梯形问题常见辅助线的作法

第 1 页 共 5 页 梯形问题常见辅助线的作法梯形问题常见辅助线的作法 梯形是在学习了三角形和平行四边形后学习的又一种特殊的四边形 因此 利用化归的思想方法 我们可利用平移 旋转等作出辅助线 通过割补 拼接 把梯形的问题转化为我们已经熟悉和解决了的 三角形和平行四边形问题 从而用三角形和平行四边形的有关知识解决梯形问题 下面通过例题具体说 明梯形问题常见的辅助线的做法及其应用 一 平移梯形一腰平移梯形一腰 将梯形转化成平行四边形 将梯形转化成平行四边形 即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线 将梯形分割成三角形和平行四边形 并出现上下 底的差 利用这些条件解决所给的问题 例例 1 1 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC AB DC BD DC 且 BD 平分 ABC 若梯形的周长为 20cm 求此梯形的中位线长 解 解 如图 1 过点 D 作 DE AB 交 BC 于 E 由已知 AD BC AB DC BD 平分 ABC 易得 四边形 ABED 为菱形 从而有 AD BE DE DC BD DC EC BE AD AB DC 又 梯形的周长为 20cm AD 4cm BC 8cm 梯形 ABCD 的中位线长为 4 8 6cm 1 2 二 平移梯形的一条对角线 将梯形转化成平行四边形的直角三角形 平移梯形的一条对角线 将梯形转化成平行四边形的直角三角形 即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线 将梯形割补成与之等积的三角形 并出现 上下底的和 利用这些条件解决所给的问题 例例 2 2 如图 2 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 且 AC 5cm BD 12cm 则该梯形中位线的长等于 cm 解 解 如图 2 过 D 点作 DE AC 交 BC 的延长线于 E 则由已知得 AD CE DE AC BD DE BE cm 2222 51213BDDE 梯形中位线的长等于 6 5cm 应填 6 5 11 22 ADBCBE 思考 思考 分别过 A B C 三点作对角线的平行线 是否可以解出此题呢 提示 可以 解法同上 三 过上底的两个端点作梯形的高线 将梯形分成两个直角梯形和一个矩形 三 过上底的两个端点作梯形的高线 将梯形分成两个直角梯形和一个矩形 例例 3 3 如图 3 在梯形 ABCD 中 已知 AD BC BC BD AD AB 4cm A 1200 求梯形 ABCD 的面积 解 解 如图 3 分别过点 A D 作 AE BC DF BC 垂足分别是 E F 则由已 知易得 EAB FBD 300 在 Rt AEB 和 Rt BFD 中 AE 2cm BC 4cm BD BC 4cm 333 图3 A D B C EF 图1 AD B C E 图2 A D B CE 第 2 页 共 5 页 梯形 ABCD 的面积 S cm2 11 44 3 2 3 124 3 22 ADBCAE 四 延长梯形两腰交于一点 构成两个相似三角形 四 延长梯形两腰交于一点 构成两个相似三角形 例例 4 如图 4 梯形 ABCD 中 AB CD A B 900 AB a CD b E F 分别是 AB CD 中点 求 EF 的长 解 解 如图 4 延长 AD BC 交于 G 连结 GE GF A B 900 AGB 900 GE CD GF AB 1 2 1 2 GE DE GF AF GDE AGE GAF AGF AB CD GDE GAF AGE AGF G E F 三点在同一条直线上 EF GF GE AB CD a b 1 2 1 2 1 2 说明 此题也可以通过过点 E 平移两腰来求得 请同学们自己练习 五 连结上底的一端点与一腰的中点 延长交下底的延长线于一点 将梯形割补成与之等积的三角五 连结上底的一端点与一腰的中点 延长交下底的延长线于一点 将梯形割补成与之等积的三角 形 形 例例 5 5 如图 5 在梯形 ABCD 中 AD BC M N 分别为 AB DC 的中点 1 求证 MN BC MN BC AD 1 2 2 若 AD BC 1 2 四边形 ADNM 的面积等于 10 试求四边形 MNCB 的面 积 解 解 1 连结 DM 并延长交 CB 的延长线于 P 则由已知易证 ADM BPM DM MP AD BP 又 DN NC MN PC 且 MN PC MN BC MN PC BC AD 1 2 1 2 1 2 2 设 AD x 则 BC 2x MN x 由四边形 ADNM 的面积 四边形 MNCB 的面积 3 2 x x 高 x 2x 高 得 四边形 MNCB 的面积 10 14 1 2 3 2 1 2 3 2 5 7 7 5 六 作梯形的中位线 将一个梯形转化成两个梯形 六 作梯形的中位线 将一个梯形转化成两个梯形 例例 6 6 如图 6 已知四边形 ABCD 中 AD BC 若 DAB 的角平分线 AE 交 CD 于 E 连结 BE 且 BE 平分 ABC 求证 AB AD BC 证明 证明 取 AB 中点 F 连结 EF AD BC DAB CBA 1800 CBE ABE DAE BAE EBA EAB 900 AEB 900 BF EF AF AD EF BC EF 是梯形的中位线 EF AB AF BF CE DE EF AD BC AB AD BC 1 2 1 2 七 连结上底的一端点与一条对角线的中点 延长与下底交于一点 构造全连结上底的一端点与一条对角线的中点 延长与下底交于一点 构造全 图7 HG A D BC K EF 图5 NM A B D C P 图6 B CDE A F 4 E G AB D C F 第 3 页 共 5 页 等三角形 等三角形 例例 7 7 如图 7 在梯形 ABCD 中 AD BC EF 是梯形的中位线 连结 AC 交 EF 于 G BD 交 EF 于 H 若 AD BC 2 3 则 HG AD 等于 A 1 2 B 1 4 C 2 3 D 1 3 解 解 如图 7 连结 AH 并延长交 BC 于 K 易证 ADH KBH AH HK AD BK 又 AG GC HG KC HG KC BC BK BC AD 又 BC AD HG AD 应选 B 1 2 1 2 1 2 3 2 1 4 由此题的证明可得如下结论 连结梯形两条对角线的中点所得线段 平行于两底且等于两底差的一 半 八 作倒置全等的梯形 构造平行四边形 八 作倒置全等的梯形 构造平行四边形 例例 8 8 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD A D 900 BC AB CD P 为 AD 的中点 求证 CP PB 证明 证明 如图 8 作与梯形 ABCD 全等的梯形 AC B D 则由已知可得 四边形 CBC B 为菱形 P 为 AD 中点 P 为菱形的对称中心 即 P 为 菱形两对角线的交点 CC BB 即 CP PB 九 过一腰的中点作另一腰的平行线 与两底 或其延长线 相交 将梯形割补成与之等积的平行九 过一腰的中点作另一腰的平行线 与两底 或其延长线 相交 将梯形割补成与之等积的平行 四边形 四边形 例例 9 9 已知 E 为梯形 ABCD 腰 CD 的中点 求证 ABCDABE SS 2 1 证明 证明 如图 9 过 E 作 FH AB 分别交 BC 和 AD 的延长线于 H F 则 因此 DFEHCE SS ABCDABHFABE SSS 2 1 2 1 说明 说明 此题还可延长 BE 交 AD 的延长线于 G 将梯形问题化为三角形问题来证 十 作梯形的对角线 将梯形分割成两个三角形 十 作梯形的对角线 将梯形分割成两个三角形 例例 1010 在直角梯形 ABCD 中 AB DC AD DC AB BC 又 AE BC 于 E 求证 CD CE 证明 证明 如图 10 连结 AC AB BC ACE CAB ACD 又 AD DC AE BC AC AC ADC AEC CD CE 十一 作等腰梯形的对称轴 十一 作等腰梯形的对称轴 例例 1111 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 试在梯形内部求一点 O 使 OA OB 0C 0D 作法 如图 11 1 作两底的中垂线分别交两底 AD BC 于 M N 2 作 AB 的垂直平分线交 MN 于 O 点 则点 O 为所求 9 H E AD BC F P 8 C B A DC B 10 E D A C B 11 N M O A B C D 第 4 页 共 5 页 证明 证明 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 对称轴 MN 为两底公用垂直平分线 AB 垂直平分线交 MN 于 O 点 OA OB 且 OA OD OB OC 故 OA OB 0C 0D 点 O 为所求 相关练习 相关练习 1 在课外活动课上 老师让同学们作一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝 其面积为 450cm2 则对角线所用的竹条至少需 A 30cm B 30cm C 60cm D 60cm22 2 已知一个梯形的四条边的长分别为 1 2 3 4 则此梯形的面积等于 A 4 B 6 C D 282 3 10 3 在梯形 ABCD 中 AD BC 中位线 EF 分别与 BD AC 交于点 H G 若 AD 6 BC 10 则 GH 4 四边形 ABCD 中 AB CD D 2 B 若 AD a AB b 求 CD 的长 5 梯形 ABCD 中 AB CD A 90 AB 4 CD 3 BC 7 O 为 AD 边的中点 求 O 到 BC 的距离 0 6 在梯形 ABCD 中 AD BC B 30 C 60 E M F N 分别为 AB BC CD DA 的中点 已 00 知 BC 7 MN 3 求 EF 的值 7 连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半 问这个凸四边形是什么四边形 试 证明你的结论 8 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD ABC 60 AC 平分 DAB E F 分别是对角线 AC BD 的中点 0 且 EF a 试求梯形 ABCD 的面积 答案与提