高中数学《集合的含义及其表示》文字素材2 北师大版必修1

用心 爱心 专心1 集合的含义及其表示集合的含义及其表示 一 集合 1 集合 某些指定的对象集在一起成为集合 1 集合中的对象称元素 若 a 是集合 A 的元素 记作Aa 若 b 不是集合 A 的元 素 记作Ab 2 集合中的元素必须满足 确定性 互异性与无序性 确定性 设 A 是一个给定的集合 x 是某一个具体对象 则或者是 A 的元素 或者 不是 A 的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 互异性 一个给定集合中的元素 指属于这个集合的互不相同的个体 对象 因 此 同一集合中不应重复出现同一元素 无序性 集合中不同的元素之间没有地位差异 集合不同于元素的排列顺序无关 3 表示一个集合可用列举法 描述法或图示法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内 描述法 把集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号 内 具体方法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再 画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 注意 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一 般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 4 常用数集及其记法 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 整数集 记作 Z 有理数集 记作 Q 实数集 记作 R 2 集合的包含关系 1 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 则称 A 是 B 的子集 或 B 包含 A 记作 A B 或BA 集合相等 构成两个集合的元素完全一样 若 A B 且 B A 则称 A 等于 B 记作 A B 若 A B 且 A B 则称 A 是 B 的真子集 记作 A B 2 简单性质 1 A A 2 A 3 若 A B B C 则 A C 4 若集合 A 是 n 个元素的集合 则 集合 A 有 2n个子集 其中 2n 1 个真子集 3 全集与补集 1 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集 记作 U 2 若 S 是一个集合 A S 则 S C AxSxx 且称 S 中子集 A 的补集 3 简单性质 1 S C S C A 2 S CS S C S 4 交集与并集 用心 爱心 专心2 1 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交 集 交集 BxAxxBA 且 2 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 BxAxxBA 或并集 注意 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 区分交集与 并集的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出 发去揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的 思想方法 5 集合的简单性质 1 ABBAAAAA 2 ABBAAA 3 BABA 4 BBABAABABA 5 S C A B S CA S CB S C A B S CA S CB 二 函数 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意 一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数 的值域 注意 1 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 2 函数符号 y f x 中的 f x 表示与 x 对应的函数值 一个数 而不是 f 乘 x 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 1 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域 函数的定义域包含三种形式 自然型 指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围 如 分式函数的分母不为零 偶次根式函数的被开方数为非负数 对数函数的真数为正数 等等 限制型 指命题的条件或人为对自变量 x 的限制 这是函数学习中重点 往往也是难 点 因为有时这种限制比较隐蔽 容易犯错误 实际型 解决函数的综合问题与应用问题时 应认真考察自变量 x 的实际意义 2 求函数的值域是比较困难的数学问题 中学数学要求能用初等方法求一些简单函 数的值域问题 用心 爱心 专心3 配方法 将函数转化为二次函数 判别式法 将函数转化为二次方程 不等式 法 运用不等式的各种性质 函数法 运用基本函数性质 或抓住函数的单调性 函数图象等 3 两个函数的相等 函数的定义含有三个要素 即定义域 A 值域 C 和对应法则 f 当函数的定义域及 从定义域到值域的对应法则确定之后 函数的值域也就随之确定 因此 定义域和对应 法则为函数的两个基本条件 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时 这 两个函数才是同一个函数 4 区间 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 5 映射的概念 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记作 f A B 函数是建立在两个非空数集间的一种对应 若将其中的条件 非空数集 弱化为 任意两个非空集合 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系 这 种的对应就叫映射 注意 1 这两个集合有先后顺序 A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的 其中 f 表示具体的对应法则 可以用汉字叙述 2 都有唯一 什么意思 包含两层意思 一是必有一个 二是只有一个 也就是说有且只有一个的意思 6 常用的函数表示法 1 解析法 就是把两个变量的函数关系 用一个等式来表示 这个等式叫做函数的 解析表达式 简称解析式 2 列表法 就是列出表格来表示两个变量的函数关系 3 图象法 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7 分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间 而每个子区间的解析式不同 这种函数又称 分段函数 8 复合函数 若 y f u u g x x a b u m n 那么 y f g x 称为复合函数 u 称为中间变量 它的取值范围是 g x 的值域 三 函数性质 1 奇偶性 1 定义 如果对于函数 f x 定义域内的任意 x 都有 f x f x 则称 f x 为奇函 数 如果对于函数 f x 定义域内的任意 x 都有 f x f x 则称 f x 为偶函数 如果函数 f x 不具有上述性质 则 f x 不具有奇偶性 如果函数同时具有上述两条性 用心 爱心 专心4 质 则 f x 既是奇函数 又是偶函数 注意 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 1 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内 2 的任意一个 x 则 x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 2 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 1 确定 f x 与 f x 的关系 2 作出相应结论 3 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 3 简单性质 图象的对称性质 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 一个 函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称 设 f x g x的定义域分别是 12 D D 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 单调性 1 定义 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 减函数 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 1 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 2 2 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数 y f x 在这 一区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 3 设复合函数 y f g x 其中 u g x A 是 y f g x 定义域的某个区间 B 是映 射 g x u g x 的象集 若 u g x 在 A 上是增 或减 函数 y f u 在 B 上也是增 或减 函数 则函 数 y f g x 在 A 上是增函数 若 u g x 在 A 上是增 或减 函数 而 y f u 在 B 上是减 或增 函数 则函数 y f g x 在 A 上是减函数 4 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 任取 x1 x2 D 且 x1 x2 1 作差 f x1 f x2 2 变形 通常是因式分解和配方 3 定号 即判断差 f x1 f x2 的正负 4 用心 爱心 专心5 下结论 即指出函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性 5 5 简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同 偶函数在其对称区间上的单调性相反 在公共定义域内 增函数 xf增函数 xg是增函数 减函数 xf减函数 xg是减函数 增函数 xf减函数 xg是增函数 减函数 xf增函数 xg是减函数 3 最值 1 定义 最大值 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 对于任意 的 x I 都有 f x M 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大 值 最小值 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 对于任意 的 x I 都有 f x M 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大 值 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在 x0 I 使得 f x0 M 1 函数最大 小 应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的 x I 都有 2 f x M f x M 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 4 周期性 1 定义 如果存在一个非零常数 T 使得对于函数定义域内的任意 x 都有 f x T f x 则称 f x 为周期函数 2 性质 f x T f x 常常写作 2 2 T xf T xf 若 f x 的周期中 存在一个最 小的正数 则称它为 f x 的最小正周期 若周期函数 f x 的周期为 T 则 f x 用心 爱心 专心6 0 是周期函数 且周期为 T 4 函数图象 1 作图方法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种 即列表描点法和图象变换 法 掌握这两种方法是本讲座的重点 作函数图象的步骤 确定函数的定义域 化简函数的解析式 讨论函数的性 质即单调性 奇偶性 周期性 最值 甚至变化趋势 描点连线 画出函数的图象 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性 也应避免盲目地连点成线要把表列在关 键处 要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围 大致特征 变化趋势等作 一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质 方程 不等式等理论和手段 是一个 难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换 以及确定怎 样的变换 这也是个难点 2 三种图象变换 平移变换 对称变换和伸缩变换等等 平移变换 水平平移 函数 yf xa 的图像可以把函数 yf x 的图像沿x轴方向向 左 0 a 或向右 0 a 平移 a个单位即可得到 1 y f x h左移 y f x h 2 y f x h右移 y f x h 竖直平移 函数 yf xa 的图像可以把函数 yf x 的图像沿x轴方向向 上 0 a 或向下 0 a 平移 a个单位即可得到 1 y f x h上移 y f x h 2 y f x h下移 y f x h 对称变换 函数 yfx 的图像可以将函数 yf x 的图像关于y轴对称即可得到 y f x 轴y y f x 函数 yf x 的图像可以将函数 yf x 的图像关于x轴对称即可得到 y f x 轴x y f x 函数 yfx 的图像可以将函数 yf x 的图像关于原点对称即可得到 用心 爱心 专心7 y f x 原点 y f x 函数 yfx 的图像可以将函数 yf x 的图像关于直线yx 对称得到 y f x xy 直线 x f y 函数 2 xafy 的图像可以将函数 yf x 的图像关于直线ax 对称即 可得到 y f x ax 直线 y f 2a x 翻折变换 函数 yf x 的图像可以将函数 yf x 的图像的x轴下方部分沿x轴翻折 到x轴上方 去掉原x轴下方部分 并保留 yf x 的x轴上方部分即可得到 y f x cba o y x y f x cb a o y x 函数 yfx 的图像可以将函数 yf x 的图像右边沿y轴翻折到y轴左 边替代原y轴左边部分并保留 yf x 在y轴右边部分即可得到 y f x cba o y x y f x cb a o y x 伸缩变换 函数 yaf x 0 a 的图像可以将函数 yf x 的图像中的每一点横坐标 不变纵坐标伸长 1 a 或压缩 01a 为原来的a倍得到 y f x ay y af x 用心 爱心 专心8 函数 yf ax 0 a 的图像可以将函数 yf x 的图像中的每一点纵坐标 不变横坐标伸长 1 a 或压缩 01a 为原来的 1 a 倍得到 f x y f x ax y f ax 3 识图 分布范围 变化趋势 对称性 周期性等等方面 5 方程的根与函数的零点 1 函数零点 概念 对于函数 Dxxfy 把使0 xf成立的实数x叫做函数 Dxxfy 的零点 函数零点的意义 函数 xfy 的零点就是方程0 xf实数根 亦即函数 xfy 的图象与x轴交点的横坐标 即 方程0 xf有实数根 函数 xfy 的图象与x轴有交点 函数 xfy 有零点 二次函数 0 2 acbxaxy的零点 方程0 2 cbxax有两不等实根 二次函数的图象与x轴有两个 交点 二次函数有两个零点 方程0 2 cbxax有两相等实根 二重根 二次函数的图象与 x轴有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 方程0 2 cbxax无实根 二次函数的图象与x轴无交点 二次 函数无零点 零点存在性定理 如果函数 xfy 在区间 ba上的图象是连续不断的一条曲线 并且有0 bfaf 那么函数 xfy 在区间 ba内有零点 既存在 bac 使得0 cf 这个c也就是方程的根 6 二分法 二分法及步骤 对于在区间a b上连续不断 且满足 af bf0 的函数 xfy 通过 用心 爱心 专心9 不断地把函数 xf的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度 用二分法求函数 xf的零点近似值的步骤如下 1 确定区间a b 验证 af bf0 给定精度 2 求区间a b的中点 1 x 3 计算 1 xf 若 1 xf 0 则 1 x就是函数的零点 若 af 1 xf 0 则令b 1 x 此时零点 10 xax 若 1 xf bf0 f x 在区间 p q 上的最大值 M 最小值 m 令 x0 2 1 p q 若 a b 2 p 则 f p m f q M 用心 爱心 专心10 若 p a b 2 x0 则 f a b 2 m f q M 若 x0 a b 2 q 则 f p M f a b 2 m 若 a b 2 q 则 f p M f q m 3 二次方程 f x ax2 bx c 0 的实根分布及条件 方程 f x 0 的两根中一根比 r 大 另一根比 r 小 a f r 0 二次方程 f x 0 的两根都大于 r 0 2 04 2 rfa r a b acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内有两根 0 0 2 04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内只有一根 f p f q 0 或 f p 0 检验 或 f q 0 检验 检验另一根若在 p q 内成立 四 基本函数 1 指数与对数运算 1 根式的概念 定义 若一个数的n次方等于 1 Nnna且 则这个数称a的n次方根 即若axn 则x称a的n次方根 1 Nnn且 1 当n为奇数时 na的次方根记作 n a 2 当n为偶数时 负数a没有n次方根 而正数a有两个n次方根且互为相反数 记作 0 aa n 性质 1 aa nn 2 当n为奇数时 aa nn 3 当n为偶数时 0 0 aa aa aa n 2 幂的有关概念 用心 爱心 专心11 规定 1 naaaa n N 2 0 1 0 aa n 个 3 p a a p p 1 Q 4 maaa nm n m 0 nN 且 1 n 性质 1 raaaa srsr 0 sQ 2 raaa srsr 0 s Q 3 rbababa rrr 0 0 Q 注 上述性质对 r sR 均适用 3 对数的概念 定义 如果 1 0 aaa且的 b 次幂等于 N 就是Nab 那么数b称以 a为底 N 的对数 记作 logbN a 其中a称对数的底 N 称真数 1 以 10 为底的对数称常用对数 N 10 log记作Nlg 2 以无理数 71828 2 ee为底的对数称自然对数 N e log 记作Nln 基本性质 1 真数 N 为正数 负数和零无对数 2 01log a 3 1log a a 4 对数恒等式 Na N a log 运算性质 如果 0 0 0 0 NMaa则 1 NMMN aaa loglog log 2 NM N M aaa logloglog 3 nMnM a n a loglogR 换底公式 0 1 0 0 0 log log log Nmmaa a N N m m a 用心 爱心 专心12 1 1loglog ab ba 2 b m n b a n am loglog 2 指数函数与对数函数 1 指数函数 定义 函数 1 0 aaay x 且称指数函数 1 函数的定义域为 R 2 函数的值域为 0 3 当10 a时函数为减函数 当1 a时函数为增函数 函数图像 1 指数函数的图象都经过点 0 1 且图象都在第一 二象限 2 指数函数都以x轴为渐近线 当10 a时 图象向左无限接近x轴 当 1 a时 图象向右无限接近x轴 3 对于相同的 1 0 aaa且 函数 xx ayay 与的图象关于y轴对称 函数值的变化特征 2 对数函数 定义 函数 1 0 log aaxy a 且称对数函数 1 函数的定义域为 0 2 函数的值域为 R 10 a1 a 100 yx时 10 yx时 10 yx时 10 yx时 10 yx时 100 yx时 用心 爱心 专心13 3 当10 a时函数为减函数 当1 a时函数为增函数 4 对数函数xy a log 与指数函数 1 0 aaay x 且互为反函数 函数图像 1 对数函数的图象都经过点 0 1 且图象都在第一 四象限 2 对数函数都以y轴为渐近线 当10 a时 图象向上无限接近y轴 当1 a时 图象向下无限接近y轴 4 对于相同的 1 0 aaa且 函数xyxy a a1 loglog 与的图象关于x轴对称 函数值的变化特征 3 幂函数 yx 01在第一象限的图象 可分为如图中的三类 101 0 10 a1 a 01 yx时 01 yx时 010 yx时 01 yx时 01 yx时 100 yx时 用心 爱心 专心14 图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时 所涉及的幂函数yx 中 限于 在集合 21 1 2 1 3 1 2 123 中取值 幂函数有如下性质 它的图象都过 1 1 点 都不过第四象限 且除原点外与坐标轴都不相交 定义域为 R 或的幂函数都具有奇偶性 定义域为 R 或 0的幂函数都不具有 奇偶性 幂函数yx 0都是无界函数 在第一象限中 当 0时为减函数 当 0时为增函数 任意两个幂函数的图象至少有一个公共点 1 1 至多有三个公共点 B 版必修 2 知识点 一 立体几何初步 一 几何体 1 柱 锥 台 球的结构特征 1 柱 棱柱 一般的 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 棱柱中两个互相平行的面叫 做棱柱的底面 简称为底 其余各面叫做棱柱的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 底面是三角形 四边形 五边形 的棱柱分别叫做三棱柱 四棱柱 五棱柱 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 无论 旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体 2 锥 用心 爱心 专心15 棱锥 一般的有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些 面所围成的几何体叫做棱锥 这个多边形面叫做棱锥的底面或底 有公共顶点的各个三 角形面叫做棱锥的侧面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱 底面是三角锥 四边锥 五边锥 的棱柱分别叫做三棱锥 四棱锥 五棱锥 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥 旋转轴为圆锥的轴 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的 底面 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面 棱锥与圆锥统称为锥体 3 台 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥 底面和截面之间的部分叫做棱台 原棱 锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面 棱台也有侧面 侧棱 顶点 圆台 用一个平行于底面的平面去截圆锥 底面和截面之间的部分叫做圆台 原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面 圆台也有侧面 母线 轴 圆台和棱台统称为台体 4 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体 简称 为球 半圆的圆心叫做球的球心 半圆的半径叫做球的半径 半圆的直径叫做球的直径 5 组合体 由柱 锥 台 球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体 2 空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体 画出的空间几何体的图形 他具体包括 1 正视图 物体前后方向投影所得到的投影图 它能反映物体的高度和长度 2 侧视图 物体左右方向投影所得到的投影图 它能反映物体的高度和宽度 3 俯视图 物体上下方向投影所得到的投影图 它能反映物体的长度和宽度 3 空间几何体的直观图 1 斜二测画法 建立直角坐标系 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX OY 建立直角坐 标系 画出斜坐标系 在画直观图的纸上 平面上 画出对应的 O X O Y 使 X OY 450 或 1350 它们确定的平面表示水平平面 画对应图形 在已知图形平行于 X 轴的线段 在直观图中画成平行于 X 轴 且长度 保持不变 在已知图形平行于 Y 轴的线段 在直观图中画成平行于 Y 轴 且长度变为 原来的一半 用心 爱心 专心16 擦去辅助线 图画好后 要擦去 X 轴 Y 轴及为画图添加的辅助线 虚线 2 平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的 中心投影的投影线相交于一点 二 面积与体积 1 多面体的面积和体积公式 名称侧面积 S侧 全面积 S全 体 积 V 棱 柱 直截面周长 l S底 h S直截 面 h 棱 柱 直 棱 柱 ch S侧 2S 底 S底 h 棱 锥 各侧面积之和 棱 锥 正 棱 锥 2 1 ch S侧 S底 3 1 S底 h 棱 台 各侧面面积之和 棱 台 正 棱 台 2 1 c c h S侧 S上 底 S下底 3 1 h S上底 S下底 下底下底 SS 表中 S 表示面积 c c 分别表示上 下底面周长 h 表斜高 h 表示斜高 l 表 示侧棱长 2 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱圆锥圆台球 S侧2 rl rl r1 r2 l S全2 r l r r l r r1 r2 l r21 r22 4 R2 用心 爱心 专心17 V r2h 即 r2l 3 1 r2h 3 1 h r21 r1r2 r22 3 4 R3 表中 l h 分别表示母线 高 r 表示圆柱 圆锥与球冠的底半径 r1 r2分别表示圆台 上 下底面半径 R 表示半径 三 空间点线面 1 平面概述 1 平面的两个特征 无限延展 平的 没有厚度 2 平面的画法 通常画平行四边形来表示平面 3 平面的表示 用一个小写的希腊字母 等表示 如平面 平面 用 表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示 如平面 AC 2 三公理三推论 公理 1 若一条直线上有两个点在一个平面内 则该直线上所有的点都在这个平面内 Al Bl A B l 公理 2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的直线 公理 3 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 推论一 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 推论二 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论三 经过两条平行直线 有且只有一个平面 3 空间直线 1 空间两条直线的位置关系 相交直线 有且仅有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 相交直线和平行直线也称为共面直 线 异面直线的画法常用的有下列三种 2 平行直线 在平面几何中 平行于同一条直线的两条直线互相平行 这个结论在空间也是成立的 即公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 异面直线定理 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的 直 线是异面直线 推理模式 ABaBa AB与 a 是异面直线 a b a b a b 用心 爱心 专心18 4 直线和平面的位置关系 1 直线在平面内 无数个公共点 2 直线和平面相交 有且只有一个公共点 3 直线和平面平行 没有公共点 用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下 符号分别可表示为a aA a a a A a 线面平行的判定定理 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 推理模式 ababa 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个 平面相交 那么这条直线和交线平行 推理模式 aabab 5 两个平面的位置关系有两种 两平面相交 有一条公共直线 两平面平行 没有公 共点 1 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平 面 那么这两个平面平行 定理的模式 a b abP a b b a b a P P a b c b a 用心 爱心 专心19 推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 那么这两个平面互相平行 推论模式 abP ababP abaa bb 2 两个 平面平行的性质 1 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的直线平 6 线线垂直 判断线线垂直的方法 所成的角是直角 两直线垂直 垂直于平行线中的一条 必 垂直于另一条 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果 和这个平面的一条斜线垂直 那麽它也和这条斜线的射 影垂直 推理模式 POO PAAaAO aaAP 注意 三垂线指 PA PO AO 都垂直 内的直线 a 其实质是 斜线和平面内一条 直线垂直的判定和性质定理 要考虑 a 的位置 并注意两定理交替使用 7 线面垂直 定义 如果一条直线 l 和一个平面 相交 并且和平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线 l 和平面 互相 垂直其中直线 l 叫做平面的垂线 平面 叫做直线 l 的垂面 直线与平面的交点叫做垂足 直线 l 与平面 垂直记作 l 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平 行 8 面面垂直 两个平面垂直的定义 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 两平面垂直的判定定理 线面垂直 面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 两平面垂直的性质定理 面面垂直 线面垂直 若两个平面互相垂直 那么在 一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 二 解析几何初步 a P O A 用心 爱心 专心20 1 倾斜角 一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角 叫做直线的倾斜 角 范围为 0 2 斜率 当直线的倾斜角不是 900时 则称其正切值为该直线的斜率 即k tan 当 直线的倾斜角等于 900时 直线的斜率不存在 3 过两点 p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式 k tan 12 12 xx yy 若 x1 x2 则 直线 p1p2的斜率不存在 此时直线的倾斜角为 900 4 直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件 确定直线方程的形 式很多 但必须注意各种形式的直线方程的适用范围 名称方程说明适用条件 斜截式y kx b k 斜率 b 纵截距 倾斜角为 90 的直线不 能用此式 点斜式y y0 k x x0 x0 y0 直线上 已知点 k 斜率 倾斜角为 90 的直线不 能用此式 两点式 12 1 yy yy 12 1 xx xx x1 y1 x2 y2 是直线 上两个已知点 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 截距式 a x b y 1 a 直线的横截距 b 直线的纵截距