正切函数的定义、图象和性质

金太阳教育网金太阳教育网 第 1 页 共 3 页 金太阳教育网金太阳教育网 课题 正切函数的定义 图像及性质 一 教学目标 a 知识与技能 1 了解任意角的正切函数概念 2 理解正切函数中的自变量取值范围 3 掌 握正切线的画法 4 能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像 5 熟练根据 正切函数的图像推导出正切函数的性质 6 能熟练掌握正切函数的图像与性质 7 掌握利用数形结合思想分析问题 解决问题的技能 b 过程与方法 类比正 余弦函数的概念 引入正切函数的概念 在此基础上 比较三个三角函数之 间的关系 让学生通过类比 联系正弦函数图像的作法 通过单位圆中的有向线段得 到正切函数的图像 能学以致用 结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数 的性质 c 情感态度与价值观 使同学们对正切函数的概念有一定的体会 会用联系的观点看问题 建立数形结合的 思想 激发学习的学习积极性 培养学生分析问题 解决问题的能力 让学生体验自 身探索成功的喜悦感 培养学生的自信心 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而 不舍的钻研精神 二 教学重 难点 重点 正切函数的概念 诱导公式 图像与性质 难点 熟练运用诱导公式和性质分析问题 解决问题 三 学法与教学用具 我们已经知道正 余弦函数的概念是通过在单位圆中 以函数定义的形式给出来的 从而把锐角的正 余弦函数推广到任意角的情况 现在我们就应该与正 余弦函数的概念 作比较 得出正切函数的概念 同样地 可以仿照正 余弦函数的诱导公式推出正切函数 的诱导公式 通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像 并从图像观察总结出正切函数 的性质 教学用具 投影机 三角板 一 教学思路 创设情境 揭示课题 常见的三角函数还有正切函数 在前两次课中 我们学习了任意角的正 余弦函数 并借助于它们的图像研究了它们的性质 今天我们类比正弦 余弦函数的学习方法 在直 角坐标系内学习任意角的正切函数 请同学们先自主学习课本 P40 探究新知 1 正切函数的定义 在直角坐标系中 如果角 满足 R k k Z 那么 角 的终边 2 与单位圆交于点 P a b 唯一确定比值 根据函数定义 比值是角 的函数 我们 a b a b 把它叫作角 的正切函数 记作 y tan 其中 R k k Z 2 比较正 余弦和正切的定义 不难看出 tan R k k Z cos sin 2 由此可知 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以比值为函数值的函数 我们统称 金太阳教育网金太阳教育网 第 2 页 共 3 页 金太阳教育网金太阳教育网 为三角函数 下面 我们给出正切函数值的一种几何表示 如右图 单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A 1 0 任意角 的终边与单位圆交于点 P 过点 A 1 0 作 x 轴的垂线 与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点 从图中可以看出 当角 位于第一和第三象限时 T 点位于 x 轴的上方 当角 位于第二和第四象限时 T 点位于 x 轴的下方 分析可以得知 不论角 的终边在第几象限 都可以构造两 个相似三角形 使得角 的正切值与有向线段 AT 的值相等 因此 我们称有向线段 AT 为角 的正切线 2 正切函数的图象 1 首先考虑定义域 zkkx 2 2 为了研究方便 再考虑一下它的周期 zkkxRxx x x x x x 2 tan cos sin cos sin tan 且 的周期为 最小正周期 zkkxRxxy 2 tan 且 T 3 因此我们可选择的区间作出它的图象 2 2 根据正切函数的周期性 把上述图像向左 右扩展 得到正切函数 Rxxy tan 且的图像 称 正切曲线 zkkx 2 x y o T A 210 30 P x y 2 2 O 2 3 2 2 2 30 y x 金太阳教育网金太阳教育网 第 3 页 共 3 页 金太阳教育网金太阳教育网 从上图可以看出 正切曲线是由被相互平行的直线 x k k Z 隔开的无穷多支 2 曲线组成的 这些直线叫作正切曲线各支的渐近线 3 正切函数 y tanx 的性质 引导学生观察 共同获得 1 定义域 zkkxx 2 2 值域 R 观察 当从小于 时 x zkk 2 2 kx xtan 当从大于 时 x zkk 2 kx 2 xtan 3 周期性 T 4 奇偶性 奇函数 xxtantan 5 单调性 在开区间内 函数单调递增 zkkk 2 2 二 归纳整理 整体认识 1