【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第二章 函数2．1函数及其表示教学案 理 新人教A版

1 第二章第二章 函数函数 2 2 1 1 函数及其表示函数及其表示 考考纲纲要要求求 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表 示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单地应用 1 函数与映射的概念 函数映射 两集合A B设A B是两个非空 设A B是两个非空 对应关系 f A B 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的 一个 在集合B中 的 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合A中的 一个 在集合B中 的 与之对应 名称 称 为从集合A到集合B 的一个函数 称对应 为从集合A到集合 B的一个映射 记法y f x x A y B 对应f A B是一个映射 2 函数的有关概念 1 函数的定义域 值域 在函数y f x x A中 x叫做自变量 叫做函数的定义域 与x的值 相对应的y值叫做函数值 叫做函数的值域 显然 值域是集合B的子集 2 函数的三要素 和 3 函数的表示方法 表示函数的常用方法有 和 4 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域 的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 1 设f g都是从A到A的映射 其中A 1 2 3 其对应关系如下表 x123 f312 g321 则f g 3 等于 A 1 B 2C 3 D 不存在 2 集合A x 0 x 4 B y 0 y 2 下列不表示从A到B的函数的是 A f x y x B f x y x 1 2 1 3 C f x y x D f x y 2 3x 3 下列各函数中 表示同一个函数的是 A f x lg x2 g x 2lg x B f x lg g x lg x 1 lg x 1 x 1 x 1 2 C f u g v 1 u 1 u 1 v 1 v D f x x g x x2 4 2012 山东高考 函数f x 的定义域为 1 ln x 1 4 x2 A 2 0 0 2 B 1 0 0 2 C 2 2 D 1 2 5 已知函数f x Error 若f x 2 则x等于 A log32 B 2 C log32 或 2 D 2 一 求简单函数的定义域 值域 例 1 1 2012 江苏高考 函数f x 的定义域为 1 2log6x 例 1 2 已知函数f 3 2x 的定义域为 1 2 求f x 的定义域 例 1 3 求下列函数的值域 1 y x2 2x x 0 3 2 y 2x2 1 3 y log3x logx3 1 方法提炼方法提炼 1 求函数定义域的方法 1 求具体函数y f x 的定义域 函数给出的方式确定定义域的方法 列表法表中实数x的集合 图象法图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合 解析法使解析式有意义的实数x的集合 实际问题有实际意义及使相应解析式有意义的x的集合 2 求抽象函数的定义域 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的 值域 提醒提醒 定义域必须写成集合或区间的形式 2 求值域的方法 常见的求值域的方法有 配方法 换元法 基本不等式法 利用函数的单调 性 分离常数法 数形结合法 导数法等 3 若两个函数的定义域与值域相同 它们不一定是同一函数 如函数y x与 y x 1 其定义域与值域完全相同 但不是同一个函数 再如y sin x与y cos x 其 定义域都为 R R 值域都为 1 1 显然不是同一个函数 定义域和解析式相同的两个函数 是同一个函数 4 分段函数的定义域 值域为各段上的定义域 值域的并集 最大 小 值是各段最大 小 值中最大 小 的 图象则是由各段上的图象合成的 请做演练巩固提升 1 4 二 求函数的解析式 例 2 1 若函数f x a 0 f 2 1 又方程f x x有唯一解 则 x ax b f x 例 2 2 若 2f x f x x 1 求f x 例 2 3 已知y f x 是定义在 R R 上的奇函数 当x 0 时 f x 2x x2 1 求x 0 时 f x 的解析式 3 2 若关于x的方程f x 2a2 a有三个不同的解 求a的取值范围 方法提炼方法提炼 函数解析式的求法 1 凑配法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后 以x替代g x 便得f x 的表达式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范 围 4 方程思想 已知关于f x 与f或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另 1 x 外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 提醒 提醒 因为函数的解析式相同 定义域不同 则为不相同的函数 因此求函数的解析 式时 如果定义域不是 R R 一定要注明函数的定义域 否则会导致错误 请做演练巩固提升 2 忽略分段函数中自变量的取值范围而致误 典例 设函数f x Error 若f 2 f 0 f 1 3 求关于x的方程f x x的解 错解 错解 当x 0 时 f x x2 bx c 因为f 2 f 0 f 1 3 所以Error 解得Error 所以f x Error 当x 0 时 由f x x得x2 2x 2 x得x 2 或x 1 当x 0 时 由f x x得x 2 所以方程f x x的解为 2 1 2 分析 分析 1 条件中f 2 f 0 f 1 所适合的解析式是f x x2 bx c 所以可 构建方程组求出b c的值 2 在方程f x x中 f x 用哪个解析式 要进行分类讨 论 正解 正解 当x 0 时 f x x2 bx c 因为f 2 f 0 f 1 3 Error 解得Error f x Error 当x 0 时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2 或x 1 由于x 1 0 所以舍去 当x 0 时 由f x x得x 2 所以方程f x x的解为 2 2 答题指导 答题指导 1 对于分段函数问题 是高考的热点 在解决分段函数问题时 要注意自变量的限制 条件 2 就本题而言 当x 0 时 由f x x得出两个x值 但其中的x 1 不符合要求 错解中没有舍去此值 因而导致了增解 分段函数问题分段求解 但一定注意各段的限制 条件 1 2013 届广东湛江一中第一学期期中 函数f x 的定义域为 ln x 1 A e B e C 0 e D e 2 已知f lg x 则f x 2 x 1 A lg B lg 1 x 1 x 1 4 C lg D lg 2 x 1 1 x 2 3 2012陕西高考 设函数f x Error 则f f 4 4 设g x 是定义在 R R 上 以 1 为周期的函数 若函数f x x g x 在区间 0 1 上 的值域为 2 5 则f x 在区间 0 3 上的值域为 5 对a b R R 记 min a b Error 函数f x min x R R 的最 1 2x x 1 2 大值为 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f x 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f A B f A B 2 1 x的取值范围A 函数值的集合 f x x A 2 定义域 值域 对应关系 3 解析法 列表法 图象法 4 对应法则 并集 并集 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 由题中表格可知g 3 1 f g 3 f 1 3 故选 C 2 C 解析 解析 依据函数的概念 集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与 之对应 选项 C 不符合 3 C 解析 解析 选项 A 和 B 定义域不同 选项 D 对应法则不同 4 B 解析 解析 由Error 得Error 所以定义域为 1 0 0 2 5 A 解析 解析 当x 1时 3x 2 x log32 当x 1 时 x 2 x 2 舍去 x log32 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 0 解析 解析 要使函数f x 有意义 则需Error 解得 61 2log6x 0 x 故f x 的定义域为 0 66 例 1 2 解 用换元思想 令 3 2x t f t 的 定义域即为f x 的定义域 t 3 2x x 1 2 1 t 5 故f x 的定义域为 1 5 例 1 3 解 1 y x2 2x x 1 2 1 x 0 3 结合二次函数的图象 可知y x2 2x在区间 0 3 上是增函数 故当x 3 时 ymax 15 当x 0 时 ymin 0 故函数的值域为 0 15 2 令x2 1 t 则t 1 原函数化为y 2t t 1 结合y 2t的单调性得y 2t t 1 的值域为 1 2 3 原函数即为y log3x 1 1 log3x 当x 1 时 log3x 0 因此利用基本不等式得y 2 1 1 当 log3x 即x 3 时取 1 log3x 当 0 x 1 时 log3x 0 因此 log3x logx3 2 log3x 1 log3x log3x 1 3 1 log3x 当且仅当 log3x 1 log3x 即x 时取 1 3 6 综上可知 y log3x logx3 1 的值域为 3 1 例 2 1 解析 解析 由f 2 1 得 1 即 2a b 2 2x x 2 2 2a b 由f x x得 x x ax b 变形得x 0 1 ax b 1 解此方程得x 0 或x 1 b a 又 方程有唯一解 0 解得b 1 1 b a 代入 2a b 2 得a 1 2 f x 2x x 2 例 2 2 解 2f x f x x 1 用 x去替换式子中的x 得 2f x f x x 1 即有Error 解方程组消去f x 得f x 1 x 3 例 2 3 解 1 任取x 0 则 x 0 f x 2x x 2 x2 2x f x 是奇函数 f x f x 2x x2 故x 0 时 f x 2x x2 2 方程f x 2a2 a有三个不同的解 1 2a2 a 1 1 a 1 2 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 2 C 解析 解析 令t 1 则x 2 x 2 t 1 f t lg 即f x lg 故选 C 2 t 1 2 x 1 3 4 解析 解析 f 4 4