全国各地2013年中考数学试卷分类汇编 操作探究

1 操作探究操作探究 一 选择题 1 2013 绍兴 4 分 小敏在作 O 的内接正五边形时 先做了如下几个步骤 1 作 O 的两条互相垂直的直径 再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M 如图 1 2 以 M 为圆心 BM 长为半径作圆弧 交 CA 于点 D 连结 BD 如图 2 若 O 的半径为 1 则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是 A BD2 OD B BD2 OD C BD 2 ODD BD2 OD 答案 C 解析 如图 2 连接 BM 根据题意得 OB OA 1 AD OB BM DM OA 的垂直平分线交 OA 于点 M OM AM OA BM DM OD DM OM 20132013 深圳 深圳 9 9 3 3 分 分 如图 1 有一张一个角为30 最 小边长为 2 的直角三角形纸片 沿图中所示的中位线剪开后 将两部分拼成一个四边 形 所得四边形的周长是 A 8或2 3B 10 或42 3 C 10 或2 3D 8或42 3 答案答案 D D 解析解析 如图 有三种拼接方式 前一种拼接方式的周长为42 3 后两种拼接方式的 周长为均 8 故选 D 方法指导方法指导 本题考查了直角三角形的边角关系及特殊四边形的相关性质 拼接时注意分 类 做到不重不漏 细心计算 2 2013 2013 山东烟台 山东烟台 8 38 3 分分 将正方形图 1 作如下操作 第 1 次 分别连结各边中点如图 2 得到 5 个正方形 第 2 次 将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3 得到 9 个正 方形 依此类推 根据以上操作 若要得到 2013 个正方形 则需要操作的次数是 30 图 1 2 A 502 B 503 C 504 D 505 答案 B 解析 从简单的 局部的 特殊的情形出发 通过观察 分析 比较 提炼 验证 从 而发现规律 推出结论 第一次操作后正方形的个数 4 1 1 5 第二次操作后正方形的个数 4 2 1 9 第三次操作后正方形的个数 4 3 1 13 第n次操作后正方形的个数 4 n 1 4n 1 n为正整数 4n 1 2013 n 503 方法指导 本题考查了图形的规律探索 探索规律型问题一般包括数字规律问题 等式规 律问题 图形排列规律问题 图形变换规律问题 数形结合规律问题和计算类问题等等 解 决这类问题往往需要我们借助于一些特殊的情况 通过观察 分析 归纳 验证 然后得 出一般性的结论 并对结论进行验证 通常以填空或选择的形式出现 BD2 OD2 OB2 OD 方法指导 此题考查了勾股定理 线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识 此题 难度适中 注意掌握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 二 填空题 1 20132013 四川绵阳 四川绵阳 1616 4 4 分 分 对正方形ABCD进行分割 如图 1 其中E F分别是 BC CD的中点 M N G分别是OB OD EF的中点 沿分化线可以剪出一副 七巧板 用这些部件可以拼出很多图案 图 2 就是用其中 6 块拼出的 飞机 若 GOM的面积为 1 则 飞机 的面积为 14 解析 连接 AC 四边形 ABCD 是正方形 AC BD E F 分别 BC CD 的中 点 EF BD AC EF CF CE EFC 是等腰直角三角形 直线 AC 是 EFC 底边上的高所 3 在直线 根据等腰三角形 三线合一 AC 必过 EF 的中点 G 点 A O G 和 C 在同一条直 线上 OC OB OD OC OB FG 是 DCO 的中位线 OG CG OC M N 分别是 OB OD 的中 1 2 点 OM BM OB ON DN OD OG OM BM ON DN BD 等腰直角三角形 GOM 的面积为 1 1 2 1 2 1 4 OM OG OM2 1 OM BD 4 OM 4 2AD2 BD2 32 AD 4 图 2 中飞机面积图 1 中多边形 1 2 1 222 ABEFD 的面积 飞机面积 正方形 ABCD 面积 三角形 CEF 面积 16 2 14 来 2 2013 江西南昌 16 3 分 平面内有四个点 A O B C 其中 AOB 120 ACB 60 AO BO 2 则满足题意的 OC 长度为整数的值可以是 答案答案 2 3 4 解析解析 由 AOB 120 AO BO 2 画出一个顶角为 120 腰长为 2 的等腰三角形 由 60 与120 互补 60 是120 的一半 点 C 是动点想到构造圆来解决此题 方法指导方法指导 本题主要考查学生阅读理解能力 作图能力 联想力与思维的严谨性 周密 性 所涉及知识点有等腰三角形 圆的有关知识 分类讨论思想 不等式组的整数解 在 运动变化中抓住不变量的探究能力 3 20132013 湖南永州 湖南永州 1616 3 3 分 分 电脑系统中有个 扫雷 游戏 要求游戏者标出所有的雷 游戏规则 一个方块下面最多埋一个雷 掀开方块下面就标有数字 提醒游戏者此数字周围 方块 最多八个 中雷的个数 0 常省略不标 如图甲中的 3 表示它的周围八个方块中有 且只有 3 个埋有雷 图乙是张三玩游戏的局部 图中有 4 个方块已确定是雷 方块上标有旗 子 则图乙第一行从左数起的七个方块中 方块上标有字母 能够确定一定是雷的有 请填入方块上的字母 GFEDCBA 图甲 图乙 答案答案 D F G 解析解析 根据B下方 2 下方的 1 判断A下方的方块一定是雷 再根据B C D E F下 方的数字判断 A B C 中只有 1 个雷 B C D 中有 2 个雷 C D E 中只有 1 个雷 D E F中有 2 个雷 E F G中有 2 个雷 1 如果A是雷 则B C都不是雷 而B C D中有 2 个雷 相矛盾 则A不可能是雷 2 如果B是雷 则A C都不是雷 则D是雷 E不是雷 F G是雷 即B是雷时 B D F G一定是雷 3 如果C是雷 则A B都不是雷 则D是雷 E不是雷 F G是雷 即C是雷时 C D F G一定是雷 所以图乙第一行从左数起的七个方块中 能够确定一定是雷的有D F G 方法指导方法指导 我们在确定了A B C下有一只雷时 需要分情形来讨论 于是我们分A是 雷 B是雷 C是雷三种情形来讨论 4 20132013 广东省 广东省 1515 4 4 分 分 如题 15 图 将一张直角三角形纸片 ABC 沿中位线 DE 剪开后 在平面上将 BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转 0 180 点 E 到了点 E位置 则四边形 4 EACE 的形状是 答案答案 平行四边形 解析解析 因为 DE 是 ABC 的中位线 所以 DE AC 且 AC 2DE 2D E 所以 旋转之后 E E AC 且 E E AC 所以四边形EACE 的形状是平行四边形 又因为 AC 不一定恰好等 于 AE 所以四边形EACE 的形状不一定是菱形 故答案填平行四边形 方法指导方法指导 操作类的题目在近几年的中考试卷中比较常见 解决这类问题最好的办法就 是实际操作 当然 也可以根据图形的性质通过计算确定答案 5 5 2013 湖南邵阳 11 3 分 在计算器上 依次按键 2 2 x 得到的结果是 答案 4 解析 422 方法指导 本题考查了计算器 有理数 关键是考查学生的理解能力 题型较好 但 是一道比较容易出错的题目 三 解答题 1 2013 河 南 省 22 10 分 如图 1 将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重 合放置 其中90 30CBE 1 1 操作发现 操作发现 如图 2 固定ABCA 使DECA绕点C旋转 当点D恰好落在AB边上时 填空 线段DE与AC的位置关系是 设BDCA的面积为 1 S AECA的面积为 2 S 则 1 S与 2 S的数量关系是 解析 由旋转可知 AC DC 5 90 30CBE 60AD ADC 是等边三角形 60ACD 又 60CDE DE AC 过 D 作 DN AC 交 AC 于点 N 过 E 作 EM AC 交 AC 延长线于 M 过 C 作 CF AB 交 AB 于点 F 由 可知 ADC 是等边三角形 DE AC DN CF DN EM CF EM 90 30CB 2ABAC 又 ADAC BDAC 1 1 2 SCF BD A 2 1 2 SAC EM A 1 S 2 S 2 2 猜想论证 猜想论证 当DECA绕点C旋转到图 3 所示的位置时 小明猜想 1 中 1 S与 2 S的数量关系仍然成立 并尝试分别作出了BDCA和 AECA中 BC CE边上的高 请你证明小明的猜想 证明 90 180DCEACBDCMACE 又 180 ACNACEACNDCM 又 90 CNACMDACCD ANC DMC 6 AN DM 又 CE CB 12 SS 3 3 拓展探究 拓展探究 已知60ABC 点D是其角平分线上一点 4BDCD OEAB 交BC于点E 如图 4 若在射线 BA上存在点F 使 DCFBDC SS AA 请直接写出相应的BF的长 解析 如图所示 作 1 DF BC交BA于点 1 F 作 2 DFBD 交BA于点 2 F 按照 1 2 求解的方法可以计算出 1 4 3 3 BF 2 8 3 3 BF 2 20132013 陕西 陕西 2525 1212 分 分 本题满分 12 分 问题探究问题探究 1 请在图 中作出两条直线 使它们将圆面四等分 2 如图 M 是正方形 ABCD 内一定点 请在图 中作出两条直线 要求其中一条直线 必须过点 M 使它们将正方形 ABCD 的面积四等分 并说明理由 问题解决问题解决 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD AB CD BC 点 P 是 AD 的中点 如果 AB a CD b 且ab 那么在边 BC 上是否存在一点 Q 使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分 若存在 求出 BQ 的长 若不存在 说明理由 考点 本题陕西近年来考查的有 折叠问题 勾股定理 矩形性质 正方形的性质 面积考点 本题陕西近年来考查的有 折叠问题 勾股定理 矩形性质 正方形的性质 面积 问题及最值问题 位似的性质应用等 此题考查对图形的面积等分问题 问题及最值问题 位似的性质应用等 此题考查对图形的面积等分问题 解析 此题主要考查学生的阅读问题的能力 综合问题的能力 动手操作能力 问题的转解析 此题主要考查学生的阅读问题的能力 综合问题的能力 动手操作能力 问题的转 化能力 分析图形能力和知识的迁徙能力 从特殊图形到一般的过渡 从特殊中发现关系化能力 分析图形能力和知识的迁徙能力 从特殊图形到一般的过渡 从特殊中发现关系 到一般的知识迁移的过程 到一般的知识迁移的过程 1 1 问较易解决 圆内两条互相垂直的直径即达到目的 问较易解决 圆内两条互相垂直的直径即达到目的 2 2 问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题 平行四边形过对角线的交点的直 问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题 平行四边形过对角线的交点的直 线将平行四边形分成面积相等的两个部分 而在正方形中就更特殊 常见的是将正方形重线将平行四边形分成面积相等的两个部分 而在正方形中就更特殊 常见的是将正方形重 叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查 此题有这些知识的积累足够解决 叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查 此题有这些知识的积累足够解决 3 3 问中可以考虑构造 问中可以考虑构造 1 1 2 2 中出现的特殊四边形来解决 也可以用中点的性质来解 中出现的特殊四边形来解决 也可以用中点的性质来解 决 在中学数学中中点就有两个方面的应用 一是中线 倍长中线构造全等三角形或者是决 在中学数学中中点就有两个方面的应用 一是中线 倍长中线构造全等三角形或者是 图 图 A BC D M B 图 A C D P 第 第 25 题图 题图 7 平行四边形 二是中位线的应用 平行四边形 二是中位线的应用 解 解 1 1 如图 如图 所示所示 2 2 如图如图 连接 连接 ACAC B BD D 相交于点相交于点 O O 作直线 作直线 OMOM 分别交分别交 ADAD BCBC 于于 P P Q Q 两点 过点两点 过点 O O 作作 用用 OMOM 的垂线分别交的垂线分别交 ABAB CDCD 于于 E E F F 两点 则直线两点 则直线 OMOM EFEF 将正方形将正方形 ABCDABCD 的面积四等分的面积四等分 理由如下 理由如下 点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 对角线的交点 对角线的交点 点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的对称中心的对称中心 AP CQ AP CQ EB DFEB DF D D 在在 AOP AOP 和和 EOB EOB 中 中 AOP 90 AOE AOP 90 AOE BOE 90 AOE BOE 90 AOE AOP BOE AOP BOE OA OB OA OB OAP EBO 45 AOP EOB OAP EBO 45 AOP EOB AP BE DF CQ AP BE DF CQ AE BQ CF PD AE BQ CF PD 设点设点 O O 到正方形到正方形 ABCDABCD 一边的距离为一边的距离为d dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP 2 1 2 1 2 1 2 1 POFDCQOFBEOQAPOE SSSS 四边形四边形四边形四边形 直线直线 EFEF PQPQ 将正方形将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 另解 另解 点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 对角线的交点 对角线的交点 点点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的中心的中心 OA OB OC OD OA OB OC OD OAP OBE OCQ ODF 45 OAP OBE OCQ ODF 45 PQ EF PQ EF POD DOF 90 POD DOF 90 POD POA 90 POD POA 90 POA DOF POA DOF 同理 同理 POA DOF B POA DOF BOE COQOE COQ AOP BOE COQ DOF AOP BOE COQ DOF ABCDPOFDCQOFBEOQAPOE SSSSS 正方形四边形四边形四边形四边形 4 1 直线直线 EFEF PQPQ 将正方形将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 3 3 存在存在 当当 BQ CD BQ CD b时 时 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分 理由如下 如图理由如下 如图 延长 延长 BABA 至点至点 E E 使 使 AE AE b 延长延长 CDCD 至点至点 F F 使 使 DF DF a 连接 EF BE CF BE CF BE CFBE CF 四边形四边形 BCFEBCFE 为平行四边形 为平行四边形 BC BE BC BE a b 平行四边形平行四边形 DBFEDBFE 为菱形为菱形 连接连接 BFBF 交交 ADAD 于点于点 M M 则 则 MAB MDF MAB MDF AM DM AM DM 即点即点 P P M M 重合重合 点点 P P 是菱形是菱形 EBCFEBCF 对角线的交点 对角线的交点 在在 BCBC 上截取上截取 BQ CD BQ CD b 则 则 CQ AB CQ AB a 设点设点 P P 到菱形到菱形 EBCFEBCF 一边的距离为一边的距离为d CDPCQPQBPABP SSdCDCQdBQABSS 2 1 2 1 所以当所以当 BQ BQ b时 直线时 直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分 另解 存在另解 存在 当当 BQ CD BQ CD b时 时 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分 答图 A BC D M 第 第 25 题答案图 题答案图 答图 O P Q F E B 答图 A C D P 第 第 25 题答案图 题答案图 M Q FE 8 理由如下 如图理由如下 如图 连接 连接 BPBP 并延长并延长 BPBP 交交 CDCD 延长线于点延长线于点 F F 连接 连接 CPCP 点点 P P 是是 ADAD 的中点 的中点 PA PD PA PD AB CDAB CD ABP DFP ABP DFP APB DPF APB DPF APB DPF APB DPF AB DF AB DF PB PFPB PF 所以 所以 CPCP 是是 CBF CBF 的中线 的中线 CPFCPB SS AB CD BCAB CD BC DF CD BCDF CD BC 即 即 CB CFCB CF CBF CFB CBF CFB ABP DFP ABP CBP ABP DFP ABP CBP 即即 PBPB 是角平分线是角平分线 点点 P P 到到 ABAB 与与 CBCB 的距离相等 的距离相等 BQ BQ b 所以所以 CQ AB CQ AB a CQPABP SS QCDPABQP SS 四边形四边形 所以当所以当 BQ BQ b时 直线时 直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分 3 20132013 山西 山西 2626 1414 分 分 综合与探究 如图 抛物线 2 13 4 42 yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右侧 与 y 轴交于点 C 连接 BC 以 BC 为一边 点 O 为对称中心作菱 形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛 物线于点 Q 1 求点 A B C 的坐标 2 当点 P 在线段 OB 上运动时 直线 l 分别交 BD BC 于点 M N 试探究 m 为何值时 四 边形 CQMD 是平行四边形 此时 请判断四边形 CQBM 的形状 并说明理由 3 当点 P 在线段 EB 上运动时 是否存在点 Q 使 BDQ 为直角三角形 若存在 请直 接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 当 y 0 时 2 13 40 42 xx 解得 12 2 8xx 点 B 在点 A 的右侧 点 A B 的坐标分别为 2 0 8 0 当 x 0 时 y 4 点 C 的坐标为 0 4 2 由菱形的对称性可知 点 D 的坐标为 0 4 设直线 BD 的解析式为y kx b 则 4 80 b kb 解得 k 1 2 b 4 直线 BD 的解析式为 1 4 2 yx B 答图 A C D P 第 第 25 题答案图 题答案图 Q F 9 l x 轴 点 M Q 的坐标分别是 m 1 4 2 m m 2 13 4 42 mm 如图 当 MQ DC时 四边形 CQMD 是平行四边形 1 4 2 m 2 13 4 42 mm 4 4 化简得 2 40mm 解得 m1 0 舍去 m2 4 当 m 4 时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 四边形 CQBM 是平行四边形 解法一 m 4 点 P 是 OB 中点 l x 轴 l y 轴 BPM BOD 1 2 BPBM BOBD BM DM 四边形 CQMD 是平行四边形 DMCQ BMCQ 四边形 CQBM 为平行四边形 解法二 设直线BC 的解析式为 y k1x b1 则 1 11 4 80 b kb 解得 k1 1 2 b1 4 直线 BC 的解析式为 y 1 2 x 4 又 l x 轴交 BC 于点 N x 4 时 y 2 点 N 的坐标为 4 2 由上面可知 点 M Q 的坐标分别为 4 2 Q 4 6 MN 2 2 4 NQ 2 6 4 MN QN 又 四边形 CQMD 是平行四边形 DB CQ 3 4 又 1 2 BMN CQN BN CN 四边形 CQBM 为平行四边形 3 抛物线上存在两个这样的点 Q 分别是 Q1 2 0 Q2 6 4 4 20132013 四川绵阳 四川绵阳 2525 1414 分 分 本题满分 14 分 我们知道 三角形的三条中线一定会交于一点 这一点就叫做三角形的重心 重心有很多 美妙的性质 如在关线段比 面积比就有一些 漂亮 结论 利用这些性质可以解决三角 形中的若干问题 请你利用重心的概念完成如下问题 1 若O是 ABC的重心 如图 1 连结AO并延长交BC于D 证明 2 3 AO AD 2 若AD是 ABC的一条中线 如图 2 O是AD上一点 且满足 2 3 AO AD 试判断O是 ABC的重心吗 如果是 请证明 如果不是 请说明理由 3 若O是 ABC的重心 过O的一条直线分别与AB AC相交于G H 均不与 ABC的 顶点重合 如图 3 S四边形 BCHG S AGH分别表示四边形BCHG和 AGH的面积 试探究 的最大值 S四边形BCGH S AGH 图 图 3图图 图 2图 图 图 1图 H A BC D O A BC D OO G D CB A 10 解 1 证明 如图 1 连结 CO 并延长交 AB 于点 P 连结 PD 点 O 是 ABC 的重心 P 是 AB 的中点 D 是 BC 的中点 PD 是 ABC 的中位线 AC 2PD AC PD DPO ACO PDO CAO OPD CA OD AO PD AC 1 2 AD AO OD OA OA 1 2 2 3 2 AO AD 2 3 2 点 O 是是 ABC 的重心 证明 如图 2 作 ABC 的中线 CP 与 AB 边交于点 P 与 ABC 的 另一条中线 AD 交于点 Q 则点 Q 是 ABC 的重心 根据 1 中的 证明可知 AQ AD 2 3 而 点 Q 与点 O 重合 是同一个点 所以点 O 是 ABC 的重心 AO AD 2 3 3 如图 3 连结 CO 交 AB 于 F 连结 BO 交 AC 于 E 过点 O 分别作 AB AC 的平行线 OM ON 分别 与 AC AB 交于点 M N 点 O 是 ABC 的重心 OE BE 1 3 OF CF 1 3 在 ABE 中 OM AB OM OM AB OE BE 1 3 AB 1 3 在 ACF 中 ON AC ON ON AC OF CF 1 3 AC 1 3 在 AGH 中 OM AH OM AG OH GH 在 ACH 中 ON AH ON AH OG GH 1 1 3 OM AG ON AH OH GH OG GH 1 3AB AG 1 3AC AH AB AG AC AH 11 令 m n m 3 n AB AG AC AH S四边形BCGH S AGH S ABC S AGH S AGH S四边形BCGH S AGH 1 2AB AC sin BAC 1 2 AG AH sin BAC 1 2 AG AH sin BAC AB AC AG AH AG AH 1 mn 1 3 n n 1 n2 3n 1 n 2 AB AC AG AH 3 2 5 4 当 n GH BC 时 有最大值 AC AH 3 2 S四边形BCGH S AGH 5 4 附 或 的另外两种证明方法的作图 BG AG CH AH 1 AB AG AC AH 3 方法一 分别过点 B C 作 AD 的平行线 BE CF 分别交直线 GH 于点 E F 方法二 分别过点 B C A D 作直线 GH 的垂线 垂足分别为 E F N M 下面的图解也能说明问题 5 2013 浙江湖州 23 8 分 一节数学课后 老师布置了一道课后练习 如图 在Rt ABC中 AB BC ABC 90 BO AC于点O 点P D分别在AO和BC上 PB PD DE AC于点E 求证 BPO PDE 12 1 理清思路 完成解答 本题证明的思路可以用下面的框图表示 根据上述思路 请你完整地书写本题的证明过程 2 特殊位置 证明结论 若BP平分 ABO 其余条件不变 求证 AP CD 3 知识迁移 探索新知 若点P是一个动点 当点P运动到OC的中点P 时 满足题中条件的点 D也随之在直线BC 上运动到点D 请直接写出CD 与 AP 的数量关系 不必写解答过程 思路分析 1 求出 3 4 BOP PED 90 根据 AAS 证 BPO PDE 即可 2 求出 ABP 4 求出 ABP CPD 即可得出答案 3 设 OP CP x 求出 AP 3x CD 2x 即可得出答案 解 1 证明 PB PD PBD 2 AB BC ABC 90 C 45 BO AC于点O 1 45 1 C 45 3 PBD 1 4 2 C 3 4 又 BO AC DE AC BOP PED 90 PB PD BPO PDE 2 由 1 可得 3 4 BP平分 ABO ABP 3 ABP 4 又 A C PB PD APB CPD AP CD 3 CD 与 AP 的数量关系是 CD 2 3 AP 要证 BPO PDE PB PD 已知 BOP PED 3 4 BO AC DE AC 已 知 3 PBD 1 4 2 C 1 C 45 PBD 2 已知 条件 13 方法指导 本题考查了全等三角形的性质和判定 等腰直角三角形性质 等腰三角形性 质等知识点的综合应用 主要考查学生的推理和计算能力 6 2013 湖北荆门 24 10 分 已知关于x的二次函数y x2 2mx m2 m的图象与关于 x的函数y kx 1 的图象交于点A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 1 当k 1 m 0 1 时 求AB的长 2 当k 1 m为任何值时 猜想AB的长是否不变 并证明你的猜想 3 当m 0 无论k为何值时 猜想 AOB的形状 证明你的猜想 平面内两点间的距离公式AB 22 2121 xxyy 思路分析 1 2 当k 1 时 直线y x 1 与坐标轴围成一个等腰直角三角形 于是 可知AB的长是一个等腰直角三角形的斜边 求AB的长转化为求A B两点横坐标之差的绝 对值 3 猜想 AOB是直角三角形 这一猜想可利用两点间的距离公式等知识进行证明 解 解 1 当k 1 m 0 时 y x2 如图 5 联立 2 1 yx yx 得x2 x 1 0 x1 x2 1 x1x2 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 同理 当k 1 m 1 时 AB 10 2 猜想 当k 1 m为任何值时 AB的长不变 即AB 10 下面证明 联立 22 2 1 yxmxmm yx 消y整理得 x2 2m 1 x m2 m 1 0 x1 x2 2m 1 x1x2 m2 m 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 3 当m 0 k为任意常数时 AOB为直角三角形 当k 0 时 则函数y kx 1 的图象为直线y 1 则由 2 1 yx y 得A 1 1 B 1 1 显然 AOB为直角三角形 当k 1 时 则一次函数y kx 1 为直线y x 1 则由 2 1 yx yx 得x2 x 1 0 x1 x2 1 x1x2 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 x O y A B 1 1x1 x2 图 5 C 14 AB2 10 A x1 y1 B x2 y2 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 10 AB2 OA2 OB2 AOB为直角三角形 当k为任意常数时 AOB仍为直角三角形 如图 6 联立 2 1 yx ykx 得x2 kx 1 0 x1 x2 k x1x2 1 AB2 x2 x1 2 y2 y1 2 k4 5k2 4 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 k4 5k2 4 AB2 OA2 OB2 AOB为直角三角形 以上试题和解答来自 2013 6 23 荆门晚报 录入者对压轴题的第 3 问给出如下解法 当k为任意常数时 AOB为直角三角形 如图 6 证明如下 联立 2 1 yx ykx 得x2 kx 1 0 x1 x2 k x1x2 1 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 k2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1x2 k2 4 A x1 y1 B x2 y2 在直线y kx 1 上 y1 kx1 1 y2 kx2 1 y2 y1 k x2 x1 AB2 x2 x1 2 y2 y1 2 x2 x1 2 k2 x2 x1 2 1 k2 x2 x1 2 1 k2 4 k2 k4 5k2 4 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 x12 kx1 1 2 x22 kx2 1 2 1 k2 x12 x22 2k x1 x2 2 1 k2 k2 2 2k2 2 k4 5k2 4 AB2 OA2 OB2 AOB为直角三角形 方法指导 求函数图象的交点坐标即是求由它们的解析式所组成的方程组的解 直线与 抛物线若有交点 则它们交点的横坐标是消去y后所得一元二次方程的解 平面直角坐标 系内 求两点之间的距离的方法如下 1 若两点的连线平行于横轴 纵轴 则它们之间 的距离等于横坐标 纵坐标 之差的绝对值 2 若两点的连线与坐标轴不平行 则它们之间 的距离可用勾股定理求出 7 2013 江西南昌 24 12 分 某数学活动小组在作三角形的拓展图形 研究其性质时 经历了如下过程 操作发现 在等腰 ABC 中 AB AC 分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的外侧作等腰直角三角 形 如图 1 所示 其中 DF AB 于点 F EG AC 于点 G M 是 BC 的中点 连接 MD 和 xO y A B x1x2 图 6 15 ME 则下列结论正确的是 填序号即可 AF AG 2 1 AB MD ME 整个图形是轴对称图形 DAB DMB 数学思考 在任意 ABC 中 分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的外侧作等腰直角三角形 如 图 2 所示 M 是 BC 的中点 连接 MD 和 ME 则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系 请给出证明过程 类比探索 在任意 ABC 中 仍分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的内侧作等腰直角三角形 如图 3 所示 M 是 BC 的中点 连接 MD 和 ME 试判断 MED 的形状 答 思路分析思路分析 1 由图形的对称性易知 都正确 DAB DMB 45 也正确 2 直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系 一般由全等证线段相等 受图 1 DFM MGE的启发 应想到取中点构造全等来证MD ME 证MD ME就是要证 DME 90 由 DFM MGE得 EMG MDF DFM中四个角相加为 180 FMG可看成三个角的和 通过变形计算可得 DME 90 3 只要结论 不要过程 在 2 的基础易知为等腰 直角三解形 解解 操作发现 答 MD ME MD ME 先证 MD ME 如图 2 分别取 AB AC 的中点 F G 连接DF MF MG EG M 是 BC 的中点 MF AC MF 2 1 AC 又 EG 是等腰 Rt AEC 斜边上的中线 EG AC 且 EG 2 1 AC MF EG 同理可证 DF MG MF AC MFA BAC 180 同事可得 MGA BAC 180 MFA MGA 又 EG AC EGA 90 同理可得 DFA 90 MFA DFA MGA EGA 16 即 DFM MEG 又 MF EG DF MG DFM MGE SAS MD ME 再证 MD ME 证法一 MG AB MFA FMG 180 又 DFM MGE MEG MDF MFA FMD DME MDF 180 其中 MFA FMD MDF 90 DME 90 即 MD ME 证法二 如图 2 MD 与 AB 交于点 H AB MG DHA DMG 又 DHA FDM DFH 即 DHA FDM 90 DMG DME GME DME 90 即 MD ME 类比探究 答 等腰直角三解形 方法指导方法指导 本题考查了轴对称 三角形中位线 平行四边形 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 全等 角的转化等知识 能力要求很高 8 20132013 广东湛江 广东湛江 2424 1010 分 分 阅读下面的材料 先完成阅读填空 再按要求答题 1 sin30 2 3 cos30 2 则 22 sin 30cos 30 2 sin45 2 2 cos45 2 则 22 sin 45cos 45 1 sin60 2 3 cos60 2 则 22 sin 60cos 60 观察上述等式 猜想 对任意锐角 A 都有 22 sincosAA 1 如图 在锐角三角形ABC中 利用三角函数的定义及勾股定理对 A证明你的猜想 2 已知 A为锐角 cos0A 且 3 sin 5 A 求cos A 17 B AC 思路分析 先具体计算 从计算中归纳出规律 再进行证明 最后再加以运用 解 都填 1 1 如下图 过点B作BH BC于点H 222 BHAHAB H B A C 则sin BH A AB cos AH A AB 所以 2222 22 222 sincos1 BHAHBHAH AB ABABAB 2 22 sincos1AB 3 sin 5 A 22 316 cos1 525 A cos0A cosA 4 5 方法指导 解决探究类题的步骤 1 计算一些特殊的数值或特殊的位置关系 2 猜想规律 数据或图形的位置变化了 如果某种数量关系或位置关系不变 就猜想一般 情形下也成立 3 利用所学的相关知识对猜想出的结论进行讲明 4 用猜想 证明出的结论解决实际问题 9 2013 2013 山东烟台 山东烟台 25 1025 10 分分 已知 点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点 不与A B 重合 分别过点A B向直线CP作垂线 垂足分别为E F Q为斜边AB的中点 1 如图 1 当点P与点Q重合时 AE与BF的位置关系是 QE与QF 的数量关系是 18 2 如图 2 当点P在线段AB上不与点Q重合时 试判断QE与QF的数量关系 并 给予证明 3 如图 3 当点P在线段BA 或AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 思路分析 1 BF与AE都垂直于CF BF与AE平行 然后证明 BFQ P AEQ P 即可证明QE QF 2 对第一问进行分析 类比 归纳 联想 可以发现延长FP 交AE于点D 然后证明 BFQ ADQ 即可得出FQ DQ 然后利用直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半 即可证出 3 在解答前两问已经有的经验基础上 认真审题 先根 据题意画图 然后结合图形 仔细观察 透过现象抓住本质 分离出基本图形 延长EQ 与FB的延长线交于点D 通过证明 BDQ AEQ 得出点Q为DE的中点 然后依然运用直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可证出 2 中结论依然成立 解 1 AE BF QE QF 2 QE QF 证明 延长FQ交AE于点D AE BF 1 2 3 4 AQ BQ AQD BQF QD QF AE CP QE为斜边FD中线 3 2 中结论仍然成立 理由 延长EQ FB交于点D AE BF 1 D 2 3 AQ BQ AQE BQD QE QD BF CP FQ为斜边DE中线 19 QE QF 方法指导 这是一