且与C的一条对称轴垂直 l与C交于 A B两点 AB 为C的实轴长的 2 倍 则C的离心率为 A B 23 C 2 D 3 方法技巧 1 使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上 2 对于双曲线的离心率与渐近线的关系 若已知渐近线而不 明确焦点位置 那么离 心率一定有两解 3 直线与双曲线的交点比椭圆复杂 要注意结合图形分析 尤其是直线与双曲线有且 只有一个交点 0 或l平行于渐近线 考点三考点三 抛物线抛物线 1 定义式 PF d 2 根据焦点及开口确定标准方程 注意p 0 时才有几何意义 即焦点到准线的距 离 3 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点F 交抛物线于A B两点 则有 1 通径的长为 2p 6 2 焦点弦公式 AB x1 x2 p 2p sin2 3 x1x2 y1y2 p2 p2 4 4 以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 5 1 AF 1 BF 2 p 例 3 如图 直线l y x b与抛物线C x2 4y相切于点A 1 求实数b的值 2 求以点A为圆心 且与抛物线C的准线相切的圆的方程 变式探究 已知F是抛物线y2 x的焦点 A B是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段AB的中点到y轴的距离为 A B 1 3 4 C D 5 4 7 4 解析 根据抛物线定义与梯形中位线定理 得线段AB中点到y轴的距离为 AF BF 1 2 1 4 3 2 1 4 5 4 7 答案 C 方法技巧 1 求抛物线的标准方程常采用待定系数法 利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准 线的距离p的值 注意定义转化 2 直线与抛物线有且只有一个交点时 不一定有 0 还有 可能直线平行于抛物 线的对称轴 3 研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析 难点探究难点探究 难点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例 1 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆C x2 y2 6x 5 0 相 x2 a2 y2 b2 切 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 变式探究 1 已知点P为双曲线 1 右支上一点 F1 F2分别为双曲线的左 右 x2 16 y2 9 焦点 I为 PF1F2的内心 若S IPF1 S IPF2 S IF1F2成立 则 的值为 A B C D 5 8 4 5 4 3 3 4 2 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点F1 F2在x轴上 离心率 为 过F1的直线l交C于A B两点 且 ABF2的周长为 16 那么C的方程为 2 2 答案 1 B 2 1 x2 16 y2 8 解析 1 根据三角形面积公式把S IPF1 S 8 IPF2 S IF1F2转化为焦点三角形边之间的关系 根据S IPF1 S IPF2 S IF1F2 得 PF1 PF2 F1F2 即 2a 2 c 则 注意内心是三角形内切圆的圆心 a c 4 5 到三角形各边的距离相等 2 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 因为离心率为 所以 2 2 2 2 1 b2 a2 解得 即a2 2b2 b2 a2 1 2 又 ABF2的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 BF2 AF2 AF1 AF2 2a 2a 4a 所以 4a 16 a 4 所以b 2 BF1 BF2 2 所以椭圆方程为 1 x2 16 y2 8 难点二难点二 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 例 2 已知椭圆C1 1 a b 0 与双曲线C2 x2 1 有公共的焦点 C2的一 x2 a2 y2 b2 y2 4 条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A B两点 若C1恰好将线段AB三等分 则 A a2 B a2 13 13 2 C b2 D b2 2 1 2 变式探究 已知双曲线 1 左 右焦点分别为F1 F2 过点F2作与x轴垂直的直 x2 a2 y2 b2 线与双曲线一个交点为P 且 PF1F2 则双曲线的渐近线方程为 6 9 答案 y x 2 解析 根据已知 PF1 2 且 PF2 故 2 2a 所以 2 b2 a b2 a b2 a b2 a b2 a2 b a2 难点三难点三 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 设椭圆的对称中心为坐标原点 其中一个顶点为A 0 2 右焦点F与点B 2 的距离为 2 2 1 求椭圆的方程 2 是否存在经过点 0 2 的直线l 使直线l与椭圆相交于不同的两点M N满足 若存在 求直线l的倾斜角 若不存在 请说明理由 AM AN 2 由题意可设直线l的方程为y kx 2 k 0 由 AM AN 知点A在线段MN的垂直 平分线上 由Error 消去y得x2 3 kx 2 2 12 即可得方程 1 3k2 x2 12kx 0 由k 0 得方程 的 12k 2 144k2 0 即方程 有两个不相等的实数根 设M x1 y1 N x2 y2 线段MN的中点P x0 y0 则x1 x2是方程 的两个不等 的实根 故有x1 x2 12k 1 3k2 从而有x0 y0 kx0 2 x1 x2 2 6k 1 3k2 6k2 2 1 3k2 1 3k2 2 1 3k2 于是 可得线段MN的中点P的坐标为 6k 1 3k2 2 1 3k2 又由于k 0 因此直线AP的斜率为k1 2 1 3k2 2 6k 1 3k2 2 2 1 3k2 6k 由AP MN 得 k 1 即 2 2 6k2 6 解得k 即 2 2 1 3k2 6k 3 3 tan 又 0 0 的过焦点F的弦AB 若A x1 y1 B x2 y2 则 p 2 0 x1x2 y1y2 p2 弦长 AB x1 x2 p 同样可得抛物线 p2 4 y2 2px x2 2py x2 2py类似的性质 3 解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是 设而不求 根据韦达定理 进行整体代 入 即当直线与圆锥曲线交于点A x1 y1 B x2 y2 时 AB x1 x2 1 k2 y1 y2 而 x1 x2 等 根据将直线方程与圆锥曲线方 1 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 程联立消元后的一元二次方程 利用韦达定理进行整体代入 历届高考真题历届高考真题 2012 2012 年高考试题年高考试题 1 2012 高考真题浙江理 8 如图 F1 F2分别是双曲线 C 2 2 22 1 xy ab a b 0 的 左 右焦点 B 是虚轴的端点 直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P Q 两点 线段 PQ 的 垂直平分线与 x 轴交与点 M 若 MF2 F1F2 则 C 的离心率是 A 2 3 3 B 6 2 C 2 D 3 答案 B 解析 由题意知直线BF1的方程为 bx c b y 联立方程组 0 b y a x bx c b y 得点 Q 12 ac bc ac ac 联立方程组 0 b y a x bx c b y 得点 P ac bc ac ac 所以 PQ 的中点坐标为 2 2 2 b c b ca 所以 PQ 的垂直平分线方程为 2 22 b ca x b c b c y 令0 y 得 1 2 2 b a cx 所以c b a c3 1 2 2 所以 2222 222acba 即 22 23ca 所以 2 6 e 故选 B 2 2012 高考真题新课标理 8 等轴双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 C与抛 物线xy16 2 的准线交于 A B两点 4 3AB 则C的实轴长为 A2 B 2 2 C D 3 2012 高考真题新课标理 4 设 12 FF是椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点 P为直线 3 2 a x 上一点 12PF F 是底角为30 的等腰三角形 则E的离心率为 A 1 2 B 2 3 C D 答案 C 13 解析 因为 12PF F 是底角为30 的等腰三角形 则有PFFF 212 因为 0 21 30 FPF 所以 0 2 60 DPF 0 2 30 DPF 所以 2122 2 1 2 1 FFPFDF 即ccc a 2 2 1 2 3 所以c a 2 2 3 即 4 3 a c 所 以椭圆的离心率为 4 3 e 选 C 4 2012 高考真题四川理 8 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点O 并 且经过点 0 2 My 若点M到该抛物线焦点的距离为3 则 OM A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 5 2012 高考真题山东理 10 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心学率为 3 2 双 曲线 22 1xy 的渐近线与椭圆C有四个交点 以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆C的方程为 A 22 1 82 xy B 22 1 126 xy C 22 1 164 xy D 22 1 205 xy 答案 D 解析 因为椭圆的离心率为 2 3 所以 2 3 a c e 22 4 3 ac 14 2222 4 3 baac 所以 22 4 1 ab 即 22 4ba 双曲线的渐近线为xy 代入 椭圆得1 2 2 2 2 b x a x 即1 4 5 4 2 2 2 2 2 2 b x b x b x 所以bxbx 5 2 5 4 22 22 5 4 by by 5 2 则第一象限的交点坐标为 5 2 5 2 bb 所以四边形的面积为 16 5 16 5 2 5 2 4 2 bbb 所以5 2 b 所以椭圆方程为1 520 22 yx 选 D 6 2012 高考真题湖南理 5 已知双曲线 C 2 2 x a 2 2 y b 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线上 则 C 的方程为 A 2 20 x 2 5 y 1 B 2 5 x 2 20 y 1 C 2 80 x 2 20 y 1 D 2 20 x 2 80 y 1 7 2012 高考真题福建理 8 已知双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线 y2 12x 的焦点重 合 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A 5 B 4 2 C 3 D 5 答案 解析 由抛物线方程xy12 2 易知其焦点坐标为 0 3 又根据双曲线的几何性质 可知 22 34 b 所以5 b 从而可得渐进线方程为xy 2 5 即025 yx 所以5 45 0235 d 故选 15 8 2012 高考真题安徽理 9 过抛物线 2 4yx 的焦点F的直线交抛物线于 A B两点 点O是原点 若3AF 则AOB 的面积为 A 2 2 B 2 C 3 2 2 D2 2 9 2012 高考真题全国卷理 3 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为 x 4 则该椭 圆的方程为 A 2 16 x 2 12 y 1 B 2 12 x 2 8 y 1C 2 8 x 2 4 y 1 D 2 12 x 2 4 y 1 答案 C 解析 椭圆的焦距为 4 所以2 42 cc因为准线为4 x 所以椭圆的焦点在 x轴上 且4 2 c a 所以84 2 ca 448 222 cab 所以椭圆的方程 为1 48 22 yx 选 C 10 2012 高考真题全国卷理 8 已知 F1 F2为双曲线 C x y 2 的左 右焦点 点 P 在 C 上 PF1 2PF2 则 cos F1PF2 A 1 4 B 3 5 C 3 4 D 4 5 16 11 2012 高考真题北京理 12 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 过抛物线 4x 的焦点 F 且 与该撇物线相交于 A B 两点 其中点 A 在 x 轴上方 若直线 l 的倾斜角为 60 则 OAF 的 面积为 12 2012 高考真题四川理 15 椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为F 直线xm 与椭圆相交 于点A B 当FAB 的周长最大时 FAB 的面积是 答案 3 解析 当直线xm 过右焦点时FAB 的周长最大 1m 将1x 带入解得 3 2 y 所以 13 23 22 FAB S 13 2012 高考真题陕西理 13 右图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2 米 水面宽 4 米 水位下降 1 米后 水面宽 米 17 14 2012 高考真题重庆理 14 过抛物线 2 2yx 的焦点F作直线交抛物线于 A B两点 若 25 12 ABAFBF 则AF 15 2012 高考真题辽宁理 15 已知P Q为抛物线 2 2xy 上两点 点P Q的横坐标分 别为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于A 则点A的纵坐标为 18 16 2012 高考真题江西理 13 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分别是 F1 F2 若 1 AF 21F F BF1成等比数列 则此椭圆的离心率为 答案 5 5 解析 椭圆的顶点 0 0 ABaA 焦点坐标为 0 0 21 cFcF 所以 caBFcaAF 11 cFF2 21 又因为 1 AF 21F F BF1成等比数列 所以有 222 4cacacac 即 22 5ac 所以ca5 离心率为 5 5 a c e 17 2012 高考江苏 8 5 5 分 分 在平面直角坐标系xOy中 若双曲线 22 2 1 4 xy mm 的离心率为5 则m的值为 18 2012 高考江苏 19 1616 分 分 如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 0 Fc 2 0 F c 已知 1 e 和 3 2 e 都在 椭圆上 其中e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 19 2 设 A B是椭圆上位于x轴上方的两点 且直线 1 AF与直线 2 BF平行 2 AF与 1 BF交于点 P i 若 12 6 2 AFBF 求直线 1 AF的斜率 ii 求证 12 PFPF 是定值 答案答案 解 1 由题设知 222 c abce a 由点 1 e 在椭圆上 得 222 22222222 22222 11 1 1 1 ec bca baa bb abaa b 22 1ca 由点 3 2 e 在椭圆上 得 22 222 422 2244 33 22 13 11144 0 2 14 eca aaa abaa 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 20 i 由 得 2 12 2 21 2 m m AFBF m 解 2 2 216 22 m m m 得 2 m 2 注意到0m 2m 直线 1 AF的斜率为 12 2m ii 证明 1 AF 2 BF 2 11 BFPB PFAF 即 2121 1111 11 BFPBPFBFAFPB PFAFPFAF 1 11 12 AF PFBF AFBF 由点B在椭圆上知 12 2 2BFBF 1 12 12 2 2 AF PFBF AFBF 同理 2 21 12 2 2 BF PFAF AFBF 122 1221 121212 2 2 22 22 2 AFBFAF BF PFPFBFAF AFBFAFBFAFBF A 由 得 2 1 2 2 21 2 m AFBF m 2 2 1 2 m AF BF m A 12 23 2 2 2 22 PFPF 12 PFPF 是定值 19 2012 高考真题浙江理 21 本小题满分 15 分 如图 椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 1 2 其左焦点到点P 2 1 的距离为10 不过原点O 的直线l与 C 相交于A B两点 且线段AB被直线OP平分 21 求椭圆 C 的方程 求 ABP的面积取最大时直线l的方程 易得直线OP的方程 y 1 2 x 设A xA yA B xB yB R x0 y0 其中y0 1 2 x0 A B在椭圆上 22 0 22 0 1 2333 43 4422 1 43 AA ABAB AB ABAB BB xy xyyxx k xxyyy xy 设直线AB的方程为l y 3 2 xm m 0 代入椭圆 22 22 1 43 3330 3 2 xy xmxm yxm 22 20 2012 高考真题湖北理 本小题满分 13 分 设A是单位圆 22 1xy 上的任意一点 l是过点A与x轴垂直的直线 D是直线l与 x 轴的交点 点M在直线l上 且满足 0 1 DMm DAmm 且 当点A在圆上运 动时 记点M的轨迹为曲线C 求曲线C的方程 判断曲线C为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 过原点且斜率为k的直线交曲线C于P Q两点 其中P在第一象限 它在 y轴上的射影为点N 直线QN交曲线C于另一点H 是否存在m 使得对任意的 0k 都有PQPH 若存在 求m的值 若不存在 请说明理由 答案 如图 1 设 M x y 00 A xy 则由 0 1 DMm DAmm 且 可得 0 xx 0 ym y 所以 0 xx 0 1 yy m 因为A点在单位圆上运动 所以 22 00 1xy 将 式代入 式即得所求曲线C的方程为 2 2 2 1 0 1 y xmm m 且 因为 0 1 1 m 所以 当01m 时 曲线C是焦点在x轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 2 1 0 m 2 1 0 m 当1m 时 曲线C是焦点在y轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 2 0 1 m 2 0 1 m 23 故存在2m 使得在其对应的椭圆 2 2 1 2 y x 上 对任意的0k 都有PQPH 解法解法 2 2 如图 2 3 1 0 1 x 设 11 P x y 22 H xy 则 11 Qxy 1 0 Ny 因为P H两点在椭圆C上 所以 2222 11 2222 22 m xym m xym 两式相减可得 22222 1212 0mxxyy 依题意 由点P在第一象限可知 点H也在第一象限 且P H不重合 故 1212 0 xxxx 于是由 式可得 21212 1212 yyyy m xxxx P O x y N Q 图 2 01 m H P O x y N Q 图 3 1 m H 图 1 O D x y A M 第 21 题解答图 24 又Q N H三点共线 所以 QNQH kk 即 112 112 2yyy xxx 于是由 式可得 2 1121212 1121212 1 2 2 PQPH yyyyyyym kk xxxxxxx 而PQPH 等价于1 PQPH kk 即 2 1 2 m 又0m 得2m 2011 2011 高考试题高考试题 1 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 14 14 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy的切线 切点分别为 A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭 圆方程是 2 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 14 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F在 x轴上 离心率为 2 2 过l的直线 交于 A B两点 且 2 ABFA的周长为 16 那么C的方程为 3 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 15 15 设圆C位于抛物线 2 2yx 与直线3x 所组成的封闭区域 25 包含边界 内 则圆C的半径能取到的最大值为 4 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 14 14 双曲线 22 xy 1P4 6436 上一点到双曲线右焦点的距离是 那么点P 到左准线的距离是 5 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 15 15 已知F1 F2分别为双曲线C 2 9 x 2 27 y 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 为 F1AF2 的平分线 则 AF2 答案 6 解析 12 6 0 6 0 FF 由角平分线的性质得 11 22 8 2 4 AFFM AFMF 又 12 2 36AFAF 2 6AF 6 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 21 21 本小题满分 13 分 设 点A的坐标为 1 1 点B在抛物线yx 上运动 点Q满足 BQQA uuu ruur 经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M 点P满足QMMP uuuruuu r 求点 P的轨迹方程 26 解析 由QMMP uuuruuu r 知 Q M P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上 故可设 P x y Q x y M x x 则 xyyx 即 yxyxxy 8 8 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 19 19 设圆设圆 C C 与两圆与两圆 2222 54 54xyxy 中中的的 一个内切 另一个外切一个内切 另一个外切 1 1 求 求 C C 的圆心轨迹的圆心轨迹 L L 的方程的方程 2 2 已知点 已知点 3 5 4 5 5 55 MF 0 且且 P P 为为 L L 上动点 求上动点 求MPFP 的最大的最大 值及此时点值及此时点 P P 的坐标的坐标 27 解析解析 1 解 设 C 的圆心的坐标为 x y 由题设条件知 2222 5 5 4 xyxy 化简得 L 的方程为 2 2 1 4 x y 10 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 17 17 本小题满分 12 分 如图 设P是圆珠笔 22 25xy 上的动点 点 D 是P在x轴上的投 影 M 为PD 上一点 且 4 5 MDPD 当P的在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的长度 解析 设 M 的坐标为 x y P P的坐标为 pp xy 28 由已知得 5 4 p p xx yy P在圆上 22 5 25 4 xy 即 C 的方程为 22 1 2516 xy 11 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 20 20 本小题满分 12 分 第一问 4 分 第二问 8 分 如图 20 椭圆的中心为原点 O 离心率 2 2 e 一条准线的方程为2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 P 满足2OPOMON 其中 M N 是椭圆上的点 直线 OM 与 ON 的斜 率之积为 1 2 问 是否存在两个定点 12 FF 使得 12 PFPF 为定值 若存在 求 12 FF 的坐标 若不存在 说明理由 解析 由 2 2 2 2 2 aa e cc 解得 222 2 2 2acbac 故椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 设 P x y 1122 M x yN xy 则由2OPOMON 得 1122 2 x yx yxy 即 1212 2 2xxxyyy 因为点 M N 在椭圆 22 1 42 xy 上 所以 2222 1122 24 24xyxy 29 故 222222 12121212 244244xyxxx xyyy y 2222 11221212 24242xyxyx xy y 1212 2042x xy y 12 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 21 21 本小题共 l2 分 椭圆有两顶点 A 1 0 B 1 0 过其焦点 F 0 1 的直线 l 与椭圆交于 C D 两点 并与 x 轴交于点 P 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q I 当 CD 3 2 2 时 求直线 l 的方程 II 当点 P 异于 A B 两点时 求证 OP OQ 为定值 解析 由已知可得椭圆方程为 2 2 1 2 y x 设l的方程为1 0 yk xk 为l的斜 率 30 则 12 122 2 22 2 22 12 122 2 42 1 22 2 210 122 1 2 22 k ykxyyxx kk kxkx y kx x xy y kk 242 222 1212 2222 88889 22 2 2 2 kkk xxyykk kk l 的方程为21yx 13 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 21 21 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆 2 2 1 2 y C x 在 y 轴正 半轴上的焦点 过 F 且斜率为 2的直线l与 C 交与 A B 两点 点 P 满足 0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 31 法一 点 P 2 1 2 P 关于点 O 的对称点为 Q 2 1 2 Q 2 2 111 2 2 1 11 31 1 111 2 1 1 22261 2 2242 AQAP yyy KK x xx 即90PAQ 同理1 PBBQ KK 即90PBQ 180PAQPBQ A P B Q 四点在同一 圆上 2010 2010 年高考试题年高考试题 1 1 20102010浙江理数 浙江理数 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右 焦点 若在双曲线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲 32 线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量 关系 可知答案选 C 答案 C 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 3 3 20102010 辽宁理数 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 解析 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y b x a 垂直 所以1 b b c a A 即b2 ac 33 所以c2 a2 ac 即e2 e 1 0 所以 15 2 e 或 15 2 e 舍去 4 4 20102010 辽宁理数 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为3 2 yx 所以点 2 4 3 A 6 4 3 P 从而 PF 6 2 8 5 5 20102010 天津理数 天津理数 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 6 6 20102010 山东理数 山东理数 7 由曲线 y 2 x y 3 x围成的封闭图形面积为 A 1 12 B 1 4 C 1 3 D 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 123 0 x x dx 111 1 1 3412 故选 A 34 7 2010 安徽理数 5 双曲线方程为 22 21xy 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 答案 C 解析 双曲线的 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 所以右焦点为 6