北京第十八中学高三数学第一轮复习 30 导数的概念、性质与运算（1）教学案（教师版）

用心 爱心 专心 1 教案教案 3030 导数的概念 性质与运算 导数的概念 性质与运算 1 1 一 课前检测一 课前检测 1 函数y ax2 1 的图象与直线y x相切 则a B A B C D 1 1 84 1 2 1 2 若 则 答案 答案 2 0 x f k xfkxf k 2 00 0 lim 1 3 在曲线y x2 1 的图象上取一点 1 2 及邻近一点 1 x 2 y 则为 C x y A x 2 B x 2 C x 2 D 2 x x 1 x 1 x 1 4 已知两曲线和都经过点 P 1 2 且在点 P 处有公切线 试axxy 3 cbxxy 2 求 a b c 值 答案 答案 1 2 1abc 二 知识梳理二 知识梳理 1 平均变化率 函数在上的平均变化率为 若 f x 12 x x 21 xxx 则平均变化率可表示为 21 yf xf x 解读 解读 2 导数的概念 设函数在区间上有定义 当无限接近于 0 时 比 yf x a b 0 xa b x 值 无限趋近于一个常数 则称在点处可导 并称常数为函数A f x 0 xx A 在处的 记作 f x 0 xx 解读 解读 3 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点 f x 0 x 0 fx yf x 处的 4 常见函数的导数 用心 爱心 专心 2 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f xc fx n f xxnQ fx sinf xx fx cosf xx fx x f xa fx x f xe fx logaf xx fx lnf xx fx 解读 解读 5 导数运算法则 1 2 f xg x f x g xA 3 f x g x 0 g x 解读 解读 6 简单复合函数的导数 若 则 即 yf u uaxb xux yyu x y 解读 解读 三 典型例题分析三 典型例题分析 例例 1 1 求下列函数的导数 1 y 2x2 1 3x 1 答案 答案 2 1843yxx 2 答案 答案 xxysin 2 2 2 sincosyxxxx 3 答案 答案 ln x y x 2 1 ln x y x 用心 爱心 专心 3 4 答案 答案 ln 32yx 3 32 y x 5 y 答案 答案 sin 2 3 x 2cos 2 3 yx 变式训练 变式训练 设 求 答案 答案 ln 1 0 0 0 1 0 xx f xx x x fx 2 1 0 1 0 0 1 0 x x fxx x x 小结与拓展 一定要熟记导数公式及求导法则 它是导数问题的基础 小结与拓展 一定要熟记导数公式及求导法则 它是导数问题的基础 导数的几何意义 导数的几何意义 例例 2 2 已知曲线 3 4 3 1 3 xy 1 求曲线在点 P 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点 P 2 4 的切线方程 3 求曲线斜率为 4 的切线方程 简答 简答 在点 P 2 4 处的切线与过点 P 2 4 的切线的意义是不同的 1 点 P 2 4 是切点 在点 P 2 4 处的切线斜率就是函数在该点处的导数 由点斜式可得切 线方程 4x y 4 0 2 点 P 2 4 可以不是切点 因 P 2 4 在曲线上 当然也可以是 切点 所以 2 的答案应包含 4x y 4 0 另外过点 P 2 4 可能存在的切线可有如下求 法 设切点 Q 则切线 PQ 的斜率 所以 由斜率公式得 3 00 14 33 xx 2 0 kyx 整理得 为因式分解添加项得 3 0 2 0 0 14 4 33 2 x x x 32 00 340 xx 322 000 4 1 0 xxx 即 解得除之外的解 于是 k 得 x y 2 0 2 00 1 2 0 xx 0 2x 0 1x 2 1 1 3 已知切线斜率为 4 即 4 所以 或 2 得切点 2 4 和 2 2 0 kyx 0 2x 4 3 于是 斜率为 4 的切线方程为 4x y 4 0 和 12x 3y 20 0 变式训练 变式训练 曲线的切线中 求斜率最小的切线方程 答案 答案 32 3610yxxx 用心 爱心 专心 4 3170 xy 小结与拓展 小结与拓展 本题的各小题都是考查导数的几何意义的 导数的几何意义是曲线在该点 处的切线的斜率 注意 在在 与 过过 的区别 例例 3 3 曲线上有两点A 4 0 B 2 4 求 2 4yxx 1 割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程 2 在曲线AB上是否存在点C 使过C点的切线与AB所在直线平行 若存在 求出C 点的坐标 若不存在 请说明理由 解 解 1 kAB 2 42 04 y 2 x 4 所求割线AB所在直线方程为 2x y 8 0 2 2x 4 2x 4 2 得x 3 y 32 3 4 3 y C点坐标为 3 3 所求切线方程为 2x y 9 0 变式训练 变式训练 已知曲线y x2 1 与y 3 x3在x x0处的切线互相垂直 求x0 答案 答案 3 6 1 解 在x x0处曲线y x2 1 的切线斜率为 2x0 曲线y 3 x3的切线斜率