【2013年中考攻略】中考数学 专题4 韦达定理应用探讨

用心 爱心 专心1 2013 2013 年中考攻略年中考攻略 专题专题 4 4 韦达定理应用探讨 韦达定理应用探讨 韦达 1540 年出生于法国的波亚图 早年学习法律 但他对数学有浓厚的兴趣 常利用业余时间钻 研数学 韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研 究的重大进步 韦达讨论了方程根的各种有理变换 发现了方程根与系数之间的关系 所以人们把叙述 一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 人们为了纪念他在代数学上的功绩 称他为 代 数学之父 韦达定理说的是 设一元二次方程有二实数根 则 2 ax bx c 0 a0 12 xx 1212 bc x x xx aa 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a b c 的关系 其逆命题 如果 满足 那么是一元二次方程的两个根也成立 12 xx 1212 bc x x xx aa 12 xx 2 ax bx c 0 a0 韦达定理的应用有一个重要前提 就是一元二次方程必须有解 即根的判别式 2 b4ac0 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用 锦元 数学工作室将其应用归纳为 不解方程求方程的两根和与两根积 求对称代数式的值 构造一 元二次方程 求方程中待定系数的值 在平面几何中的应用 在二次函数中的应用 下面通过 近年全国各地中考的实例探讨其应用 一 不解方程求方程的两根和与两根积 一 不解方程求方程的两根和与两根积 已知一元二次方程 可以直接根据韦达定理求得两根和与 两根积 典型例题 典型例题 例 1 20122012 湖北武汉湖北武汉 3 3 分 分 若 x1 x2是一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根 则 x1 x2的值是 A 2 B 2 C 3 D 1 答案答案 C 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 根据一元二次方程根与系数的关系 得 x1 x2 3 故选 C 例 2 2 20 00 01 1 湖湖北北武武汉汉 3 3 分分 若 x1 x2是一元二次方程x2 4x 3 0 的两个根 则x1 x2的 值是 A 4 B 3 C 4 D 3 答案答案 B 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 用心 爱心 专心2 分析分析 根据一元二次方程的根与系数的关系 得 故选 B 12 c3 xx 3 a1 例 3 20122012 山东烟台山东烟台 3 3 分 分 下列一元二次方程两实数根和为 4 的是 A x2 2x 4 0 B x2 4x 4 0 C x2 4x 10 0 D x2 4x 5 0 答案答案 D 考点考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 分析分析 根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 要使方程的两实数根和为 4 必须方程根的 判别式 b2 4ac 0 且 x1 x2 4 据此逐一作出判断 b a A x2 2x 4 0 b2 4ac 20 0 x1 x2 2 所以本选项不合题意 b a B x2 4x 4 0 b2 4ac 0 x1 x2 4 所以本选项不合题意 b a C x2 4x 10 0 b2 4ac 28 0 方程无实数根 所以本选项不合题意 D x2 4x 5 0 b2 4ac 36 0 x1 x2 4 所以本选项符号题意 b a 故选 D 例 4 20122012 广西来宾广西来宾 3 3 分 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 x m 0 的一个实数根为 1 那么它的另一个 实数根是 A 2 B 0 C 1 D 2 答案答案 A 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 设方程的另一个实数根为 x 则根据一元二次方程根与系数的关系 得 x 1 1 解得 x 2 故选 A 练习题 练习题 1 20072007 重庆市重庆市 3 3 分 分 已知一元二次方程的两根为 x1 x2 则 x1 x2 2 2x3x10 2 20052005 浙江湖州浙江湖州 3 3 分 分 已知一元二次方程的两个根为 x1 x2 则 x1 x2的值是 2 x12x70 A 12 B 12 C 7 D 7 3 20112011 广西来宾广西来宾 3 3 分 分 已知一元二次方程 x2 mx 2 0 的两个实数根分别为 x1 x2 则 x1 x2 4 20112011 湖北咸宁湖北咸宁 3 3 分 分 若关于的方程的一个根为 则另一个根为 x02 2 mxx1 A B C 1D 3 3 1 用心 爱心 专心3 5 20112011 云南昆明云南昆明 3 3 分 分 若 x1 x2是一元二次方程 2x2 7x 4 0 的两根 则 x1 x2与 x1 x2的值分别是 A 2B 2 C 2 D 2 7 2 7 2 7 2 7 2 二 二 求对称代数式的值 求对称代数式的值 应用韦达定理及代数式变换 可以求出一元二次方程两根的对称式的值 所谓对称式 即若将代数式中的任意两个字母交换 代数式不变 则称这个代数式 f xy f yx 为完全对称式 如等 扩展后 可以视中与对称 22 11 x y xy xy xy 典型例题 典型例题 例 1 20122012 四川攀枝花四川攀枝花 3 3 分 分 已知一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根分别是 x1 x2 则 x12x2 x1x22 的值为 A 3B 3C 6D 6 答案答案 A 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 求代数式的值 分析分析 由一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根分别是 x1 x2 根据一元二次方程根与系数的关系得 x1 x2 3 x1x2 1 x12x2 x1x22 x1x2 x1 x2 1 3 3 故选 A 例 2 20122012 山东莱芜山东莱芜 3 3 分 分 已知 m n 是方程 x2 2x 1 0 的两根 则代数式的值为 2 m2 n2 3mn A 9 B 3 C 3 D 5 答案答案 C 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 求代数式的值 分析分析 m n 是方程 x2 2x 1 0 的两根 m n mn 1 2 2 2 故选 C 2 2 22 m n 3mn m n mn 2 2 1 8 1 9 3 例 3 20122012 江苏江苏南通南通 3 3 分 分 设 m n 是一元二次方程 x2 3x 7 0 的两个根 则 m2 4m n 答案答案 4 考点考点 求代数式的值 一元二次方程的解 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 m n 是一元二次方程 x2 3x 7 0 的两个根 用心 爱心 专心4 m 2 3 m 7 0 即 m 2 3 m 7 m n 3 m2 4m n m 2 3 m m n 7 3 4 例 4 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分 分 设 x1 x2是一元二次方程 x2 5x 3 0 的两个实根 且 则 a 2 122 2x x6x3 a4 答案答案 10 考点考点 一元二次方程的解和根与系数的关系 分析分析 x1 x2是一元二次方程 x2 5x 3 0 的两个实根 x22 5x2 3 0 x1x2 3 又 即 即 2 122 2x x6x3 a4 2 1222 2x x5x3x a4 12 2x 0 x a4 即 解得 a 10 12 2x xa4 23a4 练习题 练习题 1 20122012 湖南张家界湖南张家界 3 3 分 分 已知 m 和 n 是方程 2x2 5x 3 0 的两根 则 11 mn 2 20122012 四川泸州四川泸州 3 3 分 分 设 x1 x2是一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个实数根 则 的值为 22 1212 xx4x x 3 20122012 山东日照山东日照 4 4 分 分 已知 x1 x2是方程 2x2 14x 16 0 的两实数根 那么的值为 21 12 xx xx 4 20122012 黑龙江绥化黑龙江绥化 3 3 分 分 设 a b 是方程 x2 x 2013 0 的两个不相等的实数根 则 a2 2a b 的值 为 5 20122012 黑龙江大庆黑龙江大庆 4 4 分 分 若方程的两实根为 求的值 2 xx10 ab 11 ab 6 20112011 湖北荆州 湖北荆州 荆门荆门 3 3 分 分 关于的方程有两个不相等的实根 x 2 ax 3a1 x2 a1 0 1 x 2 x 且有 则的值是 1122 xx xx1a a A B C 或 D 11 11 2 7 20112011 贵州黔东南贵州黔东南 4 4 分 分 若 是一元二次方程的两根 则的值为 ab 2 x2011x10 11 ab A 2010 B 2011 C D 2010 1 2011 1 8 20112011 江苏苏州江苏苏州 3 3 分 分 已知 是一元二次方程的两个实数根 则代数式ab 2 x2x10 的值等于 abab2ab 用心 爱心 专心5 9 20112011 山东德州山东德州 4 4 分 分 若 x1 x2是方程 x 2 x 1 0 的两个根 则 x 12 x 22 10 20112011 广西玉林 防城港广西玉林 防城港 6 6 分 分 已知 是一元二次方程的两个实数根 求 1 x 2 x 2 x4x10 的值 2 12 12 11 xx xx 三 三 构造一元二次方程 构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积 则可以利用韦达定理构造以这 两个字母为根的一元二次方程 扩展后字母可为代数式 典型例题 典型例题 例 1 20122012 湖北随州湖北随州 4 4 分 分 设 且 1 ab2 0 则 242 a2a10b2b10 5 22 ab b3a 1 a 例 2 20122012 四川内江四川内江 1212 分 分 如果方程的两个根是 那么 2 0 xpxq 12 xx 请根据以上结论 解决下列问题 1212 xxp x xq 1 已知关于的方程求出一个一元二次方程 使它的两个根分别是已知方程x 2 0 0 xmxnn 两根的倒数 用心 爱心 专心6 2 已知满足 求 a b 22 1550 1550aabb ab ba 的值 3 已知满足求正数的最小值 a b c0 16abcabc c 答案答案 解 1 设关于的方程的两根为 则有 x 2 0 0 xmxnn 12 xx 且由已知所求方程的两根为 1212 xxm x xn 12 11 xx 12 1212 11xxm xxx xn 1212 1111 xxx xn 所求方程为 即 2 1 0 m xx nn 2 10 0 nxmxn 2 满足 a b 22 1550 1550aabb 是方程的两根 a b 2 1550 xx 15 5abab 22 222 215 2247 5 ababababab baababab 3 且 0 16abcabc 0c 16 abc ab c 是一元二次方程的两个根 a b 2 16 00 xc xc c 代简 得 22 1600cxc xc 又 此方程必有实数根 此方程的 即 0 2 2 4160cc 33 40c c 又 0c 33 40c 4c 正数的最小值为 4 c 考点考点 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 代数式化简 分析分析 1 设方程的两根为 得出 再根 2 0 0 xmxnn 12 xx 12 11m xxn 12 111 xxn 据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数 即可求出答案 2 根据满足 得出是一元二次方程a b 22 1550 1550aabb a b 的两个根 由 即可求出的值 2 1550 xx 15 5abab ab ba 3 根据 得出 是一元二次方程0 16abcabc 16 abc ab c a b 用心 爱心 专心7 的两个根 再根据 即可求出的最小值 22 160cxc x 0 c 例 3 20122012 四川宜宾四川宜宾 8 8 分 分 某市政府为落实 保障性住房政策 2011 年已投入 3 亿元资金用于保障性 住房建设 并规划投入资金逐年增加 到 2013 年底 将累计投入 10 5 亿元资金用于保障性住房建设 1 求到 2013 年底 这两年中投入资金的平均年增长率 只需列出方程 2 设 1 中方程的两根分别为 x1 x2 且 mx12 4m2x1x2 mx22的值为 12 求 m 的值 答案答案 解 1 设到 2013 年底 这两年中投入资金的平均年增长率为 x 根据题意得 3 3 x 1 3 x 1 2 10 5 2 由 1 得 x2 3x 0 5 0 由一元二次方程根与系数的关系得 x1 x2 3 x1x2 0 5 又 mx12 4m2x1x2 mx22 12 即 m x1 x2 2 2x1x2 4m2x1x2 12 即 m 9 1 4m2 0 5 12 即 m2 5m 6 0 解得 m 6 或 m 1 考点考点 一元二次方程的应用 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 1 方程的应用解题关键是找出等量关系 列出方程求解 本题等量关系为 2011 年 2011 年和 2013 某市用于保障房建设资金总量 10 5 亿元 把相关数值代入求得合适的解即可 2 由 1 得到的一元二次方程 根据根与系数的关系求得关于 m 的一元二次方程 解之即 得 m 的值 例 4 20122012 贵州黔西南贵州黔西南 1414 分 分 问题 已知方程 求一个一元二次方程 使它的根分别是已 2 x x1 0 知方程根的 2 倍 解 设所求方程的根为 y 则 y 2x 所以 y x 2 把代入已知方程 得 y x 2 2 yy 1 0 22 化简 得 2 y 2y4 0 故所求方程为 2 y 2y4 0 这种利用方程根的代换求新方程的方法 我们称为 换根法 请阅读材料提供的 换根法 求新方程 要求 把所求方程化成一般形式 1 已知方程 求一个一元二次方程 使它的根分别是已知方程根的相反数 则所求方程为 2 x x2 0 用心 爱心 专心8 2 已知关于 x 的一元二次方程有两个不等于零的实数根 求一个一元二次方程 2 ax bx c 0 a0 使它的根分别是已知方程的倒数 答案答案 解 1 y2 y 2 0 2 设所求方程的根为 y 则 x 0 于是 y 0 1 y x 1 x y 把代入方程 得 1 x y 2 ax bx c 0 2 11 a b c 0 yy 去分母 得 a by cy2 0 若 c 0 有 可得有一个解为 x 0 与已知不符 不符合题意 2 ax bx 0 c 0 所求方程为 cy2 by a 0 c 0 考点考点 一元二次方程的应用 分析分析 1 设所求方程的根为 y 则 y x 所以 x y 把 x y 代入已知方程 得 y2 y 2 0 2 根据所给的材料 设所求方程的根为 y 再表示出 x 代入原方程 整理即得出所求的方程 练习题 练习题 1 20042004 辽宁沈阳辽宁沈阳 2 2 分 分 请你写出一个二次项系数为 1 两实数根之和为 3 的一元二次方程 2 20052005 山东临沂山东临沂 3 3 分 分 请写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且其两根互为倒数 3 20022002 浙江杭州浙江杭州 1010 分 分 已知某二次项系数为 1 的一元二次方程的两个实数根为 p q 且满足关系式 试求这个一元二次方程 22 pq p15 p qpq6 4 20072007 江苏淮安江苏淮安 3 3 分 分 写出一个两实数根符号相反的一元二次方程 四 四 求方程中待定系数的值 求方程中待定系数的值 已知方程两根满足某种关系 则可以利用韦达定理确定方程中待定字 母系数的值 典型例题 典型例题 例 1 20122012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 3 3 分 分 如果关于 x 的一元二次方程 x2 4x a 0 的两个不相 等实数根 x1 x2满足 x1x2 2x1 2x2 5 0 那么 a 的值为 A 3 B 3 C 13 D 13 答案答案 B 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 用心 爱心 专心9 分析分析 x1 x2是关于 x 的一元二次方程 x2 4x a 0 的两个不相等实数根 x1 x2 4 x1x2 a x1x2 2x1 2x2 5 x1x2 2 x1 x2 5 a 2 4 5 0 即 a 3 0 解得 a 3 故选 B 例 2 20122012 湖南株洲湖南株洲 3 3 分 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 bx c 0 的两根分别为 x1 1 x2 2 则 b 与 c 的值分别为 A b 1 c 2 B b 1 c 2 C b 1 c 2 D b 1 c 2 答案答案 D 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 关于 x 的一元二次方程 x2 bx c 0 的两根分别为 x1 1 x2 2 x1 x2 b 1 2 1 x1 x2 c 1 2 2 b 1 c 2 故选 D 例 3 20122012 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特 3 3 分 分 已知 x1 x2是一元二次方程 x2 2ax b 0 的两根 且 x1 x2 3 x1x2 1 则 a b 的值分别是 A a 3 b 1 B a 3 b 1 C b 1 D b 1 3 a 2 3 a 2 答案答案 D 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 x1 x2是一元二次方程 x2 2ax b 0 的两根 x1 x2 2a x1x2 b x1 x2 3 x1x2 1 2a 3 b 1 解得 b 1 故选 D 3 a 2 例 4 20122012 内蒙古包头内蒙古包头 3 3 分 分 关于 x 的一元二次方程的两个正实数根分别为 2 xmx 5 m5 0 x1 x2 且 2x1 x2 7 则 m 的值是 A 2 B 6 C 2 或 6 D 7 答案答案 B 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 解不等式和一元二次方程 分析分析 方程有两个正实数根 2 xmx 5 m5 0 12 12 x x m0 m5 xx 5 m50 又 2x1 x2 7 x1 7 m 用心 爱心 专心10 将 x1 7 m 代入方程 得 2 xmx 5 m5 0 2 7mm 7m 5 m5 0 解得 m 2 或 m 6 m 6 故选 B m5 例 5 20122012 山东威海山东威海 3 3 分 分 若关于 x 的方程的两根互为倒数 则 a 22 x a1 x a 0 答案答案 1 考点考点 一元二次方程根与系数的关系 倒数 分析分析 关于 x 的方程的两根互为倒数 设两根为 x 和 22 x a1 x a 0 1 x 则根据一元二次方程根与系数的关系 得 2 1 x 1a x 1 x a x 由得 2 1 x a x a 1 但当时 无意义 a 1 1 x 1a x a 1 例 6 20122012 湖北孝感湖北孝感 1212 分 分 已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 3 x m 1 0 1 求证 无论 m 取何值 原方程总有两个不相等的实数根 2 若 x1 x2是原方程的两根 且 x1 x2 2 求 m 的值和此时方程的两根 2 答案答案 解 1 证明 由关于 x 的一元二次方程 x2 m 3 x m 1 0 得 m 3 2 4 m 1 m 1 2 4 无论 m 取何值 m 1 2 4 恒大于 0 原方程总有两个不相等的实数根 2 x1 x2是原方程的两根 x1 x2 m 3 x1 x2 m 1 x1 x2 2 x1 x2 2 8 即 x1 x2 2 4x1x2 8 2 m 3 2 4 m 1 8 即 m2 2m 3 0 解得 m1 3 m2 1 当 m 3 时 原方程化为 x2 2 0 解得 x1 x2 22 当 m 1 时 原方程化为 x2 4x 2 0 解得 x1 2 x2 2 22 考点考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 用心 爱心 专心11 分析分析 1 根据关于 x 的一元二次方程 x2 m 3 x m 1 0 的根的判别式 b2 4ac 的符号来判定 该方程的根的情况 2 根据根与系数的关系求得 x1 x2和 x1 x2 由已知条件 x1 x2 2平方后可以得到关于2 x1 x2和 x1 x2的等式 从而列出关于 m 的方程 通过解该方程即可求得 m 的值 最后将 m 值代入原方程 并解方程 例 7 20122012 湖南怀化湖南怀化 1010 分 分 已知是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 a6 x2axa0 1 是否存在实数 a 使成立 若存在 求出 a 的值 若不存在 请你说明理由 1122 xx x4x 2 求使为负整数的实数 a 的整数值 12 x1 x1 答案答案 解 1 成立 是一元二次方程的两个实数根 12 x x 2 a6 x2axa0 由根与系数的关系可知 1212 a2a x xxx a6a6 一元二次方程有两个实数根 2 a6 x2axa0 4a2 4 a 6 a 0 且 a 6 0 解得 a 0 且 a 6 由得 即 1122 xx x4x 1212 x x4xx a2a 4 a6a6 解得 a 24 0 且 a 6 0 存在实数 a 使成立 a 的值是 24 1122 xx x4x 2 121212 a2a6 x1 x1 x xxx1 1 a6a6a6 当为负整数时 a 6 0 且 a 6 是 6 的约数 12 x1 x1 a 6 6 a 6 3 a 6 2 a 6 1 a 12 9 8 7 使为负整数的实数 a 的整数值有 12 9 8 7 12 x1 x1 考点考点 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 解分式方程 分析分析 根据根与系数的关系求得 根据一元二次方程的根的判别式求得 1212 a2a x xxx a6a6 a 的取值范围 1 将已知等式变形为 x1x2 4 x2 x1 即 通过解该关于 a 的方程即可求得 a2a 4 a6a6 用心 爱心 专心12 a 的值 2 根据限制性条件 x1 1 x2 1 为负整数 求得 a 的取值范围 然后在取值范围内取 a 的整数值 例 8 20112011 四川南充四川南充 8 8 分 分 关于的一元二次方程 x2 2x k 1 0 的实数解是 x1和 x2 1 求 k 的取值范围 2 如果 x1 x2 x1x2 1 且 k 为整数 求 k 的值 答案答案 解 1 方程有实数根 22 4 k 1 0 解得 k 0 k 的取值范围是 k 0 2 根据一元二次方程根与系数的关系 得 x1 x2 2 x1x2 k 1 x1 x2 x1x2 2 k 1 由 2 k 1 1 解得 k 2 又由 1 k 0 2 k 0 k 为整数 k 的值为 1 和 0 考点考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 解一元一次不等式组 分析分析 1 方程有两个实数根 必须满足 b2 4ac 0 从而求出实数 k 的取值范围 2 先由一元二次方程根与系数的关系 得 x1 x2 2 x1x2 k 1 再代入所给不等式即可求得 k 的取值范围 然后根据 k 为整数 求出 k 的值 例 9 练习题 练习题 1 20112011 湖南株洲湖南株洲 3 3 分 分 孔明同学在解一元二次方程时 正确解得 则 2 x3xc0 1 x1 2 x2 的值为 c 2 20112011 湖北孝感湖北孝感 1010 分 分 已知关于 x 的方程有两个实数根 x1 x2 22 2 k10 x xk 1 求的取值范围 k 2 若 求的值 1212 xxxx1 k 3 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 8 8 分 分 关于 x 的一元二次方程 22 x m3 xm0 1 证明 方程总有两个不相等的实数根 2 设这个方程的两个实数根为 x1 x2 且 x1 x2 2 求 m 的值及方程的根 4 20122012 四川南充四川南充 8 8 分 分 关于 x 的一元二次方程 x2 3x m 1 0 的两个实数根分别为 x1 x2 用心 爱心 专心13 1 求 m 的取值范围 2 若 2 x1 x2 x1x2 10 0 求 m 的值 5 20112011 四川达州四川达州 3 3 分 分 已知关于 x 的方程 x2 mx n 0 的两个根是 0 和 3 则 m n 6 20112011 四川泸州四川泸州 2 2 分 分 已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 2 0 的两实根的平方和等于 11 则 k 的 值为 7 20112011 四川乐山四川乐山 1010 分 分 题甲 已知关于 x 的方程的两根为 x1 x2 22 2 a1 a4xx7a0 且满足 求的值 1212 33xxxx20 2 4a2 1 a4a 8 20062006 北京市北京市7 7 分 分 已知 关于 x 的方程有两个实数根 x1和 x2 关于 y 的方程 2 mx14x70 有两个实数根 y1和 y2 且 2 y1 y2 4 当 22 y2 n1 yn2n0 2 12 1212 26 2 2yy140 xxxx 时 求 m 的取值范围 9 20062006 四川凉山四川凉山 6 6 分 分 已知 x2 a2x b 0 的两个实数根为 x1 x2 y1 y2是方程 y2 5ay 7 0 的两个实 数根 且 x1 y1 x2 y2 2 求 a b 的值 五 在平面几何中的应用 五 在平面几何中的应用 在平面几何中 两圆外切 两圆圆心距离等于两圆半径之和 勾股 定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用 可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题 典型例题 典型例题 用心 爱心 专心14 例 2 20032003 江苏镇江江苏镇江 6 6 分 分 已知 如图 Rt ABC 中 ACB 900 AB 5 两直角边 AC BC 的长是关于 x 的方程的两个实数根 2 xm5 x6m0 1 求 m 的值及 AC BC 的长 BC AC 2 在线段 BC 的延长线上是否存在点 D 使得以 D A C 为顶点的三角形与 ABC 相似 若存在 求出 CD 的长 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 设方程的两个根分别是 x1 x2 2 xm5 x6m0 x1 x2 m 5 x1 x2 6m 2222 121212 xxxx2x xm52 6m Rt ABC 中 ACB 90 AB 5 222 12 xxAB m2 m 0 m 0 或 m 2 22 m52 6m5 当 m 0 时 原方程的解分别为 x1 0 x2 5 但三角形的边长不能为 0 所以 m 0 舍去 当 m 2 时 原方程为 x2 7x 12 0 其解为 x1 3 x2 4 所以两直角边 AC 3 BC 4 m 2 AC 3 BC 4 2 存在 已知 AC 3 BC 4 AB 5 欲使以 AD1C 为顶 点的三角形与 ABC 相似 则 11 ABACBC ADCDAC 则 CD1 1 34 CD3 9 4 欲使以 AD2C 为顶点的三角形与 ABC 相似 则 22 ABBCAC ADCDAC BC CD2 4 用心 爱心 专心15 综上所述 在线段 BC 的延长线上是存在点 D 使得以 D A C 为顶点的三角形与 ABC 相似 CD 的长为或 4 9 4 考点考点 相似三角形的判定 根与系数的的关系 相似三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 1 先利用根与系数的关系与勾股定理求出 m 的值 再代入 m 的值求出 AC BC 的长 2 根据相似三角形的性质来解答此题 利用相似比即可求出 CD 的长 练习题 练习题 1 20122012 山东潍坊山东潍坊 3 3 分 分 已知两圆半径 r1 r2分别是方程 x2 7x 10 0 的两根 两圆的圆心距为 7 则 两圆的位置关系是 A 相交 B 内切 C 外切 D 外离 2 20062006 四川广安四川广安 8 8 分 分 已知 ABC 的两边 AB AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 2k 3 x k2 3k 2 0 的两个实数根 第三边 BC 的长为 5 试问 k 取何值时 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 3 20022002 江苏无锡江苏无锡 9 9 分 分 已知 如图 O 的半径为 r CE 切 O 于 C 且与弦 AB 的延长线交于点 E CD AB 于 D 如果 CE 2BE 且 AC BC 的长是关于 x 的方程的两个实数根 22 x3 r2 xr40 求 1 AC BC 的长 2 CD 的长 4 20022002 湖南益阳湖南益阳 1010 分 分 巳知 如图 在 ABC 中 B 90 O 是 AB 上一点 以 O 为圆心 OB 为半 径的半圆交 AB 于点 E 与 AC 切于点 D 当时 AD AE AD AE 是关于 x 的方程 22 ADAE5 x2 m 1 x m 2 0 m 0 的两个根 1 求实数 m 的值 2 证明 CD 的长度是无理方程的一个根 2 x1x1 3 以 B 点为坐标原点 分别以 AB BC 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 求过 A B D 三点 且对称轴平行于 y 轴的抛物线的解析式 用心 爱心 专心16 5 20102010 湖南株洲湖南株洲 3 3 分 分 两圆的圆心距 d 5 它们的半径分别是一元二次方程 x2 5x 4 0 的两个根 这 两圆的位置关系是 七 在二次函数中的应用 七 在二次函数中的应用 一元二次方程 ax2 bx c a 0 可以看作二次函数 y ax2 bx c a 0 当 y 0 时的情形 因此若干二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 轴交点的综合问题都可以用韦达 定理解题 典型例题 典型例题 例 1 20122012 天津市天津市 3 3 分 分 若关于 x 的一元二次方程 x 2 x 3 m 有实数根 x1 x2 且 x1 x2 有 下列结论 x1 2 x2 3 1 m 4 二次函数 y x x1 x x2 m 的图象与 x 轴交点的坐标为 2 0 和 3 0 其中 正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 用心 爱心 专心17 例 2 20122012 甘肃兰州甘肃兰州 1010 分 分 若 x1 x2是关于一元二次方程 ax2 bx c a 0 的两个根 则方程的两个 根 x1 x2和系数 a b c 有如下关系 x1 x2 x1 x2 把它称为一元二次方程根与系数关系定 b a c a 理 如果设二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两个交点为 A x1 0 B x2 0 利用根与系 数关系定理可以得到 A B 连个交点间的距离为 AB x1 x2 2 2 2 1212 2 b4cb4ac x x4x x aaa 2 b4ac a 参考以上定理和结论 解答下列问题 设二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两个交点 A x1 0 B x2 0 抛物线的顶点为 C 显 然 ABC 为等腰三角形 1 当 ABC 为直角三角形时 求 b2 4ac 的值 2 当 ABC 为等边三角形时 求 b2 4ac 的值 答案答案 解 1 当 ABC 为直角三角形时 过 C 作 CE AB 于 E 则 AB 2CE 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 则 b2 4ac b2 4ac a 0 AB 22 b4acb4ac aa 又 CE 22 4acbb4ac 4a4a 22 b4acb4ac 2 a4a 即 2 2 b4ac b4ac 2 2 2 2 b4ac b4ac 4 用心 爱心 专心18 b2 4ac 0 b2 4ac 4 2 当 ABC 为等边三角形时 由 1 可知 CE AB 3 2 22 b4ac3b4ac 4a2a b2 4ac 0 b2 4ac 12 考点考点 抛物线与 x 轴的交点 根与系数的关系 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 分析分析 1 当 ABC 为直角三角形时 由于 AC BC 所以 ABC 为等腰直角三角形 过 C 作 CE AB 于 E 则 AB 2CE 根据本题定理和结论 得到 AB 根据顶点坐标公式 得到 CE 2 b4ac a 2 4acb 4a 列出方程 解方程即可求出 b2 4ac 的值 2 当 ABC 为等边三角形时 解直角 ACE 得 CE AB 据此列出方程 解方程即可求出 3 2 b2 4ac 的值 例 3 20122012 广东梅州广东梅州 1010 分 分 1 已知一元二次方程 x2 px q 0 p2 4q 0 的两根为 x1 x2 求证 x1 x2 p x1 x2 q 2 已知抛物线 y x2 px q 与 x 轴交于 A B 两点 且过点 1 1 设线段 AB 的长为 d 当 p 为何 值时 d2取得最小值 并求出最小值 用心 爱心 专心19 例 4 20122012 湖北荆州湖北荆州 1212 分 分 已知 y 关于 x 的函数 y k 1 x2 2kx k 2 的图象与 x 轴有交点 1 求 k 的取值范围 2 若 x1 x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标 且满足 k 1 x12 2kx2 k 2 4x1x2 求 k 的值 当 k x k 2 时 请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值 答案答案 解 1 当 k 1 时 函数为一次函数 y 2x 3 其图象与 x 轴有一个交点 当 k 1 时 函数为二次函数 其图象与 x 轴有一个或两个交点 令 y 0 得 k 1 x2 2kx k 2 0 2k 2 4 k 1 k 2 0 解得 k 2 即 k 2 且 k 1 综上所述 k 的取值范围是 k 2 2 x1 x2 由 1 知 k 2 且 k 1 由题意得 k 1 x12 k 2 2kx1 将 代入 k 1 x12 2kx2 k 2 4x1x2中得 2k x1 x2 4x1x2 又 x1 x2 x1x2 2k 4 2k k1 k 2 k1 2k k1 k 2 k1 解得 k1 1 k2 2 不合题意 舍去 所求 k 值为 1 用心 爱心 专心20 如图 k1 1 y 2x2 2x 1 2 x 2 且 1 x 1 1 2 3 2 由图象知 当 x 1 时 y最小 3 当 x 时 y最大 1 2 3 2 y 的最大值为 最小值为 3 3 2 考点考点 抛物线与 x 轴的交点 一次函数的定义 一元二次方程根的判别式和根与系数物关系 二次函 数的最值 分析分析 1 分两种情况讨论 当 k 1 时 可求出函数为一次函数 必与 x 轴有一交点 当 k 1 时 函 数为二次函数 若与 x 轴有交点 则 0 2 根据 k 1 x12 2kx2 k 2 4x1x2及根与系数的关系 建立关于 k 的方程 求出 k 的值 充分利用图象 直接得出 y 的最大值和最小值 例 5 20122012 湖北湖北黄石黄石 1010 分 分 已知抛物线 C1的函数解析式为 若抛物线 C1经 2 yaxbx3a b0 过点 方程的两根为 且 0 3 2 axbx3a0 1 x 2 x 12 xx4 1 求抛物线 C1的顶点坐标 2 已知实数 请证明 并说明为何值时才会有 x0 1 x x 2x 1 x2 x 3 若抛物线先向上平移 4 个单位 再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2 设 1 A m y 2 B n y 是 C2上的两个不同点 且满足 请你用含有的表达式表示出 AOB 0 0AOB9 m0 n0 m 的面积 S 并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式 参考公式 在平面直角坐标系中 若 则 P Q 两点间的距离 11 P x y 22 Q x y 22 2121 xx yy 答案答案 解 1 抛物线过 点 3a a x2 bx x2 bx 的两根为 x1 x2且 12 xx4 且 b b 22 121212 xx xx 4x x b 12 2 2 xxx 抛物线 的顶点坐标为 用心 爱心 专心21 2 x 11 x2 x 0 xx 1 x2 x 当时 即当 x 时 有 1 x 0 x 1 x2 x 3 由平移的性质 得 C2的解析式为 y x2 m m2 B n n2 AOB 为直角三角形 OA2 OB2 AB2 m2 m4 n2 n4 m n 2 m2 n2 2 化简得 m n AOB m n 2424 11 mmnn 22 OAOB AOB 222 2 111 2mn2m 22m 2 11111 m m21 2m2m2 AOB的最小值为 此时 m 直线 OA 的一次函数解析式为 x 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 一元二次方程根与系数的关系 二次函数的 性质 不等式的知识 分析分析 1 求抛物线的顶点坐标 即要先求出抛物线的解析式 即确定待定系数 a b 的值 已知抛物 线图象与 y 轴交点 可确定解析式中的常数项 由此得到 a 的值 然后从方程入手求 b 的值 题目给出 了两根差的绝对值 将其进行适当变形 转化为两根和 两根积的形式 结合根与系数的关系即可求出 b 的值 2 将配成完全平方式 然后根据平方的非负性即可得证 1 x x 3 结合 1 的抛物线的解析式以及函数的平移规律 可得出抛物线 C2的解析式 在 Rt OAB 中 由勾股定理可确定 m n 的关系式 然后用 m 列出 AOB 的面积表达式 结合不等式的相关知识 可确定 OAB 的最小面积值以及此时 m 的值 从而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式 别解 由题意可求抛物线 C2的解析式为 y x2 m m2 B n n2 过点 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 C D 则 AOCBODACDB SSSS 梯形 用心 爱心 专心22 2222 111 mn mn m mn n 222 1 mn mn 2 由 得 即 BOD OAC BDOD OCAC 2 2 nn mm mn1 1111 Smn mn m 21 22m2 AOB的最小值为 此时 m 直线 OA 的一次函数解析式为 x 例 6 广东广州 广东广州 1414 分 分 已知关于的二次函数的图象经过点 C 0 1 且与x 2 yaxbxc a0 轴交于不同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 x 1 求的值 c 2 求的取值范围 a 3 该二次函数的图象与直线 1 交于 C D 两点 设 A B C D 四点构成的四边形的对角线相交于y 点 P 记 PCD 的面积为 S1 PAB 的面积为 S2 当 0 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 a 答案答案 解 1 把 C 0 1 代入二次函数得 1 0 0 解得 1 2 yaxbxc cc 的值是 1 c 2 由 1 二次函数为 把 A 1 0 代入得 0 1 2 yaxbx1 ab 1 ba 二次函数为与轴有两个交点 2 yaxbx1 x 一元一次方程根的判别式 0 即 2 axbx1 0 0 22 2 1a4a a2a1a1 1 且 0 的取值范围是 1 且aaaa 0 a 3 证明 0 1 a B 在 A 的右边 设 A 1 0 B 0 b x 2 ax1a x1 0 用心 爱心 专心23 由根与系数的关系得 1 b x 1 a a b 1 x a AB 11 a 1 aa 把 1 代入二次函数得 解得 1 0 2 错误 未找到引用 错误 未找到引用y 2 ax1a x1 1 xx 源 源 CD 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 过 P 作 MN CD 于 M 交轴于 N 则 MN 轴 xx CD AB CPD BPA 即 PMCD PNAB 1a PM a 1a 1PM a 解得 1a PM 2 1a PN 2 12 111 1a 1a1 1a 1a SSCD PMAB PN1 222a22a2 即不论为何值 S1 S2的值都是常数 这个常数是 1 a 考点考点 二次函数综合题 解一元一次方程 解二元一次方程组 根的判别式 根与系数的关系 二次 函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 把 C 0 1 代入抛物线即可求出 c 2 把 A 1 0 代入得到 0 1 推出 1 求出方程的 的值即ab ba 2 axbx1 0 可 3 设 A 1 0 B 0 由根与系数的关系求出 AB 错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 把 1 代入 b xy 抛物线得到方程 求出方程的解 进一步求出 CD 过 P 作 MN CD 于 M 交轴于 N 2 ax1a x1 1 x 根据 CPD BPA 求出 PN PM 的长 根据三角形的面积公式即可求出 S1 S2的值即可 例 7 20112011 黑龙江大庆黑龙江大庆 8 8 分 分 已知二次函数 图象顶点的纵坐标不大于 2 yaxbxb a0 b0 b 2 1 求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围 2 若该二次函数图象与轴交于 A B 两点 求线段 AB 长度的最小值 x 答案答案 解 1 图象顶点坐标为 2 yaxbxb a0 b0 b 2a 2 4abb 4a 由已知得 解得 2 4abbb 4a2 b 3 2a 用心 爱心 专心24 该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小于 3 2 设 则是方程的两个根 1212 A x 0 B x 0 xx 12 xx 2 axbxb 0 1212 bb x x xx aa 22 22 21212121 bbb ABxxxx x x4xx 4 2 4 aaa 由 1 可知 b 6 a 由于当时 随着的增大 也随着增大 b 6 a b a 2 b 2 4 a 当时 线段 AB 的长度 的最小值为 b 6 a 2 3 考点考点 二次函数的性质 二次函数和轴的交点与一元二次方程的关系 韦达定理 x 分析分析 1 先求出的顶点的纵坐标 根据题意得出 即可得出该二 2 yaxbxb a0 b0 b 3 2a 次函数图象顶点的横坐标的取值范围 2 设 则是方程的两个根 由韦达定理 根 1212 A x 0 B x 0 xx 12 xx 2 axbxb 0 据求出线段 AB 长度的最小值 21 ABxx 例 8 20122012 湖南长沙湖南长沙 1010 分 分 如图半径分别为 m n 0 m n 的两圆 O1和 O2相交于 P Q 两点 且 点 P 4 1 两圆同时与两坐标轴相切 O1与 x 轴 y 轴分别切于点 M 点 N O2与 x 轴 y 轴分别 切于点 R 点 H 1 求两圆的圆心 O1 O2所在直线的解析式 2 求两圆的圆心 O1 O2之间的距离 d 3 令四边形 PO1QO2的面积为 S1 四边形 RMO1O2的面积为 S2 试探究 是否存在一条经过 P Q 两点 开口向下 且在 x 轴上截得的线段长为的抛物线 若存 12 ss 2d 在 请求出此抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心25 答案答案 解 1 由题意可知 O1 m m O2 n n 设过点 O1 O2的直线解析式为 y kx b 则有 0 m n 解得 mk b m nk b n k 1 b 0 两圆的圆心 O1 O2所在直线的解析式为 y x 2 由相交