2011年高考一轮数学复习 8-3抛物线 理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 8 8 章章 第第 3 3 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 抛物线定义的应用 1 已知点 P 是抛物线 y x2上的动点 点 P 在直线 y 1 上的射影是 M 定点 1 2 A 4 则 PA PM 的最小值是 7 2 A B 5 9 2 C D 6 11 2 解析 如图 据抛物线定义可知点 P 到准线 y 的距离等于 PF 的长 故 1 2 PC PA PF PA AF 5 即点 P 移至点 B 时取得最小值 从而 PM PA PC PA AF 1 2 1 2 11 2 答案 C 2 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 任作一条直线 m 交此抛物线于 P1 P2两点 求 证 以 P1 P2为直径的圆和这条抛物线的准线相切 证明 如图所示 设 P1 P2的中点为 P0 过 P1 P2 P0分别向准线 l 引垂线 垂足分 别为 Q1 Q2 Q0 根据抛物线的定义得 P1F P1Q1 P2F P2Q2 P1P2 P1F P2F P1Q1 P2Q2 P1Q1 P0Q0 P2Q2 P1P0 P0P2 P0Q0 P1Q1 P2Q2 P1P2 1 2 1 2 由此可知 P0Q0 是以 P1P2为直径的圆 P0的半径 且 P0Q0 l 因此 圆 P0与准线相切 考点二 抛物线的方程 3 边长为 1 的等边三角形 AOB O 为原点 AB x 轴 以 O 为顶点 且过 A B 的抛 物线方程是 A y2 x B y2 x 3 6 3 6 用心 爱心 专心 C y2 x D y2 x 3 6 3 3 解析 根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴 当开口向右时 如图所示 A 设 3 2 1 2 抛物线方程为 y2 2px 则有 2p 所以 p 1 4 3 2 1 4 3 抛物线方程为 y2 x 同理可得 当开口向左时 抛物线方程为 y2 x 3 6 3 6 答案 C 4 抛物线的焦点在直线 x y 2 0 上 则抛物线的标准方程为 A y2 4x 和 x2 4y B y2 4x 和 x2 4y C y2 8x 和 x2 8y D y2 8x 和 x2 8y 解析 直线 x y 2 0 与两坐标轴的交点为 2 0 0 2 若抛物线的焦点为 2 0 设其方程为 y2 2px 由 2 得 2p 8 p 2 所求方程为 y2 8x 若抛物线的焦点为 0 2 设其方程为 x2 2py 由 2 得 2p 8 所求方程为 x2 8y p 2 答案 C 考点三 抛物线的性质 5 如图 过抛物线 y2 4x 焦点的直线依次交抛物线和圆 x 1 2 y2 1 于 A B C D 四点 则 AB CD A 4 B 2 C 1 D 1 2 解析 AB CD 定值 分析直线与 x 轴垂直的情况 即可得到答案 圆 x 1 2 y2 1 的圆心为 y2 4x 的焦点 半径为 1 此时 AB CD 1 AB CD 1 故选 C 答案 C 6 2010 河南洛阳模拟 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A B 两 点 抛物线准线与 x 轴交于 C 点 若 CBF 90 则 AF BF 的值为 A B p p 2 C D 2p 3p 2 用心 爱心 专心 解析 如图 在直角三角形 CBF 中利用射影定理得 y x1 x1 2 B p 2 p 2 x 2px1 x1 p BF p 又直角三角形 CBF 与直角三角形 ADF 相似 p2 42 1 5 2 2 5 1 2 AF p 则 AF BF 的值为 2p 故选 D AF p DF BF AF p BF 5 3 2 答案 D 7 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 0 FA FB FC 则 FA FB FC A 9 B 6 C 4 D 3 解析 焦点 F 坐标为 1 0 设 A B C 坐标分别为 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 x1 1 y2 x2 1 y2 x3 1 y3 FA FB FC 0 FA FB FC x1 1 x2 1 x3 1 0 x1 x2 x3 3 FA FB FC x1 1 2 y2 1 x2 1 2 y2 2 x3 1 2 y2 3 x1 1 2 x2 1 2 x3 1 2 x1 1 x2 1 x3 1 6 答案 B 8 已知抛物线 y2 2px p 0 过动点 M a 0 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同 的两点 A B 且 AB 2p 1 求 a 的取值范围 2 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N 求 NAB 面积的最大值 解 1 设直线 l 的方程为 y x a 代入抛物线方程得 x a 2 2px 即 x2 2 a p x a2 0 用心 爱心 专心 AB 2p 24 a p 2 4a2 4ap 2p2 p2 即 4ap p2 又 p 0 a p 4 2 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点 C x y 由 1 知 y1 x1 a y2 x2 a x1 x2 2a 2p 则有 x a p x1 x2 2 y p y1 y2 2 x1 x2 2a 2 线段 AB 的垂直平分线的方程为 y p x a p 从而 N 点坐标为 a 2p 0 点 N 到 AB 的距离为 p a 2p a 22 从而 S NAB p 1 224 a p 2 4a22 2p 2ap p2 1 2009 全国 已知直线 y k x 2 k 0 与抛物线 C y2 8x 相交于 A B 两点 F 为 C 的焦点 若 FA 2 FB 则 k A B 1 3 2 3 C D 2 3 2 2 3 解析 过 A B 作抛物线准线 l 的垂线 垂足分别为 A1 B1 由抛物线定义可知 AA1 AF BB1 BF 2 BF AF AA1 2 BB1 即 B 为 AC 的中点 从而 yA 2yB 联立方程组Error 消去 x 得 y2 y 16 0 8 k Error Error 消去得 k yB 2 2 3 答案 D 2 2009 四川 已知直线 l1 4x 3y 6 0 和直线 l2 x 1 抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 用心 爱心 专心 C D 11 5 37 16 解析 直线 l2 x 1 恰为抛物线 y2 4x 准线 P 到 l2的距离 d2 PF F 1 0 为 抛物线焦点 所以 P 到 l1 l2距离之和最小值为 F 到 l1距离 2 故 4 1 3 0 6 32 42 选 A 答案 A 3 2009 宁夏 海南 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛物 线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 l 的方程为 解析 抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 1 抛物线方程为 y2 4x 设 p 2 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 y 4x1 y 4x2 得 y y 4 x1 x2 2 12 22 12 2 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 1 直线 l 的斜率为 1 且过点 2 2 直线方程为 y 2 x 2 y x y1 y2 x1 x2 答案 y x 4 2009 湖北 过抛物线 y2 2px p 0 的对称轴上一点 A a 0 a 0 的直线与抛物线相 交于 M N 两点 自 M N 向直线 l x a 作垂线 垂足分别为 M1 N1 1 当 a 时 求证 AM1 AN1 p 2 2 记 AMM1 AM1N1 ANN1的面积分别为 S1 S2 S3 是否存在 使得对任意的 a 0 都有 S S1S3成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 2 2 解析 依题意 可设直线 MN 的方程为 my a M x1 y1 N x2 y2 则有 M1 a y1 N1 a y2 由Error 消去 x 可得 y2 2mpy 2ap 0 从而有Error 于是 x1 x2 m y1 y2 2a 2 m2p a 又由 y 2px1 y 2px2 可得 x1x2 a2 2 12 2 y1y2 2 4p2 2ap 2 4p2 1 如下图 当 a 时 点 A 0 即为抛物线的焦点 l 为其准线 x p 2 p 2 p 2 此时 M1 y1 N1 y2 并由 可得 y1y2 p2 p 2 p2 2 证法一 p y1 p y2 AM1 AN1 p2 y1y2 p2 p2 0 即 AM1 AN1 AM1 AN1 证法二 kAM1 kAM1 y1 p y2 p KAM1 KAM1 1 即 AM1 AN1 y1y2 p2 p2 p2 用心 爱心 专心 2 存在 4 使得对任意的 a 0 都有 S 4S1S3成立 证明如下 2 2 证法一 记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 则 OA OA1 a 于是有 S1 MM1 A1M1 x1 a y1 1 2 1 2 S2 M1N1 AA1 a y1 y2 1 2 S3 NN1 A1N1 1 2 x2 a y2 1 2 S 4S1S3 a y1 y2 2 2 2 x1 a y1 x2 a y2 a2 y1 y2 2 4y1y2 x1x2 a x1 x2 a2 y1y2 将 代入上式化简可得 a2 4m2p2 8ap 2ap 2am2p 4a2 4a2p m2p 2a 4a2p m2p 2a 上式恒成立 即对任意 a 0 S 4S1S3成立 2 2 证法二 如下图 连结 MN1 NM1 则由 y1y2 2ap y 2px1可得 2 1 kOM kON1 y1 x1 2p y1 2py2 y1y2 2py2 2ap y2 a 所以直线 MN1经过原点 O 同理可证直线 NM1也经过原点 O 又 OA OA1 a 设 M1A1 h1 N1A1 h2 MM1 d1 NN1 d2 则 S1 d1h1 S2 2a h1 h2 a h1 h2 S3 d2h2 1 2 1 2 1 2 MM1 NN1 AA1 OA1M1 NN1M1 OA1N1 MM1N1 即 a h1 h2 h1d2 h2d1 a d2 h1 h1 h2 a d1 h2 h1 h2 而 4 S2 2 S1S3 4a2 h1 h2 2 d1h1d2h2 a h1 h2 h1d2 a h1 h2 h2d1 将 代入 即得 4 故对任意 a 0 S 4S1S3成立 2 2 1 已知抛物线 y2 ax a 0 直线 l 过焦点 F 且与 x 轴不重合 则抛物线被 l 垂直平分 的弦共有 A 不存在 B 有且只有 1 条 C 2 条 D 3 条 解析 据题意设直线方程为 y kx b 联立抛物线方程消元得 k2x2 2kb a x b2 0 设弦 AB 的中点坐标为 x0 y0 用心 爱心 专心 则 x0 y0 a 2kb 2k2 a 2k 若垂直平分 则有 a 2k a 2kb 2k2 a 4 1 k 整理得 4kb 2a ak2 由于直线 AB 与抛物线相交 但 a2 4abk a a 4bk a2 1 k2 0 即直线与抛物线不相交 这样的直线不存在 答案 A 2 已知抛物线 C y2 4x 点 M m 0 在 x 轴的正半轴上 过 M 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 1 若 m 1 l 的斜率为 1 求以 AB 为直径的圆的方程 2 若存在直线 l 使得 AM OM MB 成等比数列 求实数 m 的取值范围 解 1 由题意 得 M 1 0 直线 l 的方程为 y x 1 由Error 得 x2 6x 1 0 设 A B 两点坐标为 A x1 y1 B x2 y2 AB 中点 P 的坐标为 P x0 y0 则 x1 3 2 x2 3 2 22 y1 x1 1 2 2 y2 x2 1 2 2 22 故点 A 3 2 2 2 B 3 2 2 2 2222 所以 x0 3 y0 x0 1 2 x1 x2 2 故圆心为 P 3 2 直径 AB 8 x1 x2 2 y1 y2 2 所以以 AB 为直径的圆的方程为 x 3 2 y 2 2 16 2 解法一 设 A B 两点坐标为 A x1 y1 B x2 y2 0 MB AM 则 m x1 y1 x2 m y2 AM MB 所以Error 因为点 A B 在抛物线 C 上 所以 y 4x1 y 4x2 2 12 2 由 消去 x2 y1 y2得 x1 m 若此直线 l 使得 AM OM MB 成等比数列 则 OM 2 MB AM 即 OM 2 AM AM 所以 m2 x1 m 2 y 2 1 因为 y 4x1 x1 m 所以 m2 x1 m 2 4x1 2 1 m x1 整理得 x 3m 4 x1 m2 0 2 1 因为存在直线 l 使得 AM OM MB 成等比数列 所以关于 x1的方程 有正根 因为方程 的两根之积为 m2 0 所以只可能有两个正根 所以Error 解得 m 4 故当 m 4 时 存在直线 l 使得 AM OM MB 成等比数列 解法二 设使得 AM OM MB 成等比数列的直线 AB 方程为 x m m 0 或 y k x m k 0 当直线 AB 方程为 x m 时 A m B m 4m4m 因为 AM OM MB 成等比数列 所以 OM 2 MB AM 即 m2 4m 用心 爱心 专心 解得 m 4 或 m 0 舍 当直线 AB 方程为 y k x m 时 由Error 得 k2x2 2k2m 4 x k2m2 0 设 A