2010年高考广东省数学试卷-理科(含详细答案)

绝密绝密 启用前启用前 试卷类型 试卷类型 A 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 广东 数学 理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横 贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂 改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 若集合 21Axx 02Bxx 则集合AB I A 11xx B 21xx C 22xx D 01xx 2 若复数 1 1zi 2 3zi 则 12 zz A 4 B 2 i C 2 2 i D 3 3 若函数 33 xx f x 与 33 xx g x 的定义域均为 R 则 A f x与 g x均为偶函数 B f x为奇函数 g x为偶函数 C f x与 g x均为奇函数 D f x为偶函数 g x为奇函数 4 已知数列 n a为等比数列 n S是是它的前 n 项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的等差 中项为 5 4 则 5 S A 35 B 33 C 3l D 29 5 1 4 m 是 一元二次方程 2 0 xxm 有实数解 的 A 充分非必要条件 B 充分必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 6 如图 1 ABCV为正三角形 AABBCC CC 平面ABC 3 2 BB 且3AA CCAB 则多面体 ABCABC 的正视图 也称主视图 是 7 已知随机变量X服从正态分布 3 1 N 且 24 0 6826PX 则 4 P X A 0 1588 B 0 1587 C 0 1586 D 0 1585 8 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装 5 个彩灯 它们闪亮的顺序不固定 每个彩 灯闪亮只能是红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同 记 这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟有且只有一个彩灯闪亮 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪烁 那么需要的时间至少 是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 2 2 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 1 必做题 9 13 题 9 函数 lg 2 f xx 的定义域是 10 若向量 1 1 ax r 1 2 1 b r 1 1 1 c r 满足条件 2 2cab rrr 则x 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 12 若圆心在x轴上 半径为2的圆O位于y轴 左侧 且与直线0 xy 相切 则圆O的方程是 13 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管理办法 对全市居民某年的月均用水量进 行了抽样调查 其中n位居民的月均用水量分别为 1 n xxL 单位 吨 根据图 2 所示的 程序框图 若2n 且 1 x 2 x分别为 1 2 则输出的结果s为 2 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 3 AB CD是半径为a的 圆O的两条弦 他们相交于 AB 的中点 P 2 3 a PD 30OAP 则CP 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 02 中 曲线2sin 与cos1 的交点 的极坐标为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 l4 分 已知函数 sin 3 0 0 f xAxAx 在 12 x 时取得最大 值 4 1 求 f x的最小正周期 2 求 f x的解析式 3 若 212 3125 f 求sin 17 本小题满分 12 分 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出 它们的重量 单位 克 重量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此得到 样本的频率分布直方图 如图 4 所示 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的产品数量 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量 求 Y 的分布列 3 从流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 D O P A B C 图 3 18 本小题满分 14 分 如图 5 AEC是半径为a的半圆 AC为直径 点E为 AC的中点 点B和点C为 线段AD的三等分点 平面AEC外一点F满足5FBFDa 6EFa 1 证明 EBFD 2 已知点 Q R为线段 FE FB上的点 2 3 FQFE 2 3 FRFB 求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值 19 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的 碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳 水化合物 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中 至少含 64 个单位的碳水化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 20 本小题满分 14 分 已知双曲线 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为 12 A A 点 11 P x y 11 Q xy 是双曲 线上不同的两个动点 1 求直线 1 A P与 2 A Q交点的轨迹E的方程 2 若过点 0 1 Hh h 的两条直线 1 l和 2 l与轨迹E都只有一个交点 且 12 ll 求 h的值 21 本小题满分 14 分 设 11 A x y 22 B xy是平面直角坐标系xOy上的两点 现定义由点A到点B的一 种折线距离 A B 为 2121 A Bxxyy 对于平面xOy上给定的不同的两点 11 A x y 22 B xy 1 若点 C x y是平面xOy上的点 试证明 A CC BA B 2 在平面xOy上是否存在点 C x y 同时满足 A CC BA B A CC B 若存在 请求出所有符合条件的点 请予以证明 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 1 D 解析 21 02 01 ABxxxxxx II 2 A 解析 12 1 3 1 3 1 1 3 1 42zziiii 3 B 解析 33 33 xxxx fxf x gxg x 4 C 解析 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 74 15 2 24 aa 1 4 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 1 16a 5 5 1 16 1 2 31 1 1 2 S 5 A 解析 由 2 0 xxm 知 2 11 4 0 24 m x 1 4 m 或由0 得1 40m 1 4 m 1 4 m 1 4 m 反之不成立 故选 A 6 D 7 B 解析 11 4 1 24 1 0 6826 0 1587 22 P XPX 8 C 解析 共有 5 120 个不同的闪烁 每个闪烁时间为 5 秒 共 5 120 600 秒 每 两个闪烁之间的间隔为 5 秒 共 5 120 1 595 秒 那么需要的时间至少是 600 595 1195 秒 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分分 9 2 解析 由20 x 得2x 所以函数的定义域为 2 10 2 解析 0 0 1 cax vv 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx vvv 解得2x 11 1 解析 由 A C 2B 及 A B C 180 知 B 60 由正弦定理知 13 sinsin60A 即 1 sin 2 A 由ab 知 60AB 则 30A 180CAB o 90 o 于是sinsin901C 12 22 2 2xy 解析 设圆心为 0 0 aa 则 22 2 0 2 11 a r 解得 2a 13 1 4 14 9 8 a 解析 因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OPAB 在Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa 由相交弦定理知 BP APCP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 15 3 2 4 解法解法 1 两条曲线的普通方程分别为 22 2 1xyy x 解得 1 1 x y 由 cos sin x y 得点 1 1 的极坐标为 3 2 4 解法解法 2 由 2sin cos1 得 1 sin2 2 02 024 Q 3 2 2 或 3 22 2 3 4 或 7 4 舍 从而2 交点坐标为 3 2 4 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程分 解答须写出文字说明 证明过程 和演算步骤和演算步骤 D O P A B C 3 sin 2 25 3 cos2 5 2 3 12sin 5 2 1 sin 5 5 sin 5 17 1 重量超过 505 克的产品数量是 40 0 05 50 01 5 12 件 2 Y 的所有可能取值为 0 1 2 2 28 2 40 63 0 130 C P Y C 11 1228 2 40 56 1 130 C C P Y C 2 12 2 40 11 1 130 C P Y C Y 的分布列为 3 从流水线上任取 5 件产品 恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为 23 1228 5 40 12 1128 27 26 21 11231 2 13 2 1 40 39 38 37 36 37 19703 5 4 3 2 1 C C C 18 1 证明 连结CF 因为 AEC是半径为a的半圆 AC为直径 点E为 AC的中 点 所以EBAC 在RT BCE 中 2222 2ECBCBEaaa 在BDF 中 5BFDFa BDF 为等腰三角形 且点C是底边BD的中点 故CFBD Y012 P 63 130 56 130 11 130 在CEF 中 222222 2 2 6CECFaaaEF 所以CEF 为Rt 且 CFEC 因为CFBD CFEC 且CEBDC I 所以CF 平面BED 而EB 平面BED CFEB 因为EBAC EBCF 且ACCFC I 所以EB 平面BDF 而FD 平面BDF EBFD 2 设平面BED与平面 RQD 的交线为DG 由 2 3 FQFE 2 3 FRFB 知 QREB 而EB 平面BDE QR平面BDE 而平面BDEI平面RQD DG QRDGEB 由 1 知 BE 平面BDF DG 平面 BDF 而 DR DB 平面BDF DGDR DGDQ RDB 是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角 在Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 在BDR 中 由 2 3 FRFB 知 15 33 a BRFB 由余弦定理得 22 2cosRDBDBRBD BRRBD 22 55129 2 2 2 3335 aa aaa 由正弦定理得 sinsin BRRD RDBRBD 即 529 33 2 sin 5 aa RDB 3x 2y 1 6 x y 7 3x 5y 27 A B C 2 5x 4y 0 O y x 2 29 sin 29 RDB 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为 2 29 29 9 解 设为该儿童分别预订 x y个单位的午餐和晚餐 共花费z元 则2 54zxy 且满足以下条件 0 54106 4266 64812 yx yx yx yx 即 0 2753 7 1623 yx yx yx yx 作直线 2 540lxy 平移直线l至 0 l 当 0 l 经过 C 点时 可使z达到最小值 由 3 4 7 2753 y x yx yx 即 4 3 C 此时2 5 44 322z 答 午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位 花费最少 z 22 元 20 1 解 由 12 A A为双曲线的左右顶点知 12 2 0 2 0 AA 1 1 1 2 2 y AP yx x 1 2 1 2 2 y A Q yx x 两式相乘 2 22 1 2 1 2 2 y yx x 因为点 11 P x y在双曲线上 所以 2 2 1 1 1 2 x y 即 2 1 2 1 1 22 y x 故 22 1 2 2 yx 所以 2 2 1 2 x y 即直线 1 A P与 2 A Q交点的轨迹E的方程为 2 2 1 2 x y 2 解法解法 1 设 1 lykxh 则由 12 ll 知 2 1 lyxh k 将 1 lykxh 代入 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x kxh 即 222 12 4220kxkhxh 由 1 l与 E 只有一个交点知 2222 164 12 22 0k hkh 即 22 12kh 同理 由 2 l与 E 只有一个交点知 2 2 1 12h k 消去 2 h得 2 2 1 k k 即 2 1k 从而 来 22 123hk 又1h Q 3 h 解法解法 2 由题意