2014年全国课标1理科数学

2014 年全国课标 1 理科数学 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答题前 考生务必将自己的 姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮搽干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 答在本试题上无效 4 考试结束 将本试题和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的一项 1 已知集合 则 2 230 22Ax xxBxx AB A B C D 2 1 1 2 1 1 1 2 解析 2 23031013Ax xxx xxx xx 或 故选 A 22Bxx 又AB 2 1 2 3 2 1 1 i i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 解析 故选 D 32 22 11121 1 2 11 iiiii i i ii A 3 设函数的定义域都为 R 且是奇函数 是偶函数 则下列结论 f xg x f x g x 中正确的是 A 是偶函数 B 是奇函数 f x g x f x g x C 是奇函数 D 是奇函数 f x g x f x g x 解析 是奇函数 是偶函数 则是奇函数 排除 A f x g x f x g x 是奇函数 是偶函数 是偶函数 则是偶函数 排除 B f x f x g x f x g x 是奇函数 是偶函数 则是奇函数 C 正确 f x g x f x g x A MO P 是奇函数 是偶函数 是奇函数 则是偶函数 排除 f x g x f x g x f x g x D 故选 C 4 已知为双曲线的一个焦点 则点到的一条渐近线的F 22 30C xmym m FC 距离为 A B C D 333m3m 解析 双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b 故距离 选 A3 5 4 位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周六 周日都有同学参加 公益活动的概率为 A B C D 1 8 3 8 5 8 7 8 解析 周六没有同学的方法数为 1 周日没有同学的方法数为 1 所以周六 周日都有同学 参加公益活动的概率为 故选 D 4 4 227 28 P 6 如图 圆的半径为 1 A 是圆上的定点 P 是圆上的动点 角的始边为射线 OA Ox 终边为射线 OP 过点 P 作直线 OA 的垂线 垂足为 M 将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 则在的图像大致为 f x yf x 0 解析 由已知 又 所1 sin cosOPPMx OMx 11 22 f xOPOM MP 以 故选 C 1 sincossin2 2 f xxxx 7 执行右面的程序框图 若输入的分别为 1 2 3 则输出的 a b kM A B C D 20 3 7 2 16 5 15 8 解析 当时 2n 33 2 22 Mab 当时 当时 3n 838 323 Mab 4n 15815 838 Mab 此时运算终止 故选 D 15 8 M 8 设 且 则0 0 22 1 sin tan cos A B C D 3 2 3 2 2 2 2 2 解析 由得 1 sin tan cos sin1 sin sincoscoscossin coscos 即 所以 由已知 sincos sinsin 2 0 0 22 所以 在上单调递增 所以 0 2222 sinyx 2 2 故选 C 2 22 9 不等式组的解集记为 D 有下面四个命题 1 24 xy xy 12 22 22 px yD xypx yD xy 其中的真命题是 34 23 21 px yD xypx yD xy A B C D 23 pp 12 p p 14 p p 13 p p 解析 令 所以 222xym xyn xymn xmn y 解得 所以 因而可以判断 1 22 mn mn 4 3 1 3 m n 41 220 33 xyxyxy 为真 故选 B 12 p p 10 已知抛物线的焦点为 准线为 是 上一点 是直线与的一个交 2 8C yx FlPlQPFC 点 若 则 4FPFQ QF P A C B A B C D 7 2 3 5 2 2 解析 由已知又 则2 2 PF xx 4FPFQ 过 Q 作 QD 垂直于 l 垂足为 D 所以 故选 B 442 Q x 1 Q x 3QFQD 11 已知函数 若存在唯一的零点 且 则的取值 32 31f xaxx f x 0 x 0 0 x a 范围是 A B C D 2 1 2 1 解析 当时 有两个零点 不满足条件0a 2 31f xx 当时 令 0a 2 2 363fxaxxax x a 2 030fxax x a 解得 2 0 xx a 或 当时 在 0a 32 31f xaxx 22 0 0 aa 和递增 递减 为极小值 为极大值 若存在唯一的零点 且 2 24 1 f aa 01 f f x 0 x 0 0 x 只需 2 24 10 a2 f aa 即为 当时 在 为0a 32 31f xaxx 22 0 0 aa 和递增 递减 01 f 极大值 为极小值 不可能有满足条件的极值 故选 C 2 24 1 f aa B C O A 12 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体 的个条棱中 最长的棱的长度为 6 4A6 2BC4 2D 解析 几何体为如图所示的一个三棱锥 底面ABC为等PABC 腰三角形 顶点B到AC的距离为4 面 且三角形 A4 ABBCC PACABC 面 为以A为直角的等腰直角三角形 所以棱最长 长度为6 故选BPACPB 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个考生都必须作 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共四小题 每小题二 填空题 本大题共四小题 每小题5分 分 13 的展开式中的系数为 用数字填写答案 8 xy xy 27 x y 解析 故展开式中的系数为 888 xy xyx xyy xy 22 x y 12 88 82820CC 14 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过 A B C 三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过 B 城市 乙说 我没去过 C 城市 丙说 我们三人去过同一个城市 由此可判断乙去过的城市为 解析 乙没去过 C 城市 甲没去过 B 城市 但去过的城市比乙多 所以甲去过 A C 三 人都去过同一个城市 一定是 A 所以填 A 15 已知 A B C 是圆 O 上的三点 若 则与的夹角为 1 2 AOABAC AB AC 解析 如图所示 O 为中 1 2 AOABAC BC 点 即 为圆 O 的直径 所以与的夹角BCAB AC 为 2 16 已知分别为的三个内角的对边 2 且 a b cABC A B Ca 则面积的最大值为 2 sinsin sinbABcbC ABC 解析 因 22 2 sinsin sin 2 2bABcbCb abcb cabcbc 为 2 所以a 222 22222 1 2cos 223 bca abcbcbcabcAA bc 面积 而ABC 13 sin 24 SbcAbc 22222222 44bcabcbcbcabcbcbc 13 sin3 24 SbcAbc 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 的前项和为 1 其中为常数 n an n S 1 a0 n a 1 1 nnn a aS 证明 2nn aa 是否存在 使得 为等差数列 并说明理由 n a 解析 证明 当时 得2n 1 11 1 1 nnn nnn a aS aaS 11111 112 0 nnnnnnnnnnn nnnn a aaaSSaaaaa aaaa 存在 证明如下 假设存在 使得 为等差数列 n a 则有 而 1 213 2 aaa 1 a 23 1 1aa 所以 此时 为首项是 1 2124 n a 公差为 4 的等差数列 18 本小题满分 12 分 从某企业的某种产品中抽取 500 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下 频率分布直方图 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 同一组数据用该区间的中x 2 s 点值作代表 由频率分布直方图可以认为 这种产品的质量指标值服从正态分布 其Z 2 N 中近似为样本平均数 近似为样本方差 x 2 2 s i 利用该正态分布 求 187 8212 2 PZ ii 某用户从该企业购买了 100 件这种产品 记表示这 100 件产品中质量指标值位于区X 间 187 8 212 2 的产品件数 利用 i 的结果 求 EX 附 12 2 150 若 则 0 6826 0 9544 Z 2 N PZ 22 PZ 解析 0 02 1700 09 1800 22 1900 33 2000 24 2100 08 2200 02 230200 x 222 2 2222 0 021702000 091802000 22190200 0 332002000 242102000 082202000 02230200150 s i 由 知 150 所以 2 2 s15012 2 O B1 C1 A1 A C B 187 8212 2 200 12 2200 12 2 0 6826PZPZ ii 100 件产品中质量指标值为于区间 187 8 212 2 的产品件数服从二项分布X 100 0 6826B 所以 100 0 682668 26EX 19 本小题满分 12 分 如图三棱柱 中 侧面 111 ABCABC 为 11 BBC C菱形 1 ABBC 证明 1 ACAB 若 AB BC 求二面角的余弦值 1 ACAB o 1 60CBB 111 AABC 解析 证明 侧面为菱形 令又 11 BBC C 11 BCBCO 11 BCBC 1 ABBC 又 O 为中点 所以三 11111 ABBCBBCABCAOABCAOBC 面面 1 BC 角形为等腰三角形 所以 1 ACB 1 ACAB AB BC 令 1 ACAB o 1 60CBB 1AC 1 22BCBCAB 又由已知可求 222 26 22 AOBOAOBOABAOBO 11 AOBC BCBOO 11 AOBBC C 面 如图所示建立空间直角坐标系Oxyz y z x O B1 C1 A1A C B 1 333 0 0 1 0 0 0 0 0 0 333 ABBC 111 333 0 1 0 333 ABABAB 11 3 1 0 3 BCBC 设为平面的一个法向量 则 nx y z 11 AAB 1 11 33 0 0 33 1 3 3 03 0 3 yz n AB n n AB xz A A 即所以可取 设为平面的一个法向量 则 ma b c 111 ABC 11 11 0 1 3 3 0 m BC m m AB A A 同理可取 则 所以二面角的余弦值为 1 cos 7 n m n m n m A 111 AABC 1 7 20 本小题满分 12 分 已知点 0 2 椭圆 的离心率为 是椭圆的右AE 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 FE 焦点 直线的斜率为 为坐标原点 AF 2 3 3 O 求的方程 E 设过点的直线 与相交于两点 当的面积最大时 求 的方程 AlE P QOPQ l 解析 由已知得 2 2 3 2 2 1 43 22 3 3 c a x a Ey c c 解得椭圆的方程 当直线 垂直于 x 轴时 不存在lOPQ 令直线 的方程为与联立消去 y 有 l2ykx 2 2 1 4 x y 22 4116120kxkx 2 222 3 164411264480 4 kkkk 令 12 2 1122 12 2 16 41 12 41 k xx k P x yQ xy x x k 2 2 22 1212 22 1648 141 4141 k PQkxxx xk kk 整理得 令点 O 到直线 l 的距离为 d 则 22 2 4 143 41 kk PQ k 2 2 1 d k 所以的面积 令OPQ 2 2 14 43 241 k S kPQ d k 2 430kt t 2 22 4 43447 12 4 4142 kt S ktk kt t t 当且仅当即时取到 此时直线 l 的方程为或 7 2 2 yx 7 2 2 yx 21 本小题满分 12 分 设函数 曲线在点 1 处的切线 1 ln x x be f xaex x yf x 1 f 为 1 2ye x 求 a b N E B M C O A D 证明 1f x 解析 1 1 22 1111 lnln x xx bexb x fxaexeaex xxxx 因为曲线在点 1 处的切线为 所以 yf x 1 f 1 2ye x 1 21 1 e2 fa fb 代入有 证明 由 知 欲证 只需证 1 2 ln x x e f xex x 1f x 即证 即证 1 2 ln1 x x e ex x 21 ln x x exe 2 xln x x x ee 令 2 gxln x x xxh x ee 1 g 1 ln x x xx hx e 11 g 1 ln0 x 0 x1 x x xxhx ee 解得解得 当 min 111 0 0 0 gxgxxgxx eee max 1 01 0 1 0 gxhxxhxx e 所以成立 所以 2 xln x x x ee 1f x 请考生从第 请考生从第 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果 多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框方框 涂黑 涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 AB 的延长线与 DC 的 延长线交于点 E 且 CB CE 证明 D E 设 AD 不是 O 的直径 AD 的中点为 M 且 MB MC 证明 ADE 为等边三角 形 解析 证明 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 DCBECBCEECBEED 证明 取中点 连接 由 MB MC 得B