1990年考研数学三真题及全面解析

超级狩猎者超级狩猎者 1 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题一 填空题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 极限 lim 3 n nnnn 2 设函数有连续的导函数 若函数 f x 0 0 0 ffb sin 0 0 f xax x F xx Ax 在处连续 则常数 0 x A 3 曲线与直线所围成的平面图形的面积为 2 yx 2yx 4 若线性方程组有解 则常数应满足条件 121 232 343 414 xxa xxa xxa xxa 1234 a a a a 5 一射手对同一目标独立地进行四次射击 若至少命中一次的概率为 则该射手的命 80 81 中率为 二 选择题二 选择题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求 把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数 则是 sin tan x f xxx e f x A 偶函数 B 无界函数 C 周期函数 D 单调函数 2 设函数对任意均满足等式 且有其中为非零常 f xx 1 fxaf x 0 fb a b 数 则 A 在处不可导 B 在处可导 且 f x1x f x1x 1 fa C 在处可导 且 D 在处可导 且 f x1x 1 fb f x1x 1 fab 3 向量组线性无关的充分条件是 12 s A 均不为零向量 12 s B 中任意两个向量的分量不成比例 12 s C 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示 12 s 1s 超级狩猎者超级狩猎者 2 D 中有一部分向量线性无关 12 s 4 设为两随机事件 且 则下列式子正确的是 A BBA A B P ABP A P ABP A C D P B AP B P BAP BP A 5 设随机变量和相互独立 其概率分布为XY m 1 1 P Xm 1 2 1 2 则下列式子正确的是 A B XY 0P XY C D 1 2 P XY 1P XY 三 计算题三 计算题 本题满分本题满分 2020 分分 每小题每小题 5 5 分分 1 求函数在区间上的最大值 2 ln 21 x e t I xdt tt 2 e e 2 计算二重积分 其中是曲线和在第一象限所围成的区 2 y D xedxdy D 2 4yx 2 9yx 域 3 求级数的收敛域 2 1 3 n n x n 4 求微分方程的通解 sin cos ln x yyxx e 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告 根据统计资料 销售收入 万元 与电台广告费用 万元 及报纸广告费用 万元 之间的关系有如下经验公式 R 1 x 2 x 22 121212 15 14328210 Rxxx xxx 1 在广告费用不限的情况下 求最优广告策略 2 若提供的广告费用为 1 5 万元 求相应的最优广告策略 五 五 本题满分本题满分 6 6 分分 设在闭区间上连续 其导数在开区间内存在且单调减少 f x 0 c fx 0 c m 1 1 P Ym 1 2 1 2 超级狩猎者超级狩猎者 3 试应用拉格朗日中值定理证明不等式 其中常数 0 0f f abf af b 满足条件 ab 0ababc 六 六 本题满分本题满分 8 8 分分 已知线性方程组 12345 12345 2345 12345 3230 226 54332 xxxxxa xxxxx xxxxb xxxxx 1 为何值时 方程组有解 ab 2 方程组有解时 求出方程组的导出组的一个基础解系 3 方程组有解时 求出方程组的全部解 七 七 本题满分本题满分 5 5 分分 已知对于阶方阵 存在自然数 使得 试证明矩阵可逆 并写出其逆nAk0 k A EA 矩阵的表达式 为阶单位阵 En 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 设是阶矩阵 和是的两个不同的特征值 是分别属于和的特征An 1 2 A 12 XX 1 2 向量 试证明不是的特征向量 12 XX A 九 九 本题满分本题满分 4 4 分分 从十个数字中任意选出三个不同数字 试求下列事件的概率 0 1 2 9 三个数字中不含 0 和 5 三个数字中不含 0 或 5 1 A 2 A 十 十 本题满分本题满分 5 5 分分 一电子仪器由两个部件构成 以和分别表示两个部件的寿命 单位 千小时 已知XY 和的联合分布函数为 XY 0 50 50 5 0 0 0 xyx y eeexy F x y 1 若 其他 1 问和是否独立 XY 2 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 十一 十一 本题满分本题满分 7 7 分分 某地抽样调查结果表明 考生的外语成绩 百分制 近似服从正态分布 平均成绩为 72 分 96 分以上的占考生总数的 2 3 试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率 超级狩猎者超级狩猎者 4 附表 x 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 x 0 500 0 692 0 841 0 933 0 977 0 994 0 999 表中是标准正态分布函数 x 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 填空题一 填空题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 答案 2 解析 对原式进行分子有理化 分子分母同乘以有理化因子 3nnnn 超级狩猎者超级狩猎者 5 3 3 3 lim lim 1 3 nn nnnnnnnnnnnn nnnn 3 lim 3 n nnnn nnnn 再分子分母同时除以 有 n 原式 4 lim 31 11 n nn 因为 其中为常数 所以原式lim0 n a n a 4 2 1 1 2 答案 ba 解析 由于在处连续 故 F x0 x 0 0 lim x AFF x 为 型的极限未定式 又在点处导数存在 所以 0 lim x F x 0 0 f x0 00 sin cos limlim 1 xx f xaxfxax Aba x 相关知识点 函数在点连续 设函数在点的某一邻域内有定义 如 yf x 0 x yf x 0 x 果则称函数在点连续 0 0 lim xx f xf x f x 0 x 3 答案 1 4 2 解析 先解出两条曲线在平面的交点 即令 2 2xx 解得和 故所围成的平面图形如右图所示 1x 2x 所求面积为 2 2 1 2Sxxdx 2 23 1 111 24 232 xxx 4 答案 1234 0aaaa 解析 由于方程组有解 对作初等行变换 r Ar A A 第一行乘以加到第四行上 有 1 x y O21 超级狩猎者超级狩猎者 6 11 22 33 414 11001 100 01100 110 00110 011 10010101 aa aa aa aaa 第二行加到第四行上 再第三行乘以加到第四行上 有 1 11 22 33 1234124 11001100 0110110 001111 00110 aa aa aa aaaaaaa 为使 常数应满足条件 r Ar A 1234 a a a a 1234 0aaaa 相关知识点 非齐次线性方程组有解的判定定理 设是矩阵 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广Am n Axb 矩阵的秩 即是 或者说 可由的列向量线表出 AA b r Ar A bA 12 n 亦等同于与是等价向量组 12 n 12 n b 设是矩阵 线性方程组 则Am n Axb 1 有唯一解 r Ar An 2 有无穷多解 r Ar An 3 无解 不能由的列向量线表出 1 r Ar A bA 12 n 5 答案 2 3 解析 这是一个四重伯努利试验概率模型 设试验的成功率即射手的命中率为 则进行p 四次独立的射击 设事件为 射手命中目标的次数 服从参数的二项YY 80 4 81 np 分布 由二项分布的概率公式 事件 四次均不中 的概率为 它是至少命中一次的 4 1 p 对立事件 依题意 4 8012 1 11 8133 ppp 本题的另一种分析方法是用随机变量表示独立地进行射击中命中目标的次数 表Xp 示一次射击的命中率 则 依题意 4 XBp 4 1 1 01 81 k P XP Xk 超级狩猎者超级狩猎者 7 即 4 12 1 813 pp 相关知识点 二项分布的概率公式 若 则 YB n p 1 kkn k n P YkC pp 0 1 kn 二 选择题二 选择题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 答案 B 解析 由于 而 所以 sin 2 lim 2 x x x ee 2 limtan x x 故无界 sin 2 limtan x x xx e f x 或考察在的函数值 有 可见 f x2 1 2 4 n xnn 2 2 lim lim nn nn f xx e 是无界函数 应选 B f x 以下证明其他结论均不正确 由 知 A 不正确 4 4 4444 sin sin fefe 由 而 知 D 不正确 00 44 f f 00f 证明 C 不正确可用反证法 设 于是的定义域为 sinx g xtanx e g x 且的全部零点为若01 2 2 Dx xk k g x01 2 n xn n 以为周期 则有 f xxg x T 0T xT g xTxg x xD 令有即 从而 其中为某一正数 于是也是0 x 0Tg T 0g T Tk k2k 的周期 代入即得 对有 xg xxD 222xkg xkxkg xxg x 这表明在上成立 于是在上成立 导致了矛盾 故 20k g x xD 0g x xD 超级狩猎者超级狩猎者 8 不可能是周期函数 f xxg x 相关知识点 极限的四则运算法则 若 则有 0 lim xx f xA 0 lim xx g xB 0 lim xx f xg xAB 2 答案 D 解析 通过变量代换或按定义由关系式将在的1tx 1 fxaf x f x1x 可导性与在的可导性联系起来 f x0 x 令 则 由复合函数可导性及求导法则 知在可导 且1tx 1 f taf t f t1t 11 1 1 0 tt f taf ttafab 因此 应选 D 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点 ug x x yf x 可导 则复合函数在点可导 且其导数为 ug x yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 3 答案 C 解析 本题考查线性无关的概念与理论 以及充分必要性条件的概念 A B D 均是必要条件 并非充分条件 也就是说 向量组线性无关 可以 12 s 推导出 A B D 选项 但是不能由 A B D 选项中的任意一个推导出向量组 线性无关 12 s 例如 显然有 该向量组线性相关 但 A B 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 D 均成立 根据 线性相关的充分必要条件是存在某可以由 12 s 1 2 i is 线性表出 或由 线性无关的充分必要条件是任意一 111 iis 12 s 个均不能由线性表出 故选 C 1 2 i is 111 iis 4 答案 A 解析 由于 所以 于是有 故本题选 A BA ABA P ABP A 对于 B 选项 因为 所以事件发生 则事件必然发生 所以 BA BA P ABP B 而不是 故 B 错 P ABP A 超级狩猎者超级狩猎者 9 对于 C 选项 因为 由条件概率公式 当是相互独立的事BA P AB P B A P A B A 件时 才会有 所以 C 错 P B AP B 对于 D 选项 因为 所以事件发生事件不发生是个不可能事件 故BA BA 所以 D 错 0P BA 5 答案 C 解析 由离散型随机变量概率的定义 有 1 11 1P XYP XYP XY 1 11 1P XP YP XP Y 11111 22222 故本题选 C 而 B D 选项是错误的 对于 A 选项 题目中只说了随机变量和相互独立 且他们的概率分布相同 但是二XY 者是不同的事件 并不能说事件与事件是同一事件 故 A 错 XY 三 计算题三 计算题 本题满分本题满分 2020 分分 每小题每小题 5 5 分分 1 解析 在上 故函数在上单 2 xe e 22 lnln 0 21 1 xx I x xx x I x 2 e e 调增加 最大值为 2 I e 由 有 22 1 1 1 1 1 dxdx d xxx 22 2 2 ln1 ln 1 1 ee ee t I edttd t t 22 22 lnln11 1111 ee ee ee ee tdtt dt tt tttt 2 2 21 ln 1 2ln 1 1 11 ee ee 11 ln 1 e ee 相关知识点 1 对积分上限的函数的求导公式 若 均一阶可导 则 t t F tf x dx t t F ttfttft 超级狩猎者超级狩猎者 10 2 假定与均具有连续的导函数 则 uu x vv x 或者 uv dxuvu vdx udvuvvdu 2 解析 区域是无界函数 设D 0 0 32 b yy DDybx yybx 不难发现 当时有 从而 b b DD 222 2 0 3 limlim b y b yyy y bb DD xedxdyxedxdyedyxdx 2 0 111 lim 249 b y b yy edy 2 2 2 00 55 lim lim 72144 bb yt bb yedytye dt 255 lim 1 144144 b b e 3 解析 因系数 故 2 1 1 2 n an n 2 2 1 2 2 1 1 limlimlim1 1 1 n nnn n nan a n n 这样 幂级数的收敛半径 因此当 即时级数绝对收敛 1 1R 131 x 24x 当时 得交错级数 当时 得正项级数 二者都收敛 于是原2x 2 1 1 1 n n n 4x 2 1 1 n n 级数的收敛域为 2 4 相关知识点 1 求收敛半径的方法 如果 其中是幂级数 1 n lim n n a a 1 nn a a 的相邻两项的系数 则这幂级数的收敛半径 0 n n n a x 2 9yx 2 4yx O x y 超级狩猎者超级狩猎者 11 1 0 0 0 R 2 交错级数的莱布尼茨判别法 设交错级数满足 1 1 1 n n n u 1 2 1 1 2 nn uun lim0 n n u 则收敛 且其和满足余项 1 1 1 n n n u 1 1 1 0 1 n n n uu 1 nn ru 3 级数 当时收敛 当时发散 p 1 1 p n n 1p 1p 4 解析 方法方法 1 1 所给方程为一阶线性微分方程 可直接利用通解公式求解 coscos sin ln xdxxdx x yeexedxC sinsin ln ln xx exdxCexxxC 方法方法 2 2 用函数同乘方程两端 构造成全微分方程 cos sin P x dxxdx x eee 方程两端同乘 得 再积分一次得 sinx e sinsinsinsin cos ln xxxx eyyexyeyex sin lnln x yeCxdxCxxx 最后 再用同乘上式两端即得通解 sinx e sin ln x yexxxC 相关知识点 一阶线性非齐次方程的通解为 yP x yQ x 其中为任意常数 P x dxP x dx yeQ x edxC C 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 1 利润为销售收入减去成本 所以利润函数为 22 12121212 15 14328210 xxx xxxxx 22 121212 15 13318210 xxx xxx 由多元函数极值点的必要条件 有 超级狩猎者超级狩猎者 12 12 1 12 12 2 48130 0 75 1 25 820310 xx x xx xx x 因驻点惟一 且实际问题必有最大值 故投入电台广告费用 0 75 万元 报纸广告费用 1 25 万 元可获最大利润 2 若广告费用为 1 5 万元 则应当求利润函数 与 1 中解析式相同 22 121212 15 13318210 xxx xxx 在时的条件最大值 拉格朗日函数为 12 1 5xx 22 1212121212 15 13318210 1 5 L x xxxx xxxxx 由 12 1 12 2 12 48130 820310 1 50 L xx x L xx x L xx 12 0 1 5 xx 因驻点惟一 且实际问题必有最大值 故应将广告费 1 5 万元全部用于报纸广告 可使利润最 大 相关知识点 拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点 可以先作拉格朗日函数 zf x y 0 x y L x yf x yx y 其中为参数 求其对与的一阶偏导数 并使之为零 然后与附加条件联立起来 xy 0 0 0 xx yy fx yx y fx yx y x y 由这方程组解出及 这样得到的就是函数在附加条件下的 x y x y f x y 0 x y 可能极值点 五 五 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 方法方法 1 1 当时 即不等式成立 0a f abf bf af b 若 因为 0a 超级狩猎者超级狩猎者 13 2121 0 0 f abf af bf f abf bf af fafaa ff 其中 又单调减少 故 从而有 12 0abab fx 21 ff 即 0 0f abf af bf f abf af b 方法方法 2 2 构造辅助函数 将式子移到不等式右边 再将视为变量 得辅助函数bx 令 由于 所以 又因为 0 F xf xf af ax xb 0 0f 0 0F 且 在单调减少 所以 于是在 F xfxfax 0a fx 0 b 0F x F x 上单调递增 故 即 0 b 0 0F bF 其中 f abf af b 0ababc 相关知识点 拉格朗日中值定理 如果函数满足在闭区间上连续 在开区间内可导 那么在内至 f x a b a b a b 少有一点 使等式成立 ab f bf afba 六 六 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 本题中 方程组有解 相关定理见第一题 4 r Ar A 对增广矩阵作初等行变换 第一行乘以 分别加到第二 四行上 有 3 5 1111111111 321130012263 0122601226 5433120122625 aa a bb a 第二行乘以 分别加到第三 四行上 第二行再自乘 有1 1 1 11111 12263 3 22 a a ba a 1 当且 即时方程组有解 30ba 220a 1 3ab 2 当时 方程组的同解方程组是1 3ab 超级狩猎者超级狩猎者 14 12345 2345 1 2263 xxxxx xxxx 由 即解空间的维数为 3 取自变量为 则导出组的基础解系为 523nr A 345 x x x 123 1 2 1 0 0 1 2 0 1 0 5 6 0 0 1 TTT 3 令 得方程组的特解为 因此 方程组的所有解是 345 0 xxx 2 3 0 0 0 T 其中为任意常数 1 12233 kkk 123 k k k 相关知识点 若 是对应齐次线性方程组的基础解系 则的通解形 1 2 0Ax Axb 式为其中是的基础解系 是的一个特解 1 122 kk 12 0Ax Axb 七 七 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 若 是阶矩阵 且则必有于是按可逆的定义知 ABn ABE BAE 1 AB 如果对特征值熟悉 由可知矩阵的特征值全是 0 从而的特征值全是 1 0 k A AEA 也就能证明可逆 EA 由于 故0 k A 21 kkk EAEAAAEAE 所以可逆 且 EA 1 21k EAEAAA 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 反证法 若是的特征向量 它所对应的特征值为 则由定义有 12 XX A 1212 A XXXX 由已知又有 12121122 A XXAXAXXX 两式相减得 1122 0XX 由 知不全为 0 于是线性相关 这与不同特征值的特征向量线 12 12 12 XX 性无关相矛盾 所以 不是的特征向量 12 XX A 相关知识点 矩阵特征值与特征向量的定义 设是阶矩阵 若存在数及非零