2012年各地中考数学 压轴题精选1~10（解析版）

用心 爱心 专心1 20122012 年各地中考数学压轴题精选年各地中考数学压轴题精选 1 10 1 10 解析版解析版 1 2012 临沂 26 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三 角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 考点 二次函数综合题 分类讨论 解答 解 1 如图 过 B 点作 BC x 轴 垂足为 C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 点 B 的坐标为 2 2 2 抛物线过原点 O 和点 A B 可设抛物线解析式为 y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x 3 存在 如图 抛物线的对称轴是 x 2 直线 x 2 与 x 轴的交点为 D 设点 P 的坐标为 2 y 若 OB OP 则 22 y 2 42 解得 y 2 用心 爱心 专心2 当 y 2时 在 Rt POD 中 PDO 90 sin POD POD 60 POB POD AOB 60 120 180 即 P O B 三点在同一直线上 y 2不符合题意 舍去 点 P 的坐标为 2 2 若 OB PB 则 42 y 2 2 42 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 若 OP BP 则 22 y 2 42 y 2 2 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 2 2 2012 菏泽 21 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面 积是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条性质 考点 二次函数综合题 用心 爱心 专心3 解答 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 0 2 042 abc c abc 解之得 1 1 2 a b c 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满足 2 2yxx 连接 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 则 2 234xx 即 2 210 xx 解之得1x 此时 2 1122y 即 1 2 P 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 用心 爱心 专心4 3 2012 义乌市 24 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 y 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范 围时 符合条件的 E 点的个数分别是 1 个 2 个 考点 二次函数综合题 解答 解 1 把点 A 3 6 代入 y kx 得 6 3k k 2 y 2x 2012 义乌市 OA 3 分 2 是一个定值 理由如下 如答图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时 显然 QG 与 QN 重合 此时 当 QH 与 QM 不重合时 QN QM QG QH 不妨设点 H G 分别在 x y 轴的正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN 5 分 当点 P Q 在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 7 分 3 如答图 2 延长 AB 交 x 轴于点 F 过点 F 作 FC OA 于点 C 过点 A 作 AR x 轴于点 R AOD BAE 用心 爱心 专心5 AF OF OC AC OA ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC OF 点 F 0 设点 B x 过点 B 作 BK AR 于点 K 则 AKB ARF 即 解得 x1 6 x2 3 舍去 点 B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 8 分 求 AB 也可采用下面的方法 设直线 AF 为 y kx b k 0 把点 A 3 6 点 F 0 代入得 k b 10 舍去 B 6 2 AB 5 8 分 其它方法求出 AB 的长酌情给分 在 ABE 与 OED 中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO 用心 爱心 专心6 BAE EOD ABE OED 9 分 设 OE x 则 AE x 由 ABE OED 得 10 分 顶点为 如答图 3 当时 OE x 此时 E 点有 1 个 当时 任取一个 m 的值都对应着两个 x 值 此时 E 点有 2 个 当时 E 点只有 1 个 11 分 当时 E 点有 2 个 12 分 4 2012 杭州 用心 爱心 专心7 22 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x2 x 1 的图象交于点 A 1 k 和点 B 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为 Q 当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 考点 二次函数综合题 分析 1 当 k 2 时 即可求得点 A 的坐标 然后设反比例函数的解析式为 y 利 用待定系数法即可求得答案 2 由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 可得 k 0 又由二次 函数 y k x2 x 1 的对称轴为 x 可得 x 时 才能使得 y 随着 x 的增大 而增大 3 由 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称 利用直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可得 OQ OA OB 又由 Q k A 1 k 即可得 继而求得答案 解答 解 1 当 k 2 时 A 1 2 A 在反比例函数图象上 设反比例函数的解析式为 y 代入 A 1 2 得 2 解得 m 2 反比例函数的解析式为 y 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 k 0 二次函数 y k x2 x 1 k x 2 k 的对称轴为 直线 x 要使二次函数 y k x2 x 1 满足上述条件 在 k 0 的情况下 x 必须在对称轴的 左边 即 x 时 才能使得 y 随着 x 的增大而增大 综上所述 k 0 且 x 3 由 2 可得 Q k 用心 爱心 专心8 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称 如图是其中的一 种情况 原点 O 平分 AB OQ OA OB 作 AD OC QC OC OQ OA 解得 k 点评 此题考查了二次函数的性质 反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识 此 题综合性较强 难度较大 注意掌握待定系数法求函数解析式 注意数形结合思想 的应用 5 2012 烟台 26 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值 为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 用心 爱心 专心9 考点 二次函数综合题 分析 1 根据矩形的性质可以写出点 A 得到坐标 由顶点 A 的坐标可设该抛物线的顶点 式方程为 y a x 1 2 4 然后将点 C 的坐标代入 即可求得系数 a 的值 利用待 定系数法求抛物线的解析式 2 利用待定系数法求得直线 AC 的方程 y 2x 6 由图形与坐标变换可以求得点 P 的坐标 1 4 t 据此可以求得点 E 的纵坐标 将其代入直线 AC 方程可以求得 点 E 或点 G 的横坐标 然后结合抛物线方程 图形与坐标变换可以求得 GE 4 点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 最后根据三角形的面积公式可以求 得 S ACG S AEG S CEG t 2 2 1 由二次函数的最值可以解得 t 2 时 S ACG的最 大值为 1 3 因为菱形是邻边相等的平行四边形 所以点 H 在直线 EF 上 解答 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 分 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 点 P 1 4 t 3 分 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 4 分 点 G 的横坐标为 1 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 GE 4 4 t t 5 分 又点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 用心 爱心 专心10 即 S ACG S AEG S CEG EG EG 2 2 t t 2 2 1 7 分 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 8 分 3 t 或 t 20 8 12 分 说明 每值各占 2 分 多出的值未舍去 每个扣 1 分 点评 本题考查了二次函数的综合题 其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解 析式 待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法 6 2012 益阳 20 已知 如图 抛物线 y a x 1 2 c 与 x 轴交于点 A 0 和点 B 将抛物 线沿 x 轴向上翻折 顶点 P 落在点 P 1 3 处 1 求原抛物线的解析式 2 学校举行班徽设计比赛 九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感 过点 P 作 x 轴 的平行线交抛物线于 C D 两点 将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉 设计 成一个 W 型的班徽 5 的拼音开头字母为 W W 图案似大鹏展翅 寓意深远 而且 小明通过计算惊奇的发现这个 W 图案的高与宽 CD 的比非常接近黄金分割比 约等于 0 618 请你计算这个 W 图案的高与宽的比到底是多少 参考数据 结果可保留根号 考点 二次函数的应用 用心 爱心 专心11 分析 1 利用 P 与 P 1 3 关于 x 轴对称 得出 P 点坐标 利用待定系数法求出二 次函数的解析式即可 2 根据已知得出 C D 两点坐标 进而得出 W 图案的高与宽 CD 的比 解答 解 1 P 与 P 1 3 关于 x 轴对称 P 点坐标为 1 3 2 分 抛物线 y a x 1 2 c 过点 A 0 顶点是 P 1 3 3 分 解得 4 分 则抛物线的解析式为 y x 1 2 3 5 分 即 y x2 2x 2 2 CD 平行 x 轴 P 1 3 在 CD 上 C D 两点纵坐标为 3 6 分 由 x 1 2 3 3 解得 7 分 C D 两点的坐标分别为 3 3 CD 8 分 W 图案的高与宽 CD 的比 或约等于 0 6124 10 分 点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用 根据已知得 出 C D 两点坐标是解题关键 7 2012 广州 24 如图 抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴 交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求 点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时 求直线 l 的解析式 用心 爱心 专心12 考点 二次函数综合题 分析 1 A B 点为抛物线与 x 轴交点 令 y 0 解一元二次方程即可求解 2 根据题意求出 ACD 中 AC 边上的高 设为 h 在坐标平面内 作 AC 的平行线 平行线之间的距离等于 h 根据等底等高面积相等的原理 则平行线与坐标轴的交 点即为所求的 D 点 从一次函数的观点来看 这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形 成 因此先求出直线 AC 的解析式 再求出平移距离 即可求得所作平行线的解析式 从而求得 D 点坐标 注意 这样的平行线有两条 如答图 1 所示 3 本问关键是理解 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 的含 义 因为过 A B 点作 x 轴的垂线 其与直线 l 的两个交点均可以与 A B 点构成直角三 角形 这样已经有符合题意的两个直角三角形 第三个直角三角形从直线与圆的位 置关系方面考虑 以 AB 为直径作圆 当直线与圆相切时 根据圆周角定理 切点与 A B 点构成直角三角形 从而问题得解 注意 这样的切线有两条 如答图 2 所示 解答 解 1 令 y 0 即 0 解得 x1 4 x2 2 A B 点的坐标为 A 4 0 B 2 0 2 S ACB AB OC 9 在 Rt AOC 中 AC 5 设 ACD 中 AC 边上的高为 h 则有 AC h 9 解得 h 如答图 1 在坐标平面内作直线平行于 AC 且到 AC 的距离 h 这样的直线有 2 条 分别是 l1和 l2 则直线与对称轴 x 1 的两个交点即为所求的点 D 设 l1交 y 轴于 E 过 C 作 CF l1于 F 则 CF h CE 设直线 AC 的解析式为 y kx b 将 A 4 0 B 0 3 坐标代入 得到 解得 直线 AC 解析式为 y x 3 直线 l1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位 个长度单位 而形成的 用心 爱心 专心13 直线 l1的解析式为 y x 3 x 则 D1的纵坐标为 1 D1 4 同理 直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2 可求得 D2 1 综上所述 D 点坐标为 D1 4 D2 1 3 如答图 2 以 AB 为直径作 F 圆心为 F 过 E 点作 F 的切线 这样的切线 有 2 条 连接 FM 过 M 作 MN x 轴于点 N A 4 0 B 2 0 F 1 0 F 半径 FM FB 3 又 FE 5 则在 Rt MEF 中 ME 4 sin MFE cos MFE 在 Rt FMN 中 MN MN sin MFE 3 FN MN cos MFE 3 则 ON M 点坐标为 直线 l 过 M E 4 0 设直线 l 的解析式为 y kx b 则有 解得 所以直线 l 的解析式为 y x 3 同理 可以求得另一条切线的解析式为 y x 3 综上所述 直线 l 的解析式为 y x 3 或 y x 3 用心 爱心 专心14 点评 本题解题关键是二次函数 一次函数以及圆等知识的综合运用 难点在于第 3 问 中对于 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 条件的理解 这可以 从直线与圆的位置关系方面入手解决 本题难度较大 需要同学们对所学知识融会 贯通 灵活运用 8 2012 丽水 24 在 ABC中 ABC 45 tan ACB 如图 把 ABC的一边BC放置在x轴上 有OB 14 OC AC与y轴交于点E 1 求AC所在直线的函数解析式 2 过点O作OG AC 垂足为G 求 OEG的面积 3 已知点F 10 0 在 ABC的边上取两点P Q 是否存在以O P Q为顶点的三角形 与 OFP全等 且这两个三角形在OP的异侧 若存在 请求出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 考点 一次函数综合题 分析 1 根据三角函数求E点坐标 运用待定系数法求解 2 在 Rt OGE中 运用三角函数和勾股定理求EG OG的长度 再计算面积 3 分两种情况讨论求解 点Q在AC上 点Q在AB上 求直线OP与直线AC的 用心 爱心 专心15 交点坐标即可 解答 解 1 在 Rt OCE 中 OE OCtan OCE 点 E 0 2 设直线AC的函数解析式为y kx 有 解得 k 直线AC的函数解析式为y 2 在 Rt OGE中 tan EOG tan OCE 设EG 3t OG 5t OE t 得 t 2 故EG 6 OG 10 S OEG 3 存在 当点Q在AC上时 点Q即为点G 如图 1 作 FOQ的角平分线交CE于点P1 由 OP1F OP1Q 则有P1F x轴 由于点P1在直线AC上 当x 10 时 y 点P1 10 当点Q在AB上时 如图 2 有OQ OF 作 FOQ的角平分线交CE于点P2 用心 爱心 专心16 过点Q作QH OB于点H 设OH a 则BH QH 14 a 在 Rt OQH中 a2 14 a 2 100 解得 a1 6 a2 8 Q 6 8 或Q 8 6 连接QF交OP2于点 M 当Q 6 8 时 则点 M 2 4 当Q 8 6 时 则点 M 1 3 设直线OP2的解析式为y kx 则 2k 4 k 2 y 2x 解方程组 得 P2 当Q 8 6 时 则点 M 1 3 同理可求P2 综上所述 满足条件的P点坐标为 10 或 或 点评 此题考查一次函数的综合应用 运用了分类讨论的数学思想方法 综合性强 难度 大 9 2012 铜仁 25 如图 已知 直线交 x 轴于点A 交 y 轴于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过3 xy A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 用心 爱心 专心17 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相3 xy 似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 解答 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 得方程组 2 yaxbxc 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图所示 用心 爱心 专心18 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 若 ABO ADP2 过点 P2作 P2 M x 轴于 M AD 4 ABO 为等腰三角形 ADP2是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 3 如图设点 E 则 x y 2 2 1 yyADS ADE 当 P1 1 4 时 S四边形 AP1CE S三角形 ACP1 S三角形 ACE 用心 爱心