2016年北京市高考数学试卷(理科)

第 1 页 共 11 页 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 理 北京卷 第第 部分 选择题部分 选择题 共共 40 分 分 一 选择题共一 选择题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要 求的一项求的一项 1 已知集合 则 2 Axx 32101 BAB A B C D 10 210 101 2101 2 若 满足则的最大值为 xy 20 3 0 xy xy x 2xy A 0 B 3 C 4 D 5 3 执行如图所示的程序框图 若输入的值为 a1 则输出的值为 k A 1 B 2 C 3 D 4 4 设 a b 是向量 则 是 的 ab abab A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知 且 则 Ryx 0 xy A B C D 11 0 xy sinsin0 xy 11 0 22 xy lnln0 xy 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 1 主 主 主 主 主 主 主 主 主主 主 主 主 主 主 1 1 1 第 2 页 共 11 页 7 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点 若位于sin 2 3 yx 4 Pt 0 s s P P 函数的图象上 则 sin2yx A 的最小值为 B 的最小值为 1 2 t s 6 2 3 t s 6 C 的最小值为 D 的最小值为 1 2 t s 3 2 3 t s 3 8 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任 意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则 就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则 A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第第 部分 非选择题部分 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 设 若复数在复平面内对应的点位于实轴上 则 a R 1 i i a a 10 在的展开式中 的系数为 用数字作答 6 1 2 x 2 x 11 在极坐标系中 直线与圆交于两点 则 cos3 sin1 0 2cos A B AB 12 已知为等差数列 为其前项和 若 则 n a n Sn 1 6a 35 0aa 6 S 13 双曲线的渐近线为正方形的边 所在的直线 点 001 2 2 2 2 ba b y a x OABCOAOC 为该双曲线的焦点 若正方形的边长为 则 BOABC2a 14 设函数 3 3 2 xxxa f x xxa 若 则的最大值为 0a f x 若无最大值 则实数的取值范围是 f xa 第 3 页 共 11 页 三 解答题共三 解答题共 6 小题 共小题 共 80 分分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 在中 ABC 222 2acbac 求的大小 B 求的最大值 2coscosAC 16 本小题 13 分 A B C 三个班共有 100 名学生 为调查他们的体育锻炼情况 通过分层抽样获得了部分学 生一周的锻炼时间 数据如下表 单位 小时 A 组66 577 58 B 组6789101112 C 组34 567 5910 51213 5 试估计 C 班的学生人数 从 A 班和 C 班抽出的学生中 各随机选取一人 A 班选出的人记为甲 C 班选出的人 记为乙 假设所有学生的锻炼时间相互独立 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 再从 A B C 三个班中各随机抽取一名学生 他们该周的锻炼时间分别是 7 9 8 25 单位 小时 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 为 1 表格中数据的平均数记为 试判断和的大小 结论不要求证明 0 0 1 17 本小题 14 分 如图 在四棱锥中 平面平面 PABCD PAD ABCD PAPD PAPD ABDA 1AB 2AD 5ACCD 求证 平面 PD PAB 求直线与平面所成角的正弦值 PBPCD 在棱上是否存在点 使得平面 若PAMBM PCD 存在 求的值 若不存在 说明理由 AM AP P D C B A 第 4 页 共 11 页 18 本小题 13 分 设函数 曲线在点处的切线方程为 ea xf xxbx yf x 2 2 f e 1 4yx 求 a b 的值 求的单调区间 f x 19 本小题 14 分 已知椭圆的离心率为 的面积 22 22 1 0 xy Cab ab 3 2 0 A a 0 Bb 0 0 OOAB 为 1 求椭圆的方程 C 设是椭圆上一点 直线与轴交于点 直线与 轴交于点 N PCPAyMPBx 求证 为定值 ANBM 20 本小题 13 分 设数列 如果对小于的每个正整数都有 则称是 12 N A aaa 2 N 2 nnN k kn aa n 数列的一个 时刻 记是数列的所有 时刻 组成的集合 AG G AAG 对数列 写出的所有元素 2 2 1 1 3A G A 证明 若数列中存在使得 则 A n a 1n aa G A 证明 若数列满足 则的元素个数不小于 A 1 1 nn aa 2 3 nN G A 1N aa 第 5 页 共 11 页 2016 年北京高考数学 理科 答案与解析 1 C 解析 集合 集合 所以 22 Axx 1 0 1 2 3 Bx 1 0 1 AB 2 C 解析 可行域如图阴影部分 目标函数平移到虚线处取得最大值 对应的点为 最大值为 1 2 2 124 1 2 2x y 0 2x y 0 x 0 x y 3 3 B 解析 开始 第一次循环 第二次循环 第三次循环 1a 0k 1 2 a 1k 2a 2k 1a 条件判断为 是 跳出 此时 2k 4 D 解析 若成立 则以 为边组成平行四边形 那么该平行四边形为菱形 表示的 ab a b a b ab 是该菱形的对角线 而菱形的对角线不一定相等 所以不一定成立 从而不是充分条 a bab 件 反之 成立 则以 为边组成平行四边形 则该平行四边形为矩形 矩形的 a bab a b 邻边不一定相等 所以不一定成立 从而不是必要条件 ab 5 C 解析 考查的是反比例函数在单调递减 所以即所以错 考查A 1 y x 0 11 xy 11 0 xy AB 的是三角函数在单调性 不是单调的 所以不一定有 错 sinyx 0 sinsinxy BC 考查的是指数函数在单调递减 所以有即所以 1 2 x y 0 11 22 xy 11 0 22 xy 对 考查的是对数函数的性质 当时 不一定有CDlnyx lnlnlnxyxy 0 xy 0 xy 所以错 ln0 xy D 6 A 第 6 页 共 11 页 解析 通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥 则通过侧视图得高 底面积 1h 11 1 1 22 S 所以体积 11 36 VSh 7 A 解析 点在函数上 所以 然后 4 Pt sin 2 3 yx 1 sin 2sin 4362 t 向左平移 个单位 即 所以 所以 sin 2 3 yx s sin 2 sin2 3 yxsx 6 skk Z 的最小值为 s 6 8 B 解析 取两个球往盒子中放有种情况 4 红 红 则乙盒中红球数加 个 1 黑 黑 则丙盒中黑球数加 个 1 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加 个 1 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加 个 1 因为红球和黑球个数一样 所以 和 的情况一样多 和 的情况完全随机 和 对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响 和 出现的次数是一样的 所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一 样 综上 选 B 9 1 解析 11ii1i aaa 其对应点在实轴上 10 a1 a 10 60 解析 由二项式定理得含的项为 2 x 2 22 6 C260 xx 11 2 解析 将极坐标转化为直角坐标进行运算 cos x sin y 直线的直角坐标方程为310 xy 第 7 页 共 11 页 2cos 222 sincos2 cos 22 2 xyx 圆的直角坐标方程为 2 2 11 xy 圆心在直线上 因此为圆的直径 1 0AB2 AB 12 6 解析 354 2 aaa 4 0 a 1 6 a 41 3 aad2 d 61 661 66 2 Sad 13 2 解析 不妨令为双曲线的右焦点 在第一象限 则双曲线图象如图BA 为正方形 OABC2 OA2 2 cOB 4 AOB 直线是渐近线 方程为 OA b yx a tan1 b AOB a 又 222 8 abc2 a O C B A y x 14 21a 解析 由 得 如下图 是的两个函数在没有限制条件 32 3330 xxx 1x f x 时的图象 max 12f xf 当时 有最大值 1a f x 12f 当时 在时无最大值 且 1a 2x xa 3 max 23axx 所以 1a 2 2x x33x 1 1 y xO 第 8 页 共 11 页 15 解析 222 2acbac 222 2acbac 222 22 cos 222 acbac B acac 4 B ABC 3 4 AC 2coscosAC 22 2cos cos sin 22 AAA 22 cossin 22 AA sin 4 A 3 4 AC 3 0 4 A 44 A 最大值为 1 sin 4 A 上式最大值为 1 16 解析 C 班学生 40 人 8 10040 20 在 A 班中取到每个人的概率相同均为 1 5 设班中取到第 个人事件为Ai 1 2 3 4 5 i Ai C 班中取到第个人事件为j 1 2 3 4 5 6 7 8 j Cj 班中取到的概率为A ij AC i P 所求事件为D 则 12345 11111 55555 P DPPPPP 1213131314 5858585858 3 8 10 三组平均数分别为总均值7 9 8 25 0 8 2 但中多加的三个数据平均值为 比小 1 7 9 8 25 8 08 0 故拉低了平均值 17 第 9 页 共 11 页 解析 面面PAD ABCDAD 面面PAD ABCD 面AB ADAB ABCD 面AB PAD 面PD PAD AB PD 又PD PA 面PD PAB 取中点为 连结 ADOCOPO 5CDAC CO AD PAPD PO AD 以为原点 如图建系O 易知 0 01 P 110 B 010 D 2 0 0 C 则 111 PB 011 PD 2 01 PC 210 CD 设为面的法向量 令n PDC 00 1 nxy 则与面夹角有 01 1 1 2 0 n PD n n PC PBPCD 1 1 1 3 2 sincos 31 1 13 4 n PB n PB n PB 假设存在点使得面MBM PCD 设 AM AP 0 My z 由 2 知 0 1 0A 0 0 1P 0 1 1AP 1 1 0B 0 1 AMyz 有 0 1 AMAPM 1 BM 面 为的法向量BM PCDn PCD 0BM n 即 1 0 2 1 4 综上 存在点 即当时 点即为所求 M 1 4 AM AP M 18 解析 I ea xf xxbx ee 1 e a xa xa x fxxbxb 曲线在点处的切线方程为 yf x 2 2 f e1 4yx 2 2 e1 4f 2 e1 f O x y z P A B C D 第 10 页 共 11 页 即 2 2 2e22 e1 4 a fb 2 2 12 ee1 a fb 由 解得 2a eb II 由 I 可知 2 ee x f xxx 2 1 ee x fxx 令 2 1 e x g xx 222 e 1 e 2 e xxx g xxx x 2 2 2 g x 0 g x A极小值A 的最小值是 g x 2 2 2 12 e1g 的最小值为 fx 2 2 ee10fg 即对恒成立 0fx x R 在上单调递增 无减区间 f x 19 解析 由已知 又 3 1 1 22 c ab a 222 abc 解得2 1 3 abc 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 方法一 设椭圆上一点 则 00 P xy 2 2 0 0 1 4 x y 直线 令 得 PA 0 0 2 2 y yx x 0 x 0 0 2 2 M y y x 0 0 2 1 2 y BM x 直线 令 得 PB 0 0 1 1 y yx x 0y 0 0 1 N x x y 0 0 2 1 x AN y 00 00 0000 00 22 000000 0000 2 21 12 2222 21 44484 22 xy ANBM yx xyxy xy xyx yxy x yxy 第 11 页 共 11 页 将代入上式得 2 2 0 0 1 4 x y 4ANBM 故为定值 ANB