1994考研数三真题及解析

BornBorn toto winwin 19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 2 22 xx dx x 2 已知 则 1fx 0 00 lim 2 x x f xxf xx 3 设方程确定为的函数 则 2 cos xy eyx yx dy dx 4 设其中则 1 2 1 000 000 000 000 n n a a A a a L L MMMM L L 0 1 2 i ain L 1 A 5 设随机变量的概率密度为X 2 01 0 xx f x 其他 以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数 则YX 1 2 X 2P Y 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 曲线的渐近线有 2 1 2 1 arctan 1 2 x xx ye xx A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 2 设常数 而级数收敛 则级数 0 2 1 n n a 2 1 1 n n n a n A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与有关 3 设是矩阵 是阶可逆矩阵 矩阵的秩为 矩阵的秩为 则Am n CnArBAC 1 r A B 1 rr 1 rr C D 与的关系由而定 1 rr r 1 rC BornBorn toto winwin 4 设 则 0 1 0 1 1P AP BP A BP A B A 事件和互不相容 B 事件和相互对立ABAB C 事件和互不独立 D 事件和相互独立ABAB 5 设是来自正态总体的简单随机样本 是样本均值 记 12 n XXXL 2 N X 2222 12 11 2222 34 11 11 1 11 1 nn ii ii nn ii ii SXXSXX nn SXSX nn 则服从自由度为的 分布的随机变量是 1n t A B 1 1 X t S n 2 1 X t S n C D 3 X t S n 4 X t S n 三 三 本题满分本题满分 6 6 分分 计算二重积分其中 D xy dxdy 22 1Dx y xyxy 四 四 本题满分本题满分 5 5 分分 设函数满足条件求广义积分 yy x 440 0 2 0 4 yyy yy 0 y x dx 五 五 本题满分本题满分 5 5 分分 已知 求 22 arctanarctan yx f x yxy xy 2 f x y 六 六 本题满分本题满分 5 5 分分 设函数可导 且 求 f x 1 0 0 0 x nnn fF xtf xtdt 2 0 lim n x F x x 七 七 本题满分本题满分 8 8 分分 已知曲线与曲线在点处有公共切线 求 0 ya x a lnyx 00 xy 1 常数及切点 a 00 xy BornBorn toto winwin 2 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积 xx x V 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 假设在上连续 在内存在且大于零 记 f x a fx a f xf a F xxa xa 证明在内单调增加 F x a 九 九 本题满分本题满分 1111 分分 设线性方程组 23 112131 23 122232 23 132333 23 142434 xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa 1 证明 若两两不相等 则此线性方程组无解 1234 a a a a 2 设 且已知是该方程组的两个解 其中 1324 0 aak aak k 12 12 11 1 1 11 写出此方程组的通解 十 十 本题满分本题满分 8 8 分分 设有三个线性无关的特征向量 求和应满足的条件 001 1 100 Axy xy 十一 十一 本题满分本题满分 8 8 分分 假设随机变量相互独立 且同分布 1234 XXXX 00 6 10 4 1 2 3 4 ii P XP Xi 求行列式的概率分布 12 34 XX X XX BornBorn toto winwin 十二 十二 本题满分本题满分 8 8 分分 假设由自动线加工的某种零件的内径 毫米 服从正态分布 内径小于 10 或X 1 N 大于 12 的为不合格品 其余为合格品 销售每件合格品获利 销售每件不合格品亏损 已知销 售利润 单位 元 与销售零件的内径有如下关系 TX 1 10 20 1012 5 12 X TX X 问平均内径取何值时 销售一个零件的平均利润最大 BornBorn toto winwin 19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 ln3 解析 利用被积函数的奇偶性 当积分区间关于原点对称 被积函数为奇函数时 积分 为 0 被积函数为偶函数时 可以化为二倍的半区间上的积分 所以知 原式 222 222 220 2 222 xxx dxdxdx xxx 2 2 2 0 1 2 dx x 2 2 0 ln 2 ln6ln2ln3 x 2 答案 1 解析 根据导数的定义 有 00 0 0 lim x f xxf x fx x 所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式 从而求得极限值 由于 00 0 2 lim x f xxf xx x 0000 0 2 lim x f xxf xf xxf x x 0000 00 00 2 2 limlim2 1 2 xx f xxf xf xxf x fxfx xx 所以 原式 0 00 1 lim1 2 1 x x f xxf xx 3 答案 sin 2 xy xy yex y xey 解析 将方程看成关于的恒等式 即看作的函数 2 cos xy eyx xyx 方程两边对求导 得x sin 2sin 2 xy xy xy yex eyxyyyxy xey 相关知识点 两函数乘积的求导公式 f xg xfxg xf xg x BornBorn toto winwin 4 答案 1 2 1 1 000 1 000 1 000 1 000 n n a a a a 解析 由分块矩阵求逆的运算性质 有公式 1 1 1 00 00 AB BA 且 1 1 1 2 2 1 1 1 n n a a a a a a 所以 本题对分块后可得 A 1 1 2 1 1 000 1 000 1 000 1 000 n n a a A a a 5 答案 9 64 解析 已知随机变量的概率密度 所以概率 求得二项X 1 2 0 11 2 24 P Xxdx 分布的概率参数后 故 1 3 4 YB 由二项分布的概率计算公式 所求概率为 2 2 3 139 2 4464 P YC 相关知识点 二项分布的概率计算公式 BornBorn toto winwin 若 则 YB n p 1 kkn k n P YkC pp 0 1 kn 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 B 解析 本题是关于求渐近线的问题 由于 2 1 2 1 limarctan 1 2 4 x x xx e xx 故为该曲线的一条水平渐近线 4 y 又 2 1 2 0 1 limarctan 1 2 x x xx e xx 故为该曲线的一条垂直渐近线 所以该曲线的渐近线有两条 0 x 故本题应选 B 相关知识点 水平渐近线 若有 则为水平渐近线 lim x f xa ya 铅直渐近线 若有 则为铅直渐近线 lim xa f x xa 斜渐近线 若有存在且不为 则为斜渐 lim lim xx f x abf xax x yaxb 近线 2 答案 C 解析 考查取绝对值后的级数 因 22 22 2 1 11111 2222 n n nn a aa nn n 第一个不等式是由得到的 22 1 0 0 2 ababab 又收敛 收敛 此为级数 当时收敛 当时发散 2 1 n n a 2 1 1 2 n n p 1 1 p n n 1p 1p 所以收敛 由比较判别法 得收敛 2 2 1 11 22 n n a n 2 1 1 n n n a n 故原级数绝对收敛 因此选 C 3 答案 C 解析 由公式 若可逆 则 min r ABr A r B A 1 r ABr Br EBr AABr AB 从而 即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩 所以选 C r ABr B BornBorn toto winwin 4 答案 D 解析 事实上 当时 是事件与独立的充分必要0 1P B P A BP A B AB 条件 证明如下 若 则 P A BP A B 1 P ABP AB P BP B P ABP B P ABP B P AB P ABP BP ABP ABP B P A 由独立的定义 即得与相互独立 AB 若与相互独立 直接应用乘法公式可以证明 AB P A BP A B 1 P A BP A BP A B 由于事件的发生与否不影响事件发生的概率 直观上可以判断和相互独立 BAAB 所以本题选 D 5 答案 B 解析 由于均服从正态分布 根据抽样分布知识与 分布的 12 n XXX 2 N t 应用模式可知 其中 0 1 X N n 1 1 n i i XX n 2 2 1 2 1 n i i XX n 2 1 1 1 1 n i i Xn t n XX n 即 2 2 1 1 1 1 1 n i i XX t n S XX nn n 因为 分布的典型模式是 设 且相互独立 则随机变量t 0 1 XN 2 Yn X Y 服从自由度为的 分布 记作 X T Y n nt Tt n 因此应选 B 三 三 本题满分本题满分 6 6 分分 BornBorn toto winwin 解析 方法方法 1 1 由 配完全方得 22 1xyxy 22 113 222 xy 令 引入极坐标系 则区域为 11 cos sin 22 xryr r 3 02 0 2 Drr 故 3 2 2 00 1cossin D xy dxdydrrrdr 22 00 313 cossin 422 dd 2 2 0 0 3133 sincos 4222 d 方法方法 2 2 由 配完全方得 22 1xyxy 22 113 222 xy 引入坐标轴平移变换 则在新的直角坐标系中区域变为圆域 11 22 uxvy D 22 1 3 2 Du vuv 而 则有 代入即得1xyuv dxdydudv 1111 1 DDDDD xy dxdyuvdudvududvvdudvdudv 由于区域关于轴对称 被积函数是奇函数 从而 1 Dvu 1 0 D ududv 同理可得 又 1 0 D vdudv 1 1 3 2 D dudvD 故 3 2 D xy dxdy 四 四 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 先解出 此方程为常系数二阶线性齐次方程 用特征方程法求解 y x 方程的特征方程为 解得 440yyy 2 440 12 2 BornBorn toto winwin 故原方程的通解为 2 12 x yCC x e 由初始条件得 0 2 0 4y y 12 2 0 CC 因此 微分方程的特解为 2 2 x ye 再求积分即得 2 00 2 x y x dxedx 22 00 lim2lim1 bb xx bb edxe 相关知识点 用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程 0ypyqy 首先写出方程的特征方程 在复数域内解出两个特0ypyqy 2 0rprq 征根 12 r r 分三种情况 1 两个不相等的实数根 则通解为 12 r r 12 12 rxr x yC eC e 2 两个相等的实数根 则通解为 12 rr 1 12 rx yCC x e 3 一对共轭复根 则通解为 1 2 ri 12 cossin x yeCxCx 其中为常数 12 C C 五 五 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 由复合函数求导法 首先求 由题设可得 f x 22 222 1 2 arctan 1 1 fyxyy x xxxy y x x y 23 2222 2 arctan2 arctan yx yyy xxy xxyxyx 再对求偏导数即得y 2222 22222 212 11 1 fxxxy x yxxyxy y x 相关知识点 多元复合函数求导法则 如果函数都在点具 ux y vx y x y BornBorn toto winwin 有对及对的偏导数 函数在对应点具有连续偏导数 则复合函数xy zf u v u v 在点的两个偏导数存在 且有 zfx yx y x y 12 zzuzvuv ff xuxv xxx 12 zzuzvuv ff yuyv yyy 六 六 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 运用换元法 令 则 nn xtu 11 00 1 n xx nnnnn F xtf xtdtf u duF xxf x n 由于为 型的极限未定式 又分子分母在点处导数都存在 运用洛必达 2 0 lim n x F x x 0 0 0 法则 可得 1 22121 000 limlimlim 22 nn nnn xxx F xF xxf x xnxnx 00 1 1 0 limlim 220 nn nn xx f xf xf nxnx 由导数的定义 有 原式 1 0 2 f n 相关知识点 对积分上限的函数的求导公式 若 均一阶可导 则 t t F tf x dx t t F ttfttft 七 七 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 利用在两条曲线上及两曲线在处切线斜率相等列出三个方程 由 00 xy 00 xy 此 可求出 然后利用旋转体体积公式求出 00 a xy 2 b a fx dx x V 1 过曲线上已知点的切线方程为 其中 当存在时 00 xy 00 yyk xx 0 y x 0 ky x 由知 由知 ya x 2 a y x lnyx 1 2 y x BornBorn toto winwin 由于两曲线在处有公共切线 可见 得 00 xy 0 0 1 22 a xx 0 2 1 x a 将分别代入两曲线方程 有 0 2 1 x a 00 222 111 ln1lnyay aaa 于是 2 0 2 11 axe ea 从而切点为 2 1 e 2 将曲线表成是的函数 是两个旋转体的体积之差 套用旋转体体积公式 可得yxV 旋转体体积为 222 2222 011 1 ln ln 24 eee x Vxdxxdxexdx e 2 22 222 11 1 ln2ln 24222 e ee exxxdxex 相关知识点 由连续曲线 直线及轴所围成的曲边梯形绕轴 yf x xa xb xx 旋转一周所得的旋转体体积为 2 b a Vfx dx 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 方法方法 1 1 22 1 fx xaf xf a F xfx xaf xf a xaxa 令 xfx xaf xf a xa 由 0 xfx xafxfxxa fxxa 知 在上单调上升 于是 x a 0 xa 故 2 0 x F x xa 所以在内单调增加 F x a 方法方法 2 2 2 1 fx xaf xf af xf a F xfx xaxa xa 由拉格朗日中值定理知 f xf a f xa ax BornBorn toto winwin 于是有 1 F xfxf xa 由知在上单调增 从而 故 0fx fx a fxf 0F x 于是在内单调增加 F x a 相关知识点 1 分式求导数公式 2 uu vuv vv 2 拉格朗日中值定理 如果函数满足在闭区间上连续 在开区间内可导 f x a b a b 那么在内至少有一点 使等式成立 a b ab f bf afba 九 九 本题满分本题满分 1111 分分 解析 1 因为增广矩阵的行列式是范德蒙行列式 两两不相等 则有A 1234 a a a a 213141324243 0Aaaaaaaaaaaaa 故 而系数矩阵的秩 所以方程组无解 4r A A 3r A 2 当 时 方程组同解于 1324 0 aak aak k 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk 因为 知 1 20 1 k k k 2r Ar A 由 知导出组的基础解系含有 1 个解向量 即解空间的维数 321nr A 0Ax 为 1 由解的结构和解的性质 是的基础解系 12 112 110 112 0Ax 于是方程组的通解为 其中为任意常数 1 12 10 12 kk k 相关知识点 1 非齐次线性方程组有解的判定定理 设是矩阵 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广Am n Axb BornBorn toto winwin 矩阵的秩 即 或者说 可由的列向量线表出 亦 AA b r Ar A bA 12 n 等同于与是等价向量组 12 n 12 n b 设是矩阵 线性方程组 则Am n Axb 1 有唯一解 r Ar An 2 有无穷多解 r Ar An 3 无解 1 r Ar A 不能由的列向量线表出 bA 12 n 2 解的结构 若 是对应齐次线性方程组的基础解系 知的通解 1 2 0Ax Axb 形式为其中是的基础解系 是的一个特解 1 122 kk 12 0Ax Axb 3 解的性质 如果是的两个解 则其线性组合仍是的 12 0Ax 1 122 kk 0Ax 解 如果是的一个解 是的一个解 则仍是的解 Axb 0Ax Axb 十 十 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 由的特征方程 按照第二列展开 有A 2 01 1 1 1 1 1 0 1 10 EAxy 得到的特征值为 A 123 1 1 由题设有三个线性无关的特征向量 因此 必有两个线性无关的特征向量 1 从而