2011届高考数学第一轮复习 7.3等比数列学案（老师版） 新人教版

用心 爱心 专心1 7 37 3 等比数列等比数列 一 学习目标 一 学习目标 熟练掌握等差 比 数列的基本公式和一些重要性质 并能灵活运用性质 解决有关的问题 培养对知识的转化和应用能力 二 自主学习 二 自主学习 课前检测课前检测 1 20102010 年海淀二模年海淀二模 1212 已知数列满足 N N n a 1 1a 1 2n nn a a n 则的值为 答案 答案 48 910 aa 2 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 D A d B d 3 C d 3 D 0 它的前 n 项和为 40 前 2n 项和为 3280 且前 n 项中数值最大项为 27 求首项 公比及项数 n 解 解 1 an 是等比数列 a1 an a2 an 1 128 66 1 1 n n aa aa 解得 64 2 1 n a a 或 2 64 1 n a a 若 a1 2 an 64 则 2 qn 1 64 qn 32q 由 Sn 126 1 321 2 1 1 1 q q q qa n q 2 于是 n 6 用心 爱心 专心3 若 a1 64 an 2 则 64 qn 1 2 qn q 32 1 由 Sn 126 1 32 1 1 64 1 1 1 q q q qa n q 2 1 n 6 2 若 q 1 则 na1 40 2na1 3280 矛盾 q 1 3280 1 1 40 1 1 2 1 1 q qa q qa n n 两式相除得 qn 81 q 1 2a1 又 q 0 q 1 a1 0 an 是递增数列 an 27 a1qn 1 1 1 21 81 a a 解得 a1 1 q 3 n 4 变式训练变式训练 1 1 已知等比数列 an 中 a1 a9 64 a3 a7 20 则 a11 答案 64 或 1 解 解 由 20 64 73 91 aa aa 20 64 73 73 aa aa 4 16 7 3 a a 或 16 4 7 3 a a q2 2 1 或 q2 2 a11 a7 q2 a11 64 或 a11 1 小结与拓展 小结与拓展 1 方程的思想 等比数列中五个元素 a1 an n q Sn可以 知三求二 a1与 q 是等比数列 an 中最活跃的两个基本量 2 在等比数列中 若公比 q 0 且 q 1 时 可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项 3 在等比数列的求和公式中 当公 比 q 1 时 使用公式 Sn q qa n 1 1 1 当 q 1 时 使用公式 Sn na1 若 q 的范围未确定时 应对 q 1 和 q 1 讨论求和 题型题型 2 2 等比数列的性质等比数列的性质 例例 2 2 1 在等比数列中 若 则公比 2 n a 123 2a a a 234 16a a a q 2 在等比数列中 若是方程的两根 则 n a 92 a a06113 2 xx 5 109212 logaaaa 3 若等比数列的前项和为 则常数的值等于 D n ana3S 1n n a A B C D 1 3 1 1 3 3 4 已知等比数列 n a中 123 40aaa 456 20aaa 则前 9 项之和等于 B A 50 B 70 C 80 D 90 用心 爱心 专心4 5 设等比数列的前项和为 若 则 B n an n S 6 3 3 S S 9 6 S S A 2 B C D 3 7 3 8 3 6 已知数列 1322152 16 2 nnn aaaaaaaaa 则是等比数列 14 3 2 n 7 若数列成等比数列 则的值为 2 1 4a b cb 题型题型 3 3 等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明 例例 3 3 20102010 年东城二模年东城二模 1919 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1a 1 41 nn Sa 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 证明 证明 由于 1 41 nn Sa 当2n 时 1 41 nn Sa 得 11 44 nnn aaa 所以 11 22 2 nnnn aaaa 又 1 2 nnn baa 所以 1 2 nn bb 因为 1 1a 且 121 41aaa 所以 21 314aa 所以 121 22baa 故数列 n b是首项为2 公比为2的等比数列 变式训练变式训练 2 2 已知数列 n a的前n项和为 n S 且1 1 a nn Sa2 1 1 求 432 aaa的值 2 求数列 n a的通项公式 n a 解 解 1 1 1 a 22 12 aa 62 23 Sa 182 34 Sa 2 nn Sa2 1 1 2 nn Sa 2 n nnn aaa2 1 3 1 n n a a 2 n 又2 1 2 a a 数列 n a自第项起是公比为3的等比数列 2 2 1 1 23 2 n n n a n 小结与拓展 小结与拓展 an 为等比数列 0 0 0 2 2 1 1 aqbabaqS cqcqa aaa qaa n n n n nnn nn 题型题型 4 4 等比数列的综合应用等比数列的综合应用 用心 爱心 专心5 例例 4 4 数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 若 an Sn n 1 设 cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 证明 证明 1 a1 S1 an Sn n a1 S1 1 得 a1 2 1 又 an 1 Sn 1 n 1 两式相减得 2 an 1 1 an 1 即 也即 故数列 cn 是等比数列 1 1 1 n n a a 2 1 n n c c 1 2 1 解 解 2 c1 a1 1 2 1 cn an cn 1 1 an 1 1 n 2 1 n 2 1 1 2 1 n 故当 n 2 时 bn an an 1 又 b1 a1 即 bn n N N 1 2 1 nn 2 1 n 2 1 2 1 n 2 1 变式训练变式训练 3 3 在数列中 求 n a 1 3a 1 21 nn aan 2 nn N 且 的值 证明 数列是等比数列 并求的通项公式 2 a 3 a n an n a 解 解 1 3a 1 21 nn aan 2 nn N 且 21 4 16aa 32 6 11aa 证明 证明 11 111 21 1 1 1 11 nnn nnn anannan ananan 数列是首项为 公比为的等比数列 n an 1 14a 1 即 1 4 1 n n an 1 4 1 n n an 的通项公式为 n a 1 4 1 n n an n N 小结与拓展 小结与拓展 可以构造等比数列来求非等比数列的通项公式 四 课堂总结 四 课堂总结 1 解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中五个元素a1 an n q Sn可以 知三求二 有时灵活地 运用性质 可使运算简便 2 分类讨论的思想 分类讨论的思想在本章尤为突出 学习时考虑问题要全面 如等比 数列求和要注意q 1 和q 1 两种情况等等 2 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法是 1 利用定义 证明 n 2 为常数 1 n n a a 2 利用等比中项 即证明an2 an 1 an 1 n 2 3 通过解题后的反思 找准自己的问题 总结成功的经验 吸取失败的教训 增强解综合 题的信心和勇气 提高分析问题和解决问题的能力 用心 爱心 专心6 五 检测巩固 五 检测巩固 1 若数列 是等差数列 则有数列 也 n aNn 12n n aaa b n Nn 为等差数列 类比上述性质 相应地 若数列是等