【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.2 表示函数的方法 湘教版必修1

1 1 2 21 2 2 表示函数的方法表示函数的方法 学习目标重点难点 1 能说出函数的三种表示方法 2 会根据函数关系求出函数的解析式 3 能根据函数表分析函数的定义域与 值域 4 会画出一些简单函数的图象 重点 会求函数的解析式 会画简单函 数的图象 难点 求函数的解析式 1 表示函数的方法 1 把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的办法 就是表示函数的方法 2 表示函数的三种主要方法分别是 解析法 图象法和列表法 2 解析法 1 解析式 把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子 叫作 解析式 也叫作解析表达式或函数关系式 2 解析法就是用解析式来表示函数的方法 3 图象法 函数图象的作图过程通常有列表 描点 连线三个步骤 预习交流预习交流 1 每一个函数都可以用解析法 列表法 图象法三种形式表示吗 提示 不一定 有的函数无法用图象法和列表法表示 而有的函数却不能用解析法来表 示 预习交流预习交流 2 表示函数的三种方法的优缺点是什么 你能总结一下吗 提示 表示法优点缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量可以一一列出 的函数关系 图象法 能形象直观地表示出函数的变化 情况 只能近似地求出自变量的值所对 应的函数值 而且有时误差较大 解析法 一是简明 全面地概括了变量间 的关系 从 数 的方面揭示了 函数关系 二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应 的函数值 不够形象 直观 具体 而且并 不是所有的函数都能用解析式表 示出来 一 求函数的解析式 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的 运费y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站 10 千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别 为 2 万元和 8 万元 为了使租地建仓库的费用最低 需要把租地和建仓库的总费用表示为仓 库到车站距离的函数 1 试写出总费用与仓库到车站距离的函数解析式 2 求出当仓库到车站的距离为 2 千米 5 千米 15 千米时的总费用 2 思路分析 总费用等于土地占用费y1与库存货物运费y2之和 而y1与仓库到车站距离 成反比 y2与仓库到车站距离成正比 因此可先根据距离为 10 千米时的两个费用值 求出 两个比例系数 再相加即得 解 解 1 用y表示租地建仓库的总费用 用x表示仓库到车站的距离 则y y1 y2 且y1 y2 k2x k1 x 又 当x 10 时 y1 2 y2 8 2 8 10k2 解得k1 20 k2 k1 10 4 5 即y1 y2 x 20 x 4 5 因此y x 显然x 0 20 x 4 5 故总费用与仓库到车站的距离的解析式是y x x 0 20 x 4 5 2 当x 2 时 y 2 11 6 20 2 4 5 当x 5 时 y 5 8 20 5 4 5 当x 15 时 y 15 20 15 4 5 40 3 即当仓库到车站的距离分别为 2 千米 5 千米 15 千米时的总费用分别是 11 6 万元 8 万元和万元 40 3 一个矩形的周长是 20 则该矩形的面积y与其中一条边的长度x之间的函数关系式是 答案 答案 y x2 10 x 0 x 10 解析 解析 由于矩形的一条边长为x 则另一条边长为 10 x 于是矩形的面积 20 2x 2 y x 10 x x2 10 x 且依题意应有x 0 且 10 x 0 所以 0 x 10 1 根据实际问题建立函数关系式时首先要设出相关的变量 然后将实际 问题中的等量关系用已知的数据和设出的变量符号来表示 就可得到相应的函数关系式 2 写出函数的解析式时 一般要注明该函数的定义域 即自变量x的取值的集合 对 实际问题 往往还要结合问题的实际意义对变量x的取值加以限制 根据下列条件求相应的函数解析式f x 1 已知f x 1 x2 3x 2 2 已知f x2 x 1 x 1 x2 3 已知f x 是一次函数 且f f f x 8x 7 思路分析 1 令x 1 t 代入f x 1 x2 3x 2 可得f x 2 将x2 变形 使 1 x2 其变为关于x 的形式 可得f x 3 设出f x kx b 代入已知等式 得关于k b的 1 x 方程组 求出k b的值进而可得f x 解 解 1 令x 1 t 则x t 1 将x t 1 代入f x 1 x2 3x 2 得f t t 1 2 3 t 1 2 t2 5t 6 f x x2 5x 6 3 2 f x2 2 2 x 1 x 1 x2 x 1 x f x x2 2 3 设f x kx b k 0 则f f x k kx b b k2x kb b f f f x f k2x kb b k k2x kb b b k3x k2b kb b 8x 7 Error 解得k 2 b 1 f x 2x 1 根据下列条件 求相应的函数解析式f x 1 f x 2 x 1 2 2 f x x 1 x 1 x 3 f x 是一次函数 且f f x 4x 1 解 解 1 令x 2 t得x t 2 f t t 2 t 1 故f x x 1 1 2 1 2 1 2 2 由于f x 2 2 2 2 故f x x2 2 x 1 x 1 xx 1 x x 1 x 3 设f x ax b a 0 f f x f ax b a ax b b a2x ab b Error 解得Error 或Error 故f x 2x 1 或f x 2x 1 3 求函数的解析式常用以下方法 1 若不清楚函数类型 比如已知f g x 的解析式 求f x 的解析式 可采用配凑法 和换元法 配凑法是将f g x 右端的代数式配凑成关于g x 的形式 进而求出f x 的解析 式 换元法可令g x t及解出x 即用t表示x 然后代入f g x 中即可求得f t 从 而求得f x 2 若已知函数类型 可用待定系数法求解 若f x 是一次函数 可设f x kx b k 0 若f x 是二次函数 可设f x ax2 bx c a 0 然后利用题目中的已 知条件 列出关于待定系数的方程组 进而求出待定的系数 二 列表法表示函数 在学校的洗衣店中每洗一次衣服 4 5 公斤以内 需要付费 4 元 但在这家店洗衣 10 次可 以免费洗一次 1 根据题意填写下表 洗衣次数n 次 59101115 洗衣费用c 元 2 费用c是次数n的函数还是次数n是费用c的函数 思路分析 1 可根据题意依次计算并填写 2 可按照函数的定义进行判断 解 解 1 洗衣次数n 次 59101115 洗衣费用c 元 2036404056 2 费用c是次数n的函数 这是因为对次数n的每一个取值 都对应唯一的一个洗衣费用c 但对于每一个洗衣费 用c 有时可能会有两个n的对应值 如c 40 时 n 10 或 11 因此次数n不是洗衣费用 4 c的函数 已知函数f x g x 分别由表给出 x123 f x 131 x123 g x 321 则g f 2 f g 2 答案 答案 1 3 解析 解析 f 2 3 g 2 2 g f 2 g 3 1 f g 2 f 2 3 列表法是表示函数的重要方法 这如同我们在画函数图象时所列的表 它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到 不需计算 三 函数的图象 作出下列函数的图象 1 f x x 1 x Z Z 2 f x x 1 x2 1 2 3 思路分析 对于 1 要注意其定义域是整数集 因此图象不再是一条直线 而是直线 上一些孤立的点 2 对于 2 可利用列表 描点 连线的方法画出图象 解 解 1 由于函数定义域为 Z Z 所以其图象是一次函数y x 1 的图象上的一些孤立的 点 如图 1 2 列表如下 x 1 2 1 3 2 23 y41 4 9 1 4 1 9 根据表中数据在直角坐标系中描点 连线 即可得到函数f x x 的图象 1 x2 1 2 3 如图 2 图 1 5 图 2 作出下列函数的图象 1 y 2 x 2 且x 0 1 x 2 y 2x 4 x 0 解 解 1 函数y 2 x 2 且x 0 的图象是由双曲线y x 0 上的两段组成的 1 x 1 x 如图 1 2 函数y 2x 4 x 0 的图象是一条射线 如图 2 图 1 图 2 1 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等 2 作函数图象 需首先确定函数的定义域 定义域决定了函数图象的端点是什么 3 一般用描点法作函数的图象 作图时要先找出关键 点 再连线 1 y与x成反比 且当x 2 时 y 1 则y关于x的函数关系式为 A y B y 1 x 1 x C y D y 2 x 2 x 答案 答案 C 解析 解析 因为y与x成反比 可设y 依题意得 1 所以k 2 于是y 选 C k x k 2 2 x 2 购买某种饮料x听 所需钱数为y元 若每听 2 元 用解析法将y表示成 x x 1 2 3 4 的函数为 A y 2x B y 2x x R R C y 2x x 1 2 3 D y 2x x 1 2 3 4 6 答案 答案 D 解析 解析 函数定义域为 1 2 3 4 故应选 D 3 如图是张大爷晨练时的离家距离 y 与行走时间 x 之间的函数关系的图象 若用黑 点表示张大爷家的位置 则张大爷散步行走的路线可能是 答案 答案 D 解析 解析 由图可知 在AB段 张大爷晨练时的离家距离y值不变 则他散步行走的路线 只能是选项 D 中的圆弧部分 4 下表所表示的函数f x 的定义域是 值域是 x 1 01234 f x 202 1 1 0 答案 答案 1 0 1 2 3 4 1 0 2 5 红星超市在 2008 年每月毛线的零售量 单位 kg 如表所示 月份t 123456789101112 零售