2012年各地中考数学 压轴题精选21~30（解析版）

用心 爱心 专心1 20122012 年各地中考数学压轴题精选年各地中考数学压轴题精选 21 30 21 30 解析版解析版 21 2012 上海 24 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y ax2 6x c 的图象经过点 A 4 0 B 1 0 与 y 轴交于点 C 点 D 在线段 OC 上 OD t 点 E 在第二象限 ADE 90 tan DAE EF OD 垂足为 F 1 求这个二次函数的解析式 2 求线段 EF OF 的长 用含 t 的代数式表示 3 当 ECA OAC 时 求 t 的值 考点 相似三角形的判定与性质 待定系数法求二次函数解析式 全等三角形的判定与性 质 勾股定理 解答 解 1 二次函数 y ax2 6x c 的图象经过点 A 4 0 B 1 0 解得 这个二次函数的解析式为 y 2x2 6x 8 2 EFD EDA 90 DEF EDF 90 EDF ODA 90 DEF ODA EDF DAO EF t 同理 DF 2 OF t 2 3 抛物线的解析式为 y 2x2 6x 8 C 0 8 OC 8 如图 连接 EC AC 过 A 作 EC 的垂线交 CE 于 G 点 用心 爱心 专心2 ECA OAC OAC GCA 等角的余角相等 在 CAG 与 OCA 中 CAG OCA CG 4 AG OC 8 如图 过 E 点作 EM x 轴于点 M 则在 Rt AEM 中 EM OF t 2 AM OA AM OA EF 4 t 由勾股定理得 AE2 AM2 EM2 在 Rt AEG 中 由勾股定理得 EG 在 Rt ECF 中 EF t CF OC OF 10 t CE CG EG 4 由勾股定理得 EF2 CF2 CE2 即 解得 t1 10 不合题意 舍去 t2 6 t 6 用心 爱心 专心3 22 2012 广东 22 如图 抛物线 y x2 x 9 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 连接 BC AC 1 求 AB 和 OC 的长 2 点 E 从点 A 出发 沿 x 轴向点 B 运动 点 E 与点 A B 不重合 过点 E 作直线 l 平行 BC 交 AC 于点 D 设 AE 的长为 m ADE 的面积为 s 求 s 关于 m 的函数关系式 并写出 自变量 m 的取值范围 3 在 2 的条件下 连接 CE 求 CDE 面积的最大值 此时 求出以点 E 为圆心 与 BC 相切的圆的面积 结果保留 考点 二次函数综合题 解答 解 1 已知 抛物线 y x2 x 9 当 x 0 时 y 9 则 C 0 9 当 y 0 时 x2 x 9 0 得 x1 3 x2 6 则 A 3 0 B 6 0 AB 9 OC 9 2 ED BC AED ABC 2 即 2 得 s m2 0 m 9 3 S AEC AE OC m S AED s m2 则 S EDC S AEC S AED m2 m m 2 CDE 的最大面积为 此时 AE m BE AB AE 过 E 作 EF BC 于 F 则 Rt BEF Rt BCO 得 即 EF 用心 爱心 专心4 以 E 点为圆心 与 BC 相切的圆的面积 S E EF2 23 2012 嘉兴 24 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 是抛物线 y x2上的动点 点在第一象限内 连接 OP 过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q 连接 PQ 交 y 轴于点 M 作 PA 丄 x 轴于点 A QB 丄 x 轴于点 B 设点 P 的横坐标为 m 1 如图 1 当 m 时 求线段 OP 的长和 tan POM 的值 在 y 轴上找一点 C 使 OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形 求点 C 的坐标 2 如图 2 连接 AM BM 分别与 OP OQ 相交于点 D E 用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标 求证 四边形 ODME 是矩形 考点 二次函数综合题 解答 解 1 把 x 代入 y x2 得 y 2 P 2 OP PA 丄 x 轴 PA MO tan P0M tan 0PA 设 Q n n2 tan QOB tan POM n 用心 爱心 专心5 Q OQ 当 OQ OC 时 则 C1 0 C2 0 当 OQ CQ 时 则 C3 0 1 2 P m m2 设 Q n n2 APO BOQ 得 n Q 设直线 PO 的解析式为 y kx b 把 P m m2 Q 代入 得 解得 b 1 M 0 1 QBO MOA 90 QBO MOA MAO QOB QO MA 同理可证 EM OD 又 EOD 90 四边形 ODME 是矩形 24 2012 贵州安顺 26 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 OABC 的边长 OA OC 分别为 12cm 6cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A B 且 18a c 0 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm s 的速度向终点 B 移动 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm s 的速度向终点 C 移动 移动开始后第 t 秒时 设 PBQ 的面积为 S 试写出 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取得最大值时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平 行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 用心 爱心 专心6 考点 二次函数综合题 解答 解 1 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 由题意知点 A 0 12 所以 c 12 又 18a c 0 AB OC 且 AB 6 抛物线的对称轴是 b 4 所以抛物线的解析式为 2 0 t 6 当 t 3 时 S 取最大值为 9 这时点 P 的坐标 3 12 点 Q 坐标 6 6 若以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 有如下三种情况 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 下方时 点 R 的坐标 3 18 将 3 18 代入 抛物线的解析式中 满足解析式 所以存在 点 R 的坐标就是 3 18 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 3 6 将 3 6 代入抛 物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 当点 R 在 BQ 的右边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 9 6 将 9 6 代入抛 物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 综上所述 点 R 坐标为 3 18 用心 爱心 专心7 25 2012 资阳 25 抛物线的顶点在直线 y x 3 上 过点 F 2 2 的直线交该抛物线于点 M N 两点 点 M 在点 N 的左边 MA x 轴于点 A NB x 轴于点 B 1 先通过配方求抛物线的顶点坐标 坐标可用含 m 的代数式表示 再求 m 的值 2 设点 N 的横坐标为 a 试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标 并说明 NF NB 3 若射线 NM 交 x 轴于点 P 且 PA PB 求点 M 的坐标 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 分析 1 利用配方法将二次函数整理成顶点式即可 再利用点在直线上的性质得出答 案即可 2 首先利用点 N 在抛物线上 得出 N 点坐标 再利用勾股定理得出 NF2 NC2 FC2 进而得出 NF2 NB2 即可得出答案 3 求点 M 的坐标 需要先求出直线 PF 的解析式 首先由 2 的思路得出 MF MA 然后连接 AF FB 通过证明 PFA PBF 利用相关的比例线段将 PA PB 的值转化为 PF 的值 进而求出点 F 的坐标和直线 PF 的解析式 即可得解 解答 解 1 y x2 x m x 2 2 m 1 顶点坐标为 2 m 1 顶点在直线 y x 3 上 2 3 m 1 得 m 2 2 点 N 在抛物线上 点 N 的纵坐标为 a2 a 2 即点 N a a2 a 2 过点 F 作 FC NB 于点 C 在 Rt FCN 中 FC a 2 NC NB CB a2 a NF2 NC2 FC2 a2 a 2 a 2 2 a2 a 2 a2 4a 4 用心 爱心 专心8 而 NB2 a2 a 2 2 a2 a 2 a2 4a 4 NF2 NB2 NF NB 3 连接 AF BF 由 NF NB 得 NFB NBF 由 2 的结论知 MF MA MAF MFA MA x 轴 NB x 轴 MA NB AMF BNF 180 MAF 和 NFB 的内角总和为 360 2 MAF 2 NBF 180 MAF NBF 90 MAB NBA 180 FBA FAB 90 又 FAB MAF 90 FBA MAF MFA 又 FPA BPF PFA PBF PF2 PA PB 过点 F 作 FG x 轴于点 G 在 Rt PFG 中 PG PO PG GO P 0 设直线 PF y kx b 把点 F 2 2 点 P 0 代入 y kx b 解得 k b 直线 PF y x 解方程 x2 x 2 x 得 x 3 或 x 2 不合题意 舍去 当 x 3 时 y M 3 用心 爱心 专心9 点评 考查了二次函数综合题 在该二次函数综合题中 融入了勾股定理 相似三角形等 重点知识 3 题通过构建相似三角形将 PA PB 转化为 PF 的值是解题的关键 也 是该题的难点 26 2012 德州 23 如图所示 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为正方形 AD 边上的一点 不 与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 连接 BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点 P 在边 AD 上移动时 PDH 的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设 AP 为 x 四边形 EFGP 的面积为 S 求出 S 与 x 的函数关系式 试问 S 是否存在最 小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 考点 翻折变换 折叠问题 二次函数的最值 全等三角形的判定与性质 正方形的性 质 分析 1 根据翻折变换的性质得出 PBC BPH 进而利用平行线的性质得出 APB PBC 即可得出答案 2 首先证明 ABP QBP 进而得出 BCH BQH 即可得出 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 利用已知得出 EFM BPA 进而利用在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 利 用二次函数的最值求出即可 解答 1 解 如图 1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 用心 爱心 专心10 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD 的周长不变为定值 8 证明 如图 2 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD 的周长为 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 如图 3 过 F 作 FM AB 垂足为 M 则 FM BC AB 又 EF 为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 EFM BPA EM AP x 在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 解得 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 即 配方得 当 x 2 时 S 有最小值 6 用心 爱心 专心11 点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理 二次函 数的最值问题等知识 熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键 27 2012 湘潭 26 如图 抛物线的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 已知 B 点坐标为 4 0 1 求抛物线的解析式 2 试探究 ABC 的外接圆的圆心位置 并求出圆心坐标 3 若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点 求 MBC 的面积的最大值 并求出此时 M 点 的坐标 用心 爱心 专心12 考点 二次函数综合题 专题 转化思想 分析 1 该函数解析式只有一个待定系数 只需将 B 点坐标代入解析式中即可 2 首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标 然后通过证明 ABC 是直角三角形来 推导出直径 AB 和圆心的位置 由此确定圆心坐标 3 MBC 的面积可由 S MBC BC h 表示 若要它的面积最大 需要使 h 取最大值 即点 M 到直线 BC 的距离最大 若设一条平行于 BC 的直线 那么当该直线与抛物线 有且只有一个交点时 该交点就是点 M 解答 解 1 将 B 4 0 代入抛物线的解析式中 得 0 16a 4 2 即 a 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 由 1 的函数解析式可求得 A 1 0 C 0 2 OA 1 OC 2 OB 4 即 OC2 OA OB 又 OC AB OAC OCB 得 OCA OBC ACB OCA OCB OBC OCB 90 ABC 为直角三角形 AB 为 ABC 外接圆的直径 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点 且坐标为 0 3 已求得 B 4 0 C 0 2 可得直线 BC 的解析式为 y x 2 设直线 l BC 则该直线的解析式可表示为 y x b 当直线 l 与抛物线只有一个交 点时 可列方程 x b x2 x 2 即 x2 2x 2 b 0 且 0 4 4 2 b 0 即 b 4 直线 l y x 4 由于 S MBC BC h 当 h 最大 即点 M 到直线 BC 的距离最远 时 ABC 的面积最 大 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点 有 解得 即 M 2 3 点评 考查了二次函数综合题 该题的难度不算太大 但用到的琐碎知识点较多 综合性 很强 熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键 用心 爱心 专心13 28 2012 济宁 23 如图 抛物线 y ax2 bx 4 与 x 轴交于 A 4 0 B 2 0 两点 与 y 轴交于点 C 点 P 是线段 AB 上一动点 端点除外 过点 P 作 PD AC 交 BC 于点 D 连接 CP 1 求该抛物线的解析式 2 当动点 P 运动到何处时 BP2 BD BC 3 当 PCD 的面积最大时 求点 P 的坐标 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 转化思想 分析 1 该抛物线的解析式中有两个待定系数 只需将点 A B 的坐标代入解析式中求 解即可 2 首先设出点 P 的坐标 由 PD AC 得到 BPD BAC 通过比例线段可表示出 BD 的长 BC 的长易得 根据题干给出的条件 BP2 BD BC 即可求出点 P 的坐标 3 由于 PD AC 根据相似三角形 BPD BAC 的面积比 可表示出 BPD 的面 积 以 BP 为底 OC 为高 易表示出 BPC 的面积 BPC BPD 的面积差为 PDC 的面积 通过所列二次函数的性质 即可确定点 P 的坐标 解答 解 1 由题意 得 解得 抛物线的解析式为 y x 4 2 设点 P 运动到点 x 0 时 有 BP2 BD BC 令 x 0 时 则 y 4 点 C 的坐标为 0 4 PD AC BPD BAC BC 用心 爱心 专心14 AB 6 BP x 2 x 2 BD BP2 BD BC x 2 2 解得 x1 x2 2 2 不合题意 舍去 点 P 的坐标是 0 即当点 P 运动到 0 时 BP2 BD BC 3 BPD BAC S BPC x 2 4 当 x 1 时 S BPC有最大值为 3 即点 P 的坐标为 1 0 时 PDC 的面积最大 点评 该题综合了相似三角形 图形面积的求法等知识 难度系数大 3 题中 将所求 三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在 29 2012 德阳 用心 爱心 专心15 24 在平面直角坐标 xOy 中 如图 正方形 OABC 的边长为 4 边 OA 在 x 轴的正半轴上 边 OC 在 y 轴的正半轴上 点 D 是 OC 的中点 BE DB 交 x 轴于点 E 1 求经过点 D B E 的抛物线的解析式 2 将 DBE 绕点 B 旋转一定的角度后 边 BE 交线段 OA 于点 F 边 BD 交 y 轴于点 G 交 1 中的抛物线于 M 不与点 B 重合 如果点 M 的横坐标为 那么结论 OF DG 能成 立吗 请说明理由 3 过 2 中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P 交 1 中的抛物线在第一象限的部分于 点 Q 且使 PFE 为等腰三角形 求 Q 点的坐标 考点 二次函数综合题 分析 1 本题关键是求得 E 点坐标 然后利用待定系数法求抛物线解析式 如题图 可以证明 BCD BAE 则 AE CD 从而得到 E 点坐标 2 首先求出 M 点坐标 然后利用待定系数法求直线 MB 的解析式 令 x 0 求得 G 点坐标 进而得到线段 CG DG 的长度 由 BCG BAF 可得 AF CG 从而求得 OF 的长度 比较 OF 与 DG 的长度 它们满足 OF DG 的关系 所以结论成立 3 本问关键在于分类讨论 PFE 为等腰三角形 如解答图所示 可能有三种情 况 需逐一讨论并求解 解答 解 1 BE DB 交 x 轴于点 E OABC 是正方形 DBC EBA 在 BCD 与 BAE 中 BCD BAE AE CD OABC 是正方形 OA 4 D 是 OC 的中点 A 4 0 B 4 4 C 0 4 D 0 2 E 6 0 设过点 D 0 2 B 4 4 E 6 0 的抛物线解析式为 y ax2 bx c 则有 用心 爱心 专心16 解得 经过点 D B E 的抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 结论 OF DG 能成立 理由如下 由题意 当 DBE 绕点 B 旋转一定的角度后 同理可证得 BCG BAF AF CG xM yM xM2 xM 2 M 设直线 MB 的解析式为 yMB kx b M B 4 4 解得 yMB x 6 G 0 6 CG 2 DG 4 AF CG 2 OF OA AF 2 F 2 0 OF 2 DG 4 结论 OF DG 成立 3 如图 PFE 为等腰三角形 可能有三种情况 分类讨论如下 若 PF FE FE 4 BC 与 OA 平行线之间距离为 4 此时 P 点位于射线 CB 上 F 2 0 P 2 4 此时直线 FP x 轴 xQ 2 yQ xQ2 xQ 2 Q1 2 用心 爱心 专心17 若 PF PE 如图所示 AF AE 2 BA FE BEF 为等腰三角形 此时点 P Q 与点 B 重合 Q2 4 4 若 PE EF FE 4 BC 与 OA 平行线之间距离为 4 此时 P 点位于射线 CB 上 E 6 0 P 6 4 设直线 yPF的解析式为 yPF kx b F 2 0 P 6 4 解得 yPF x 2 Q 点既在直线 PF 上 也在抛物线上 x2 x 2 x 2 化简得 5x2 14x 48 0 解得 x1 x2 2 不合题意 舍去 xQ 2 yQ xQ 2 2 Q3 综上所述 Q 点的坐标为 Q1 2 或 Q2 4 4 或 Q3 点评 本题是二次函数综合题 考查了二次函数的图象与性质 待定系数法求二次函数的 解析式 待定系数法求一次函数解析式 解一元二次方程 全等三角形的判定与性 质以及等腰三角形性质等知识点 考查内容涉及初中数学代数与几何的多个重要知 用心 爱心 专心18 识点 难度较大 本题第 3 问需要针对等腰三角形 PFE 的三种可能情况进行分 类讨论 避免漏解 30 2012 无锡 26 如图 1 A D 分别在 x 轴和 y 轴上 CD x 轴 BC y 轴 点 P 从 D 点出发 以 1cm s 的速度 沿五边形 OABCD 的边匀速运动一周 记顺次连接 P O D 三点所围成图形的面积 为 Scm2 点 P 运动的时间为 ts 已知 S 与 t 之间的函数