2011年高考数学第二轮复习 解析几何教学案

用心 爱心 专心1 20112011 年高考第二轮专题复习 教学案 解析几何年高考第二轮专题复习 教学案 解析几何 第 1 课时 直线与圆 考纲指要 考纲指要 直线方程考察的重点是直线方程的特征值 主要是直线的斜率 截距 有关问题 以 及直线间的平行和垂直的条件 与距离有关的问题 圆的方程 从轨迹角度讲 尤其是参数问题 在对参数的讨论中确定圆的方程 能借 助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系 特别是弦长问题 考点扫描 考点扫描 1 直线方程 1 倾斜角 2 斜率 3 直线方程的五种形式 2 圆的方程 1 圆的标准方程 2 圆的一般方程 3 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 4 根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 考题先知 考题先知 例例 1 1 某校一年级为配合素质教育 利用一间教室作为学生绘画成果展览室 为节约 经费 他们利用课桌作为展台 将装画的镜框放置桌上 斜靠展出 已知镜框对桌面的倾 斜角为 90 180 镜框中 画的上 下边缘与镜框下边缘分别相距a m b m a b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳 分析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 欲使看画的效果最佳 应使 ACB 取最大值 欲求角的最值 又需求角的一个 三角函数值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 建立如图所示的直角坐标系 AO 为镜框边 AB为画的宽度 O 为下边缘上的一点 在x轴的正半轴上找一点C x 0 x 0 欲使看画 的效果最佳 应使 ACB取得最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由三角函数的定义知 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A B 两点坐标分别为 acos asin bcos bsin 于是直线AC BC的斜率分别为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 kAC tanXCA xa a cos sin cos sin tan xb b XCBkBC 于是 tanACB ACBC ACBC kk kk 1 cos sin cos sin 2 bax x ab ba xxbaab xba 由于 ACB为锐角 且x 0 则 tanACB cos 2 sin baab ba 当且仅当 x ab x 即x ab时 等号成立 此时 ACB取最大值 对应的点为C ab 0 因此 学生距离镜框下缘ab cm 处时 视角最大 即看画效果最佳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 解决本题有几处至关重要 一是建立恰当的坐标系 使问题转化成解析几何问 C B A o y x 用心 爱心 专心2 题求解 二是把问题进一步转化成求 tanACB的最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 如果坐标系选择不当 或选择求 sinACB的最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 都将使问题变得复杂起来 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 2 2 设点A和B为抛物线 y2 4px p 0 上原点以外的两个动点 已知OA OB OM AB 求点M的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析 将动点的坐标x y用其他相关的量表示出来 然后再消掉这些量 从而就建立了 关于x y的关系 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 A x1 y1 B x2 y2 M x y x 0 直线AB的方程为x my a 由OM AB 得m y x 由y2 4px及x my a 消去x 得y2 4pmy 4pa 0 所以y1y2 4pa x1x2 2 2 12 2 4 y y a p 所以 由OA OB 得x1x2 y1y2 所以 2 44apaap 故x my 4p 用m y x 代入 得x2 y2 4px 0 x 0 故动点M的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 它表示以 2p 0 为圆心 以 2p为半径的 圆 去掉坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 OA 的方程为 ykx 代入y2 4px 得 2 22 pp A kk 则 OB 的方程为 1 yx k 代入y2 4px 得 2 2 2 Bpkpk AB 的方程为 2 2 1 k yxp k 过定点 2 0 Np 由OM AB 得 M 在以 ON 为直径的圆上 O 点除外 故动点M的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 它表示以 2p 0 为圆心 以 2p为半径的 圆 去掉坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法三 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 M x y x 0 OA 的方程为ykx 代入y2 4px 得 2 22 pp A kk 则 OB 的方程为 1 yx k 代入y2 4px 得 2 2 2 Bpkpk 由OM AB 得 M 既在以 OA 为直径的圆 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22 2 22 0 pp xyxy kk 上 又在以 OB 为直径的圆 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 222 220 xypk xpky 上 O 点除外 2 k 得 x2 y2 4px 0 x 0 N A M B o y x 用心 爱心 专心3 故动点M的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 它表示以 2p 0 为圆心 以 2p为半径的圆 去掉坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 本题主要考查 参数法 求曲线的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 时 注意对 x1 x2 的讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 复习智略 复习智略 例例 3 3 抛物线有光学性质 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线对称 轴的方向射出 今有抛物线y2 2px p 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 一光源在点M 4 41 4 处 由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向 抛物线上的点P 折射后又射向抛物线上的点Q 再折射后 又沿平行于抛物线的轴的方向射出 途中遇到直线l 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2x 4y 17 0 上的点N 再折射后又射回点M 如下图所示 1 设P Q两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y1 y2 p2 2 求抛物线的方程 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点M关于PN所在的直线对称 若存在 请求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析 本题考查学生对韦达定理 点关于直线对称 直线关于直线对称 直线的点斜 式方程 两点式方程等知识的掌握程度 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由抛物线的光学性质及题意知 光线PQ必过抛物线的焦点F 2 p 0 设直线PQ的方程为y k x 2 p 由 式得x k 1 y 2 p 将其代入抛物线方程y2 2px中 整理 得y2 k p2 y p2 0 由韦 达定理 y1y2 p2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当直线PQ的斜率角为 90 时 将x 2 p 代入抛物线方程 得y p 同样得到 y1 y2 p2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因为光线 QN经直线l反射后又射向M点 所以直线MN与直线QN关于直线l 对称 设点M 4 41 4 关于l的对称点为M x y 则 017 2 4 4 2 4 41 2 1 2 1 4 41 4 y x x y 解得 1 4 51 y x 直线QN的方程为y 1 Q点的纵坐标y2 1 由题设P点的纵坐标y1 4 且由 1 知 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y 1 y2 p2 则 4 1 p2 得p 2 故所求抛物线方程为y2 4x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y2 2px 2x 4y 17 0 Q M 41 4 4 N P o y x 用心 爱心 专心4 3 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 将 y 4 代入y2 4x 得x 4 故P点坐标为 4 4 将y 1 代入直线l的方程为 2x 4y 17 0 得x 2 13 故N点坐标为 2 13 1 由P N两点坐标得直线PN的方程为 2x y 12 0 设M点关于直线NP的对称点M1 x1 y1 1 4 1 012 2 4 2 4 41 2 1 2 4 41 4 1 1 1 1 1 1 y x y x x y 解得则 又M1 4 1 1 的坐标是抛物线方程y2 4x的解 故抛物线上存在一点 4 1 1 与点M 关于直线PN对称 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 在证明第 1 问题 注意讨论直线PQ的斜率不存在时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点关于直线对称是解决 第 2 第 3 问的关键 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 检测评估 检测评估 1 若直线02 cyx按向量 1 1 a 平移后与圆5 22 yx相切 则c的值为 A 8或2 B 6或4 C 4或6 D 2或8 2 如右图 定圆半径为a 圆心为 cb 则直线 0axbyc 与直线01 yx的交点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 在直角坐标系xOy中 已知 AOB三边所在直线的方程分别为 x 0 y 0 2x 3y 30 则 AOB内部和边上整点 即横 纵坐标均为整数 的点 的总数是 A 95 B 91 C 88 D 75 4 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线480 xy 垂直 则l的方程为 A 430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 5 直线3x y 23 0 截圆x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角为 O y x 用心 爱心 专心5 A 6 B 4 C 3 D 2 6 若圆 22 44100 xyxy 上至少有三个不同点到直线l 0axby 的距离为2 2 则 直线l的倾斜角的取值范围是 7 过点4 1 1 2 1 22 yxClM与圆的直线交于A B两点 C为圆心 当 ACB 最小时 直线l的方程为 8 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上 且相距 10 m 如果把两旗杆底部的坐标 分别确定为A 5 0 B 5 0 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 在等差数列 n a中 1 a为首项 n S是其前n项的和 将 1 2 n n aa n S 整理为 1 11 22 n n S aa n 后可知 点 12 1122 12 n nn SSS P aP aP a n n是正整数 都在直线 1 11 22 yxa 上 类似地 若 n a是首项为 1 a 公比为 1 q q 的等比数列 则点 111222 nnn P a SP a SP a S n是正整数 在直线 上 10 实数 x y满足 22 5xy 且0 x 3 1 y M x 那么M的最小值为 11 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设数列 an 的前 n项和Sn na n n 1 b n 1 2 a b是常数且b 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a n 是等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 以 a n n Sn 1 为坐标的点Pn n 1 2 都落在同一条直线上 并写出此直线 的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 设a 1 b 2 1 C是以 r r 为圆心 r为半径的圆 r 0 求使得点P1 P2 P3都落 在圆C外时 r的取值范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱 检测一个直径为 3 cm 的圆柱 为保证质量 有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱 问这两个标准圆柱的 直径为多少 点拨与全解 点拨与全解 1 因平移后的直线0 1 1 2 cyx 即032 cyx 由圆心到直线之距公 式得5 5 3 c 得2 8 c 选 A 用心 爱心 专心6 2 从图知0 0 0 cba 且caba 两直线交点为 ba ca ba bc 选 C 3 解 由y 10 3 2 x 0 x 15 x N N 转化为求满足不等式 y 10 3 2 x 0 x 15 x N N 所有整数y的值 然后再求其总数 令x 0 y有 11 个整数 x 1 y有 10 个 x 2 或x 3 时 y分别有 9 个 x 4 时 y有 8 个 x 5 或 6 时 y分别有 7 个 类推 x 13 时y有 2 个 x 14 或 15 时 y分别有 1 个 共 91 个整点 故选B 4 解 与直线480 xy 垂直的直线l为40 xym 即 4 yx 在某一点的导数为 4 而 3 4yx 所以 4 yx 在 1 1 处导数为 4 此点的切线为430 xy 故选A 5 解析 如图所示 由 4 0323 22 yx yx 消y得 x2 3x 2 0 x1 2 x2 1 A 2 0 B 1 3 AB 22 30 12 2 又 OB OA 2 AOB是等边三角形 AOB 3 故选C 6 解 圆方程化为18 2 2 22 yx 所以由2 22 22 ba ba 得 3232 b a 所以直线l的倾斜角的取值范围是 5 12 12 7 解 可证当 CM AB 时 ACB最小 从而直线方程 2 1 10 2 1 1 1 xy 即 0342 yx 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 P x y 依题意有 2222 5 3 5 5 yxyx 化简得P点轨迹方程为 4x2 4y2 85x 100 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 由等比数列的求和公式得 q qaa S n n 1 1 所以在直线 q a x q q y 11 1 上 图 用心 爱心 专心7 10 解 M 表示定点 1 3 与圆周上的点连线的斜率 设连线方程为 1 3 xky 当5 1 3 2 k k 时 即 2 1 k时M有最小值 1 2 11 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由条件 得 a1 S1 a 当n 2 时 有an Sn Sn 1 na n n 1 b n 1 a n 1 n 2 b a 2 n 1 b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因此 当n 2 时 有an an 1 a 2 n 1 b a 2 n 2 b 2b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所以 an 是以a为首项 2b为公差的等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 b 0 对于 n 2 有 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 bn bn abna a a bnnna aa S n S n n 所有的点Pn an n Sn 1 n 1 2 都落在通过P1 a a 1 且以 2 1 为斜率的直线上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 此 直线方程为y a 1 2 1 x a 即x 2y a 2 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 a 1 b 2 1 时 Pn的坐标为 n 2 2 n 使P1 1 0 P2 2 2 1 P3 3 1 都落在圆 C外的条件是 222 222 222 1 3 2 1 1 1 rrr rrr rrr 2 2 2 1 0 17 50 4 8100 r rr rr 即 由不等式 得r 1 由不等式 得r 2 5 2或r 2 5 2 由不等式 得r 4 6或r 4 6 再注意到r 0 1 2 5 2 4 6 2 5 2 4 6 故使P1 P2 P3都落在圆C外时 r的取值范围是 0 1 1 2 5 2 4 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设直径为 3 2 1 的三圆圆心分别为 O A B 问题转化为求两等圆P Q 使它们与 O相内切 与 A B相外切 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 建立如图所示的坐标系 并设 P的半径为r 则 PA PO 1 r 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 r 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 点P在以A O为焦点 长轴长 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 的椭圆上 其方程为 3 2 25 4 1 16 2 2 y x 1 同理P也在以O B为焦点 长轴长为 2 的椭圆上 其方程为 Q P BA o y x 用心 爱心 专心8 x 2 1 2 3 4 y2 1 由 可解得 14 12 14 9 14 12 14 9 QP r 7 3 14 12 14 9 2 3 22 故所求圆柱的直径为 7 6 cm 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 第 2 课时 圆锥曲线 考纲指要 考纲指要 圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例 主要考察圆锥曲线的基本概念 标准 方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能 基本方法 考点扫描 考点扫描 1 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几何图形及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 4 通过圆锥曲线与方程的学习 进一步体会数形结合的思想 5 掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题 考题先知 考题先知 例 1 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 上有一个点 P F1 F2为该双曲线的两个焦点 F1PF2 90 且 F1PF2的三条边长成等差数列 则此双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 4 D 5 分析 根据题中条件 列出关于cba 之间的等量关系 再求离心率 用心 爱心 专心9 解 由题意知 aPFPF cPFPF cPFPF 2 4 22 12 2 2 2 2 1 12 222 4 42 22 cacac 从而 5 a c e 故选 D 点评 上述题型在高考中常出现于选择与填空题中 考查学生对基本概念的掌握程度 例 2 已知抛物线 0 2 2 ppxy上有两点 A B 关于点 M 2 2 对称 1 求p的取值范围 2 当2 p时 该抛物线上是否存在两点 C D 且 A B C D 四点共圆 若存在 求出此圆的方程 若不存在 请说明理由 分析 在回答 是否存在 这类问题时 常可以先假设存在 然后从假设出发 只需找到 一个符合条件的情况 即可说明其存在 找 的过程 常从特殊情形入手 解 1 设 11 yxA 22 yxB是抛物线上关于点 M 2 2 对称的两点 则 pxxpyyyyxx8 2 4 4 21 2 2 2 12121 所以pyy48 21 从而可设 21 y y是方程0484 2 pyy的两个不等实根 由0 48 416 p 得1 p 2 解法一 12 p 抛物线上存在两点 11 yxA 22 yxB关于 M 2 2 对称 048 4 2121 pyyyy 4 0 21 yy 抛物线的方程为xy4 2 则 A 0 0 B 4 4 直线 AB 的方程为xy 线段 AB 的中垂线方程为 2 2 xy即4 xy 代入xy4 2 整理得 即01612 2 xx 由 0164122 可知线段 AB 的中垂线定与抛物线交于两点 不妨设此两点为 4433 yx DyxC 12 33 yx 4 44 yx CD 的中点 N 坐标为 6 2 满足102 2 1 CDBNAN A B 两点在以 CD 为直径的圆上 存在 A B C D 四点共圆 且圆的方程为40 2 6 22 yx 解法二 4 4 0 0 BA 线段 AB 的中垂线方程为4 xy 可设圆心 y xNO A B C D 用心 爱心 专心10 4 aa 22 4 aar 圆的方程为 2222 4 aaayax 将 4 2 y x 代入圆的方程 整理得 0 4 32 816 24 ayay 0 8324 4 2 ayyyy 4 0 21 yy或 08324 2 ayy 08324 2 ayy应有除4 0 21 yy以外的两根 0 832 416 p 0832444 0832 2 aa 2 7 a 且8 4 aa 所以存在 2 7 a 且 8 4 aa的无数个圆 2222 4 aaayax 满足条件 解法三 点 4433 yx DyxC为圆与抛物线的交点 由解法 2 知 3 y 4 y是 方程08324 2 ayy的两根 4 43 yy 4 43 2 4 2 3 xxyy 4 434343 xxyyyy 1 4 4343 43 yyxx yy kCD 直线 CD 为一组斜 率为1 的平行线 图 2 设直线 CD 在y轴上的截距为b 则直线 CD 的方程为 bxy 代入抛物线 xy4 2 中 得0 42 22 bbx 016164 42 22 bbb 1 b 此时线段 CD 的中点为 2 2 b 线段 CD 的中垂线为 2 2 bxy与线 段 AB 的中垂线4 xy的交点为圆心 2 2 4 bb 当1 b时满足横坐标 2 7 2 4 b 由4 2 4 b 8 2 4 b 得8 0 bb 当8 0 bb时 点 C 或点 D 与点 A 或点 B 重合 直线 CD 可为斜率为1 的一组的平行线 其在y轴上的截距大于1 不等于 0 或 8 弦 CD 的中点在直线2 y上 点评 解法 1 是通过寻找问题的特殊情况求解 表面看来 此题也已答完 通过解法 2 使我们找到了求解问题的一般方法 实现了从特殊到一般的飞跃 解法 3 对问题的进一 步挖掘 深化 使得直线 抛物线 圆三者的相对位置更加清晰 明朗 复习智略 复习智略 例 3 给定椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 ammmM 是x轴上的一个 y xNO A B C D D C 用心 爱心 专心11 定点 直线l m a x 2 过 M 任意引一条直线与椭圆交于 A B 两点 A B 在l上的射影 分别为 A B 在x轴上的射影分别为 A B 则 BB BB AA AA 证明 根据椭圆的对称性 只需证0 m情形 1 若0 ma 如图 1 设 2211 yxByxA 不妨设 0 1 y 则0 2 y 又设直线 AB 的方程为mnyx 代入椭圆方程消 去x整理得0 2 22222222 ambmnybynba 于是 222 2 21 2 nba mnb yy 222 222 21 nba amb yy 所以 12211221 ymnyymnyyxyx 2 2121 yymyny 2 2 222 2 222 222 nba mnb m nba amb n 222 22 2 nba nba 21 2 yy m a 又因为 AABBBBAA 2 12 2 21 m a xy m a xy 1221 yxyx 21 2 yy m a 所以 BB BB AA AA 2 若am 如图 2 设 2211 yxByxA 不妨设0 1 y 则0 2 y 以下证明同 1 综上所述 命题得证 类比一 给定双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 其余条件及结论 同上 类比二 给定抛物线 0 2 2 ppxy 0 0 mmM是x轴上的一定点 直 线l mx 过 M 任意引一条直线与抛物线交于 A B 两点 其余条件及结论同上 推论一 给定椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 ammmM 是x轴上的一 个定点 直线l m a x 2 过 M 任意引一条直线与椭圆交于 A B 两点 A B 在l上的射 用心 爱心 专心12 影分别为 A B 则 BB BM AA AM 证明 如图形 1 由 Rt AA M Rt BB M 得 BM AM BB AA 于是由例 1 得证 推论二 设 A B 是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 长 轴上分别位于椭圆内 异于原点 外部的两点 且 A B 的横坐标 BA xx 满足 2 axx BA 1 若过 A 点的直线与这椭圆相交于 P Q 两点 则 PBA QBA 2 若过 B 点的直线与这椭圆相交于 P Q 两点 则 PBA QBA 1800 证明 1 如图形 3 设 0 mA 则 0 2 m a B 又设 P Q 在在x轴上的射影分别 为 P Q 则由例 1 可得 Rt PP B Rt QQ B 于是 PBA QBA 同理可证结论 2 成立 推论三 给定椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 ammmM 是x轴上的一 个定点 N 是直线l m a x 2 与x轴的交点 过 M 任意引一条直线与椭圆交于 A B 两点 BC MN 点 C 在直线l上 则直线 AC 平分线段 MN 证明 如图 4 设 A 在直线l上的射影为 D 因为 AD BC MN 则有 BA BM CA CE DA NE 又 BA MA CB EM MACBBMDA 由推论 1 所以EMNE 即直线 AC 平分线段 MN 又由推论 3 不难推出如下结论 推论四 给定椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 ammmM 是x轴上的一 个定点 N 是直线l m a x 2 与x轴的交点 过 M 任意引一条直线与椭圆交于 A B 两点 A B 在直线l上的射影分别为 A B 则直线 A B B A MN 相交于一点 用心 爱心 专心13 检测评估 检测评估 1 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的右焦点为F 若过点F且倾斜角为 60 的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 2 当时 函数 x xx xf 2sin sin82cos1 2 的最小值是 A 2 B 32 C 4 D 3 设双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 若过 1 F且垂直于x轴 的直线与双曲线相交于 M N两点 以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线 的离心率为 A 2 B 2 C 3 D 5 4 已知A B C三点在曲线y x上 其横坐标依次为 1 m 4 1 m 4 当 ABC的面 积最大时 m等于 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 9 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 5 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知抛物线y x2 1 上一定点B 1 0 和两个动点P Q 当P在抛物线上运动时 BP PQ 则Q点的横坐标的取值范围是 A 3 3 B 1 3 C 3 1 D 1 1 6 设椭圆 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 的右焦点为F1 右准线为l1 若过F1且垂直于x轴的 弦的长等于点F1到l1的距离 则椭圆的离心率是 7 已知BA 0 2 1 是圆FyxF 4 2 1 22 为圆心 上一动点 线段AB的垂直平 用心 爱心 专心14 分线交BF于P 则动点P的轨迹方程为 8 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的通径的长为 5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 能使这抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 9 已知点F为双曲线1 916 22 yx 的右焦点 M 是双曲线右支上一动点 又点A的坐标是 5 4 则4 5 MFMA 的最大值为 10 设P是椭圆 2 2 1 4 x y 上任意一点 则P到直线23xy 80 的距离的最大值是 11 如图所示 已知圆MAyxC 0 1 8 1 22 定点 为圆上一动点 点 P 在 AM 上 点 N 在 CM 上 且满足NAMNPAPAM点 0 2 的轨迹为 曲线 E I 求曲线 E 的方程 II 若过定点 F 0 2 的直线交曲线 E 于不同的两点 G H 点 G 在点 F H 之间 且满足FHFG 求 的取值范围 12 在等差数列 n a中 14 44 Sa 14 55 aS 其中 n S是数列 n a的前 n项之和 曲线 n C的方程是1 4 22 y a x n 直线l的方程是3 xy 1 求数列 n a的通项公式 2 当直线l与曲线 n C相交于不同的两点 n A n B时 令 nnnn BAaM 4 求 n M的最小值 3 对于直线l和直线外的一点 P 用 l上的点与点 P 距离的最小值 定义点 P 到直线 用心 爱心 专心15 l的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的 若曲线 n C与直线l不相交 试以类似的 方式给出一条曲线 n C与直线l间 距离 的定义 并依照给出的定义 在 n C中自行选定 一个椭圆 求出该椭圆与直线l的 距离 点拨与全解 点拨与全解 1 解 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为60o的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b a b a 3 离心率 e2 222 22 cab aa 4 e 2 选 C 2 解 原式化简为 x x y 2sin0 2cos35 则y看作点A 0 5 与点的连线的斜率 因为点B的轨迹是 即 33011 9 2 2 YX Y X 过A作直线 代入上式 由相切 0 可求出 由图象知 k 的最 小值是 4 故选C 3 解 由条件得ca a b 2 所以2 a c e 故选 A 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由题意知 A 1 1 B m m C 4 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线 AC所在方程为x 3y 2 0 点B到该直线的距离为d 10 23 mm 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 2 3 2 1 23 2 1 10 23 10 2 1 2 1 2 mmm mm dABS ABC m 1 4 当 2 3 m时 S ABC有最大值 此时m 4 9 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 故选 B 5