第08讲分式方程与二次根式方程

第第 0808 讲讲 分式方程与二次根式方程分式方程与二次根式方程 知识要点 分式方程 二次根式的概念 解法思路 解法 增根 大纲要求 了解分式方程 二次根式方程的概念 掌握把简单的分式方程 二次根式方程转化为一元一次方程 一元二次方程的一般方法 会用换元法解方程 会检验 内容分析 1 分式方程的解法 1 去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是 i 在方程的两边都乘以最简公分母 约去分母 化成整式方程 ii 解这个整式方程 iii 把整式方程的根代入最简公分母 看结果是不是零 使最简公分母不为零的根是原方程的根 使最简公分母为零 的根是增根 必须舍去 在上述步骤中 去分母是关键 验根只需代入最简公分母 2 换元法 用换元法解分式方程 也就是把适当的分式换成新的未知数 求出新的未知数后求出原来的未知数 2 二次根式方程的解法 1 两边平方法 用两边平方法解无理方程的 般步骤是 i 方程两边都平方 去掉根号 化成有理方程 ii 解这个有理方程 iii 把有理方程的根代入原方程进行检验 如果适合 就是原方程的根 如果不适合 就是增根 必须舍去 在上述步骤中 两边平方是关键 验根必须代入原方程进行 2 换元法 用换元法解无理方程 就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数 求出新的未知数后再求原来的未知 数 考查重点与常见题型 考查换元法解分式方程和二次根式方程 有一部分只考查换元的能力 常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的 解题能力 习题出现在中档解答题中 考题类型 1 1 用换元法解分式方程 3 时 设 y 原方程变形为 3x x2 1 x2 1 3x 3x x2 1 A y2 3y 1 0 B y2 3y 1 0 C y2 3y 1 0 D y2 y 3 0 2 用换元法解方程 x2 8x 23 若设 y 则原方程可化为 x2 8x 11x2 8x 11 A y2 y 12 0 B y2 y 23 0 C y2 y 12 0 D y2 y 34 0 3 若解分式方程 产生增根 则 m 的值是 2x x 1 m 1 x2 x x 1 x A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 4 解方程 1 时 需将方程两边都乘以同一个整式 各分母的最简公分母 约去分母 所乘的这个整式为 4 x 1 x 1 A x 1 B x x 1 C x D x 1 5 先阅读下面解方程 x 2 的过程 然后填空 x 2 解 第一步 将方程整理为 x 2 0 第二步 设 y 原方程可化为 y2 y 0 第三步 解这个 x 2x 2 方程的 y1 0 y2 1 第四步 当 y 0 时 0 解得 x 2 当 y 1 时 1 方程无解 第五 x 2x 2 步 所以 x 2 是原方程的根以上解题过程中 第二步用的方法是 第四步中 能够判定方程 1 无解原根 x 2 据是 上述解题过程不完整 缺少的一步是 考点训练 1 给出下列六个方程 1 x2 2x 2 0 2 1 x 3 0 4 2 0 x 2x 3x 2x 1 5 0 6 1 具中有实数解的方程有 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 多于 2 个 2 方程 1 的解是 2x x2 4 1 x 2 A 1 B 2 或 1 C 2 或 3 D 3 3 当分母解 x 的方程 时产生增根 则 m 的值等于 x 3 x 1 m x 1 A 2 B 1 C 1 D 2 4 方程 0 的解是 2x 3x 1 5 能使 x 5 0 成立的 x 是 x 7 6 关于 x 的方程 2x 15 是根式方程 则 m 的取值范围是 m m 1 x 3 7 解下列方程 1 2 3 x2 x 1 0 12x 1 2x2 7x 5 3 1 x 4 2x 5 3x x2 1 x2 1 3x 5 2 1 x2 7 2 1 x 解题指导 1 解下列方程 1 x 2 3 x2 2x 2 4 3 x 2 2 x2 9 x 2 x x 3 1 x2 3x 6 x 1 23x 2x 82 独立训练 1 方程 0 的解是 方程 x 的解是 方程 的解是 x x2 1 2x 3 1 x 1 4 x 2 2 设 y 时 分式方程 2 5 6 0 可转化为 x x 1 x x 1 3 用换元法解方程 2x 3x2 4 1 0 可设 y 从而把方程化为 3x2 2x 5 4 下列方程有实数解的是 A 5 4 B 0 C x2 2x 4 0 D x 23 xx 3 2 x 1 3 x 1 6 x2 1 5 解下列方程 1 2 1 3 5 a b 0 1 x 2 x 2 x2 4 x 4 x2 2x 1 x 2 1 x a x b x 4 b x a x 4 2 5 2x2 4x 3 10 6 4 x2 5 x 14 0 2 x5 4xx2 2x 4 1 x2 1 x 7 3x2 15x 2 2 8 3x2 15x 1 5 2 6 1 若关于 x 的方程 1 产生增根 求 m 的值 x x 2 m 1 x2 2 x 1 x 2 m 为何值时 关于 x 的方程 会产生增根 2 x 2 mx x2 4 3 x 2 7 1 当 a 为何值时 方程 0