2011年高考数 平面向量单元测试卷

用心 爱心 专心1 高考数学复习平面向量单元测试卷高考数学复习平面向量单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 2008 海南 平面向量 a b 共线的充要条件是 A a b 方向相同 B a b 两向量中至少有一个为零向量 C R b a D 存在不全为零的实数 1 2 1a 2b 0 答案 D 解析 A 中 a b 同向则 a b 共线 但 a b 共线则 a b 不一定同向 因此 A 不是充 要条件 若 a b 两向量中至少有一个为零向量 则 a b 共线 但 a b 共线时 a b 不一定是 零向量 如 a 1 2 b 2 4 从而 B 不是充要条件 当 b a 时 a b 一定共线 但 a b 共线时 若 b 0 a 0 则 b a 就不成立 从而 C 也不是充要条件 对于 D 假设 1 0 则 a b 因此 a b 共线 2 1 反之 若 a b 共线 则 a b 即 ma nb 0 n m 令 1 m 2 n 则 1a 2b 0 故选 D 2 2009 北京市海淀区 若向量 a b 满足 a b 2 1 a 1 2 则向量 a 与 b 的 夹角等于 A 45 B 60 C 120 D 135 答案 D 解析 依题意得 b a b a 1 3 设 a b 的夹角为 则 cos a b a b 又 0 180 因此 135 选 D 1 6 5 10 2 2 3 向量 a b 满足 a 1 b a b 2a b 则向量 a 与 b 的夹角为 2 A 45 B 60 C 90 D 120 答案 C 解析 由 a b 2a b 得 a b 2a b 0 即 2 a 2 a b cos b 2 0 把 a 1 b 代入得 cos 0 90 其中 为两向量的夹角 故选 C 2 4 如右图所示 已知梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 3CD M N 分别是 AB CD 的中点 设 e1 e2 可表示为 AB AD MN A e2 e1 B e2 e1 1 6 1 2 C e2 e1 D e2 e1 1 3 1 3 答案 C 解析 MN 1 2 MD MC 1 2 MD MD DC 用心 爱心 专心2 2 1 2 MA AD DC 2 e1 e2 e1 1 2 1 2 1 3 e1 e2 e1 1 2 1 6 e2 e1 故选 C 1 3 5 在 ABC 中 A 105 C 45 AB 则 AC 等于 2 A 1 B 2 C D 2 22 答案 A 解析 由题意可知 B 180 105 45 30 在 ABC 中 由正弦定理得 AB sinC AC sinB 解得 AC 1 故选 A 2 sin45 AC sin30 6 2009 北京市东城区 若非零向量 a b 满足 a b b 则下列不等关系一定成立的 是 A 2a 2a b B 2a a 2b D 2b a 2b 故选 C 7 2009 北京市海淀区 函数 y log2x 的图象按向量 a 平移后可以得到函数 y log2 x 2 3 的图象 则 A a 2 3 B a 2 3 C a 2 3 D a 2 3 答案 A 解析 依题意 a 2 3 故选 A 8 设 M 是 ABC 内一点 且 2 BAC 30 定义 f m m n p 其中 AB AC 3 m n p 分别是 MBC MCA MAB 的面积 若 f p x y 则 的最小值是 1 2 1 x 4 y A 18 B 16 C 9 D 8 答案 A 解析 由 2 得 4 S ABC AB AC sin30 1 x y AB AC 3 AB AC 1 2 1 2 1 x 2 x y 2 5 18 y 2x 时取 4 y 1 x 4 y y x 4x y 9 2009 宜昌市调研 已知向量 a b 满足 a 1 b 2 2a b 2 则向量 b 在向量 a 方向上的投影是 用心 爱心 专心3 A B 1 1 2 C D 1 1 2 答案 B 解析 依题意得 2a b 2 4 4a2 b2 4a b 4 4 4 4a b 4 a b 1 向量 b 在向 量 a 方向上的投影等于 1 选 B a b a 10 2009 四川绵阳市诊测 ABC 中 角 A 满足 sin4A cos4A cosA sinA 则 A 0 A B 0 A 6 4 C A D A0 所以 sinA cosA 故选 B 11 2009 西安地区八校联考 在 ABC 中 A 120 AB 5 BC 7 则的值为 sinB sinC A B 5 8 8 5 C D 5 3 3 5 答案 D 解析 依题意得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcosA 即 72 52 AC2 2 5 ACcos120 AC2 5AC 24 0 由此解得 AC 3 或 AC 8 舍去 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB sinC 选 D AC AB 3 5 12 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 且 a 3 a b 则 b 等于 13 A 5 B 4 C 3 D 1 答案 B 解析 a b 2 a 2 b 2 2 a b cos120 代入数据即可解得 b 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在 ABC 中 若 C 60 则 a b c b c a 答案 1 解析 C 60 由余弦定理 c2 a2 b2 ab a b c b c a a a c b b c a c b c 1 a2 b2 c a b ab c a b c2 14 2008 常州模拟 在 ABC 中 边 a b c 所对角分别为 A B C 且 sinA a cosB b 用心 爱心 专心4 则 A cosC c 答案 2 解析 sinA a cosB b sinA a sinB b cosB sinB tanB 1 sinB cosB B 同理 C A 4 4 4 4 2 15 2009 北京市西城区 设 O 为坐标原点 向量 1 2 将绕着点 O 按逆时针 OA OA 方向旋转 90 得到向量 则 2 的坐标为 OB OA OB 答案 0 5 解析 设点 B m n 其中 m0 则有Error Error 即Error Error 且 m0 由此解得 m 2 n 1 2 2 1 2 2 1 0 5 OA OB 16 在 ABC 中 若 sinA sinB sinC 5 7 8 则 B 的大小是 答案 3 解析 本题考查正余弦定理 sinA sinB sinC 5 7 8 a sinA b sinB c sinC a b c 5 7 8 设 a 5k b 7k c 8k cosB a2 c2 b2 2ac 5k 2 8k 2 7k 2 2 5k 8k 25k2 64k2 49k2 2 40k2 1 2 在 ABC 中 B 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 设 a 1 1 b 4 3 c 5 2 1 求证 a 与 b 不共线 并求 a 与 b 的夹角的余弦值 2 求 c 在 a 在方向上的投影 3 求 1和 2 使 c 1a 2b 1 证明 a 1 1 b 4 3 1 3 1 4 a 与 b 不共线 cos a b a b a b 4 3 2 5 2 10 2 解 cos a c a c a c 5 2 2 29 7 58 58 c 在 a 方向上的投影为 c cos a c 7 2 2 3 解 c 1a 2b Error Error 用心 爱心 专心5 解得 1 2 23 7 3 7 18 本小题满分 12 分 2008 合肥模拟 已知向量 a cosx sinx b 1 且 a 与 b 满 足 ka b a kb k 0 3 1 试用 k 表示 a b 并求 a b 的最小值 2 若 0 x b 求 a b 的最大值及相应的 x 值 1 2 3 2 解 1 a 1 b 1 由 ka b a kb 3 得 ka b 2 3 a kb 2 整理得 a b k k2 1 4k 1 4 1 k 1 2 当且仅当 k 1 时 a b 取最小值 1 2 2 由 a b cosx sinx sin x 1 2 3 2 6 0 x x 6 6 7 6 sin x 1 1 2 6 当 x 时 a b 取最大值为 1 3 19 本小题满分 12 分 如右图所示 已知 AD 为 ABC 的内角 A 的平分线 AB 3 AC 5 BAC 120 1 试用正弦定理证明 AB AC BD DC 2 求 AD 的长 1 证明 设 BAD CAD ADB 则 ADC 在 ABD 中 根据正弦定理 AB sin BD sin 在 ACD 中 根据正弦定理 AC sin CD sin 即 AC sin CD sin 得 AB AC BD DC 2 解 在 ABC 中 由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 32 52 2 3 5cos120 49 BC 7 设 BD x 则 DC 7 x 由内角平分线性质 AB AC x 7 x 用心 爱心 专心6 即 解得 x 3 5 x 7 x 21 8 在 ABD 中 设 AD y 由余弦定理 BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 则 2 9 y2 3y 整理得 y y 0 21 8 15 8 9 8 y y 舍去 AD 15 8 9 8 15 8 20 本小题满分 12 分 2009 北京市西城区 如右图 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 在 x 轴正半轴上 直线 AB 的倾斜角为 OB 2 设 AOB 3 4 2 3 4 1 用 表示点 B 的坐标及 OA 2 若 tan 求 的值 4 3 OA OB 解 1 由三角函数的定义 得点 B 的坐标为 2cos 2sin 在 AOB 中 OB 2 BAO B 4 4 3 4 由正弦定理 得 即 OB sin 4 OA sinB 2 2 2 OA sin f 3 4 所以 OA 2sin 2 3 4 注 若用直线 AB 方程求得 OA 2 sin cos 也得分 2 由 1 得 cos OA OB OA OB 4sin cos 2 3 4 因为 tan 4 3 2 3 4 所以 sin cos 4 5 3 5 又 sin sin cos cos sin 3 4 3 4 3 4 2 2 3 5 2 2 4 5 2 10 所以 4 OA OB 2 2 10 3 5 12 25 21 本小题满分 12 分 2009 湖北五市联考 已知 m cos x sin x cos x 3 n cos x sin x 2sin x 其中 0 若函数 f x m n 且 f x 的对称中心到 f x 对称轴的 最近距离不小于 4 1 求 的取值范围 用心 爱心 专心7 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 a 1 b c 2 当 取最大 值时 f A 1 求 ABC 的面积 解 1 f x m n cos2 x sin2 x 2sin x cos x cos2 x sin2 x 2sin 2 x 33 6 0 函数 f x 的周期 T 由题意知 即 1 2 2 T 4 4 1 又 0 0 1 故 的取值范围是 0 1 2 由 1 知 的最大值 1 f x 2sin 2x 6 f A 1 sin 2A 而 2A 6 1 2 6 6 13 6 2A A 6 5 6 3 由余弦定理可知 cosA b2 c2 a2 2bc 1 2 b2 c2 bc 1 又 b c 2 bc 1 S