2012高考数学热点集中营 热点18 概率与统计大题 新课标

用心 爱心 专心1 两年真题重温两年真题重温 下面试验结果 A配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 82042228 B配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 412423210 分别估计用A配方 B配方生产的产品的优质品率 已知用B配方生产的一件产品的利润y 单位 元 与其质量指标值t的关系式 为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 用B配方生产的 100 件产品中 其质量指标落入区间 90 94 94 102 102 110的频率分别为0 04 0 54 0 42 因此 20 04P X 20 54P X 40 42P X 即X的分布列为 用心 爱心 专心2 则X的数学期望2 0 042 0 544 0 422 68EX 得到下面试验结果 A配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 82042228 B配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数 412423210 分别估计用A配方 B配方生产的产品的优质品率 已知用B配方生产的一件产品的利润y 单位 元 与其质量指标值t的关系式 为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 估计用B配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 并求用 B配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润 样方法从该地区调查了 500 位老年人 结果如下 X2 24 P0 040 540 42 用心 爱心 专心3 是否需要志愿 性别 男女 需要 4030 不需要 160270 1 估计该地区老年人中 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 2 能否有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 3 根据 2 的结论 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人 需要志愿帮助 的老年人的比例 说明理由 附 2 2 dbcadcba bcadn K 解析 命题意图 本题主要考查统计学知识 考查利用数学知识研究实际问题的能力以 及相应的运算能力 2 P Kk 0 050 0 0100 001 k 3 8416 63510 828 用心 爱心 专心4 2 2 2 500 40 27030 160 9 967 200 300 70 430 k 由于所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 9 9676 635 8 分 3 由于 2 的结论知 该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 并且从样本数据能 看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 因此在调查时 先确定 该地区老年人中男 女的比例 再把老年人分成男 女两层并采用分层抽样方法比采用简单 反随即抽样方法更好 12 分 命题意图猜想命题意图猜想 最新考纲解读最新考纲解读 用心 爱心 专心5 1 独立性检验 了解独立性检验 只要求 2 2 列联表 的基本思想 方法及其简单应用 2 假设检验 了解假设检验的基本思想 方法及其简单应用 3 回归分析 了解回归分析的基本思想 方法及其简单应用 回归课本整合回归课本整合 按照事先确定的规则抽取样本 通常是将S加上间隔k 得到第 2 个个体编号S k 再 将 S k 加上k 得到第 3 个个体编号S 2k 这样继续下去 获得容量为n的样本 其样 本编号依次是 S S k S 2k S n 1 k 用心 爱心 专心6 4 绘制频率分布直方图 把横轴分成若干段 每一段对应一个组距 然后以线段为底作一矩形 它的高等于该组的 这样得出一系列的矩形 每个矩形的面积恰好是该组上的频率 这些矩形就构成了 频率 组距 频率分布直方图 在频率分布直方图中 纵轴表示 频率 组距 数据落在各小组内的频率 用小矩形的面积表示 各小矩形的面积总和等于 1 5 茎叶图 7 方差 标准差 1 设样本数据为x1 x2 xn样本平均数为 则s2 x1 2 x2 x 1 n x x 用心 爱心 专心7 2 xn 2 x 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 其基本步骤是 画散点图 求回归直线方程 用回归直线方程作预报 1 回归直线 观察散点图的特征 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 2 回归直线方程的求法 最小二乘法 用心 爱心 专心8 11 11 理 离散型随机变量的分布列 理 离散型随机变量的分布列 1 1 离散型随机变量的分布列的性质 pi 0 i 1 2 n p1 p2 p3 pn 1 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围 内各个值的概率之和 2 超几何分布 设有总数为N件的两类物品 其中一类有M件 从所有物品中任取n件 n N 这 n 件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量 它取值为 m 时的概率P X m 0 m l l为n和M中较小的一个 称这种离散型随机变量的概率分布为 CMmCN Mn m CNn 超几何分布 也称X服从参数为N M n的超几何分布 超几何分布给出了求解这类问题 的方法 可以当公式直接运用求解 3 二项分布 如下 0 1 k n P n n qpC 00111 n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 由于恰好是二项展开式 knkk n qpC 中的各项的值 所以称 011100 qpCqpCqpCqpCpq nn n knkk n n n n n n 这样的随机变量服从二项分布 记作 其中 为参 数 并记 B n p np knkk n qpC b k n p 2 二项分布的期望与方差 若 则 B n p Enp 1Dnpp 方法技巧提炼方法技巧提炼 1 三种抽样方法的比较 类别共同点各自特点相互联系适用范围 用心 爱心 专心9 简单随机抽 样 从总体中逐个抽取 总体中的个体 数较少 系统抽样 将总体均匀分成几 部分 按事先确定 的规则在各部分抽 取 在起始部分 抽样时采用 简单随机抽 样 总体中的个体 数较多 分层抽样 抽样过程中每个 个体被抽取的机 会均等 将总体分成几层 分层进行抽取 各层抽样时 采用简单随 机抽样或系 统抽样 总体由差异明 显的几部分组 成 例 1 某中学有员工人 其中中高级教师人 一般教师人 管理人员人 行160486416 政 每个个体抽到的概率为 1 8 3 分层抽样法 四类人员的人数比为 又 3 4 1 2 34 206 208 1010 所以从中高级教师 一般教师 管理人员 行政人员中分别抽 12 202 204 1010 取人 人 人 人 每个个体抽到的概率为 6824 1 8 点评 此类通过三个抽样方法进行解析 体会之间的不同点 7 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法 主要解决 1 确定特定量之间是否有 用心 爱心 专心10 相关关系 如果有就找出它们之间贴近的数学表达式 2 根据一组观察值 预测变量的取 值及判断变量取值的变化趋势 3 求出回归直线方程 8 独立性检验是一种假设检验 在对总体的估计中 通过抽取样本 构造合适的随机变量 对假设的正确性进行判断 2 现有甲乙丙丁四人依次抽奖 用表示获奖的人数 求的分布列及 的值 ED 解析 1 设 世博会会徽 卡有张 由 得 故 海宝 卡有 4 张 n 18 5 2 9 2 C Cn 5 n 抽奖者获奖的概率为 6 1 2 9 2 4 C C 2 的分布列为 6 1 4 B 4 3 2 1 0 6 5 6 1 4 4 kCkP kkk 01234 P40 0 4 6 5 6 1 C 31 1 4 6 5 6 1 C 22 2 4 6 5 6 1 C 13 3 4 6 5 6 1 C 04 4 4 6 5 6 1 C 3 2 6 1 4 E 9 5 6 1 1 6 1 4 D 点评 此题第二问的关键分析出满足二项分布 从而化解计算 体现在期望和方差的计算 用心 爱心 专心11 解析 某职员被聘用的概率为 0 1123 1 1 1 1 5455 PPP 若 4 位职员中恰有 2 人被聘用的概率由于 222 400 1 C PP 当且仅当时 此时 2 00 00 11 1 24 PP PP 0 1 2 P 00 1 1 4 PP 取得最大值 解得 231 552 P 1 6 P 4 为职员中被聘用人数的取值为 0 1 2 3 040 4 111 0 2216 PC 131 4 114 1 2216 PC 222 4 116 2 2216 PC 313 4 114 3 2216 PC 404 4 111 4 2216 PC 01234 P1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 由于服从二项分布 所以 2 E 点评 此题巧妙在第二问中涉及到的最值问题 把概率问题和函数最值问题联系到一起 利用了均值不等式求最值 确定 P 的值 考场经验分享考场经验分享 用心 爱心 专心12 7 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆 这中间有三个概念 事件的互斥 事件的对立和事件的相互独立 在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念 根据实际情况对事件进行合理的分拆 就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件 的概率计算 达到解决问题的目的 8 在解含有相互独立事件的概率题时 首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和 其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积 这两个事情做好了 问题的 思路就清晰了 接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了 如果某些相互独立事件 符合独立重复试验概型 就把这部分归结为用独立重复试验概型 用独立重复试验概型的 概率计算公式解答 新题预测演练新题预测演练 1 2011 江西卷文 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学随机抽取 30 名学生参加 环保知识测试 得分 十分制 如图 1 1 所示 假设得分值的中位数为me 众数为m0 平 均值为 则 x 图 1 1 A me m0 B me m0 xx C me m0 D m0 me0 对于变 量V与U而言 V随U的增大而减小 故V与U负相关 即r2 0 r2 0 r1 故选 C 8 2011 江西卷 为了解儿子身高与其父亲身高的关系 随机抽取 5 对父子身高数据如下 父亲身高x cm 174 176 176 176 178 儿子身高y cm 175 175 176 177 177 则y对x的 线性回归方程为 A y x 1 B y x 1 C y 88 x D y 176 1 2 答案 C 10 2011 山东卷 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x 万元 4 2 3 5 销售额y 万元 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 x y b 中的 为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 a b A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 答案 B 用心 爱心 专心15 解析 3 5 42 由于回归方程过点 所以 x 4 2 3 5 4y 49 26 39 54 4xy 42 9 4 3 5 解得 9 1 故回归方程为 9 4x 9 1 所以当x 6 时 a a y y 6 9 4 9 1 65 5 图 1 4 11 2011 陕西卷 设 x1 y1 x2 y2 xn yn 是变量x和y的n个样本点 直 线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 如图 1 4 以下结论中正确的 是 A x和y的相关系数为直线l的斜率 B x和y的相关系数在 0 到 1 之间 C 当n为偶数时 分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D 直线l过点 xy 答案 D Y的均值E Y E X 15 E X 15 4 15 12 分 1 3 49 3 文 为了检测某批棉花的质量 质检人员随机抽取 6 根 其平均纤维长度为 25mm 用 表示第 n 根棉花的纤维长度 且前 5 根棉花的纤维长度如下表 1 2 3 4 5 6 n Xn 用心 爱心 专心16 1 求 X6及这 6 根棉花的标准差 s 2 从这 6 根棉花中 随机选取 2 根 求至少有 1 根的长度在区间 20 25 内的概 解 由题意 25 X6 40 2 分 20 26 22 20 22 X6 6 s2 49 20 25 2 26 25 2 22 25 2 20 25 2 22 25 2 40 25 2 6 s 7 5 分 至少有 1 根的长度在区间 20 25 内的概率为 1 P 12 分 3 5 13 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试 用心 爱心 专心17 解 K2 2 932 2 706 25 5 3 6 11 2 16 9 11 14 由此可知 有 90 的把握认为对这一问题的看法与性别有关 3 分 记题设事件为A 则 所求概率为P A 7 分 C1 5C 2 11 C2 5C 1 11 C 3 16 11 16 附 解 K2 2 932 2 706 25 5 3 6 11 2 16 9 11 14 由此可知 有 90 的把握认为对这一问题的看法与性别有关 5 分 记反对 男女同龄退休 的 6 男士为ai i 1 2 6 其中甲 乙分别为 a1 a2 从中选出 2 人的不同情形为 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a1a6 a2a3 a2a4 a2a5 a2a6 a3a4 a3a5 a3a6 a4a5 a4a6 a5a6 9 分 共 15 种可能 其中甲 乙至少有 1 人的情形有 9 种 所求概率为P 12 分 9 15 3 5 用心 爱心 专心18 解 根据茎叶图 有 高个子 8 人 非高个子 12 人 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 51 204 用心 爱心 专心19 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中抽取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 解 8 名男志愿者的平均身高为 3 分 168 176 177 178 183 184 187 191 180 5 cm 8 12 名女志愿者身高的中位数为 175 6 分 用心 爱心 专心20 15 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 理 某班甲 乙两名同学参加 l00 米达标训练 在相同条件下两人 l0 次训练的成绩 单 位 秒 如下 解 茎叶图 2分 用心 爱心 专心21 和 2 分 从统计图中可以看出 乙的成绩较为集中 差异程度较小 应 选派乙同学代表班级同学代表班级参加比赛更好 4 分 设事件 A 为 甲的成绩低于 12 8 事件 B 为 乙的成绩低 于 12 8 则甲 乙两人成绩至少有一个低于秒秒的概率为 12 8 8 分 此部分 可根据解法给步骤分 617 1 10210 2 分 设甲同学的成绩为 乙同学的成绩为 xy 则 10 分0 8xy 得 0 80 8xyx 如图阴影部分面积即为 则3 32 2 2 24 16 12 分 4 16104 0 8 0 80 8 3 3225 P xyPxyx 文 某班甲 乙两名同学参加 l00 米达标训练 在相同条件下两人 l0 次训练的成绩 单 位 秒 如下 I 请画出适当的统计图 如果从甲 乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛 从 成绩的稳定性方面考虑 选派谁参加比赛更好 并说明理由 不用计算 可通过统计图直接 回答结论 经过对甲 乙两位同学的若干次成绩的统计 甲 乙的成绩都均匀分布在 11 5 14 5 之间 现甲 乙比赛一次 求甲 乙成绩之差的绝对值小于 0 8 秒的概 用心 爱心 专心22 率 解 4 分或 4 分 从统计图中可以看出 乙的成绩较为集 中 差异程度较小 应选派乙同学代表班级 参加比赛更好 6 分 设甲同学的成绩为 乙同学的成绩为x 则y 8 分0 8xy 得 如图阴影部分面积即为0 80 8xyx 10 分3 32 2 2 24 16 则 0 8 0 80 8 P xyPxyx 12 分 4 16104 3 3225 16 北京市朝阳区 2011 2012 学年度高三年级期末统一 考试 理 求某个家庭得分为的概率 5 3 若游戏规定 一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和 且得分大于等于 8 的家 庭可以获得一份奖品 请问某个家庭获奖的概率为多少 若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动 在 的条件下 记获奖的家庭数为 求X 的分布列及数学期望 X 用心 爱心 专心23 11 分 所以分布列为 X X012345 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 所以 15 5 33 EXnp 所以的数学期望为 13 分 X 5 3 用心 爱心 专心24 17 北京市石景山区 2011 2012 学年度高三数第一学期期末检测 理 甲 乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下 甲乙 18 6 0 0 24 4 230 求乙球员得分的平均数和方差 甲球员四场比赛得分为 20 20 26 32 分别从两人得分中随机选 取一场的 得分 共有 16 种情况 用心 爱心 专心25 得分和 Y 的分布列为 Y3844505662 p 8 1 16 5 16 5 16 3 16 1 11 分 数学期望 16 1 62 16 3 56 16 5 50 16 5 44 8 1 38 EY 13 分 5 48 文 甲 乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下 甲乙 18 6 0 0 24 4 230 求乙球员得分的平均数和方差 甲球员四场比赛得分为 20 20 26 32 分别从两人得分中随机选 用心 爱心 专心26 取一场的 得分 共有 16 种情况 18 河北省石家庄市 2012 届高三上学期教学质量检测 一 理 某工科院校对 A B 两个专业的男女生人数进行调查 得到如下的列联表 I 能否在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下 认为工科院校中 性别 与 专业 有关 系呢 II 从专业 A 中随机抽取 2 名学生 记其中女生的人数为 X 求 X 的分布列和均值 注 2 2 dbcadcba bcadn K 解 根据列联表中的数据 3 分 2 2 100 12 464 38 4 762 16 84 50 50 K 由于 4 7623 841 因此在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下认为工科院校中 性别 与 专业 有关系 6 分 专业 A 中女生 12 人 男生 38 人 2 38 2 50 703 0 1225 C P X C 11 3812 2 50 456 1 1225 C C P X C 2 12 2 50 66 2 1225 C P X C 所以 X 的分布列为 X012 用心 爱心 专心27 P 703 1225 456 1225 66 1225 10 分 均值为 4566658812 2 12251225122525 EX 12 分 文 某工科院校对 A B 两个专业的男女生人数进行调查 得到如下的列联表 I 从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动 其中女生甲被选到的概率是多少 II 能否在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下 认为工科院校中 性别 与 专业 有 关系呢 注 2 2 dbcadcba bcadn K 解 设 B 专业的 4 名女生为甲 乙 丙 丁 随机选取两个共有 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 6 种可能 2 分 其中选到甲的共有 3 种可能 4 分 则女生甲被选到的概率是 6 分 31 62 P 根据列联表中的数据 9 分 2 2 100 12 464 38 4 762 16 84 50 50 K 由于 因此在犯错误的概率不超过 0 05 的前提下认为工科院校中 性别 4 7623 841 与 专业 有关系 12 分 表 1 成绩分组 60 70 70 80 80 90 90 100 人数 3m86 表 2 用心 爱心 专心28 成绩分组 60 70 70 80 80 90 90 100 人数 25n5 分别估计男生和女生的平均分数 并估计这 450 名学生的平均分数 精确到 0 01 解析 I 由抽样方法知 被抽取的男生人数为 45 25025 450 I 求抽取的男生与女生的人数 II 从男生和女生中抽查的结果分别如下表 1 和表 2 表 1 成绩分组 60 70 70 80 80 90 90 100 人数 3m86 表 2 成绩分组 60 70 70 80 80 90 90 100 人数 25n5 分别估计男生和女生的平均分数 并估计这 450 名学生的平均分数 精确到 0 01 用心 爱心 专心29 20 山西省高三第二次四校联考 1 根据已知条件填写下面表格 组 别 12345678 样本 数 20 解 1 由条形图得第七组频率为 1 0 04 20 08 20 2 20 3 0 06 0 06 503 则35006 0 第七组的人数为 3 人 1 分 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 2 4 10 10 15 4 3 2 4 分 用心 爱心 专心30 文 甲乙两位学生参加数学竞赛培训 在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下 甲 78 76 74 90 82 乙 90 70 75 85 80 1 用茎叶图表示这两组数据 2 从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个 所有情况如下 78 90 78 70 78 75 78 85 78 80 76 90 76 70 76 75 76 85 76 80 74 90 74 70 74 75 74