2010年各地高考数学二轮总复习几何题整理

用心 爱心 专心 20102010 年各地高考几何题整理年各地高考几何题整理 1 本小题满分 13 分 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H为BC的中点 求证 FH 平面EDB 求证 AC 平面EDB 求二面角B DE C的大小 本小题满分 13 分 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考查二面角的求法以及 利用向量知识解决几何问题的能力 同时考查空间想象能力 推理论证能力和运算能 力 综合法 证 设 AC 与 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连 EG GH 又 H 为 BC 的中点 11 22 GHABEFABEFGH 又 四边形 EFHG 为平行四边形 EG FH 而 EG 平面 EDB FH 平面 EDB 证 由四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB EF BC 而 EF FB EF 平面 BFC EF FH AB FH 又BF FC H 为 BC 的中点 FH BC FH 平面 ABCD FH AC 又 FH BC AC EG 又 AC BD EG BD G AG 平面 EDB 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心 111 22222 2222 2 12 12 12 12 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 1 0 0 0 10 1 1 0 1 11 cos 2 22 60 yzn CDCE CDEyzCDy nCEyzz nn n nn n n nn n n 即 设平面的法向量为则 故 即二面角 B DE C 为 60 2 本小题共 14 分 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 共 14 分 证明 设 AC 与 BD 交于点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF EG 因为 EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 且CEAC 所以CEABCD 平面 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系Cxyz 则 0 0 0 2 2 0 0 2 0 CAB 用心 爱心 专心 22 2 0 0 0 0 1 1 22 DEF 所以 22 1 0 2 1 2 0 1 22 CFBEDE 所以01 10 1010CF BECF DE AA 所以 CFBE CFDE 所以CFBDE 平面 3 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面 角 111 AACB 的大小 用心 爱心 专心 解法一 连接 1 AB 记 1 AB与 1 AB的交点为 F 因为面 11 AAB B为正方形 故 11 ABAB 且 1 AFFB 又 1 3AEEB 所以 1 FEEB 又 D 为 1 BB的中点 故 DEBF 1 DEAB 作CGAB G 为垂足 由ACBC 知 G 为 AB 中点 又由底面ABC 面 11 AAB B 得CG 面 11 AAB B 连接 DG 则 1 DGAB 故DEDG 由三垂线定理 得 DECD 所以 DE 为异面直线 1 AB与 CD 的公垂线 因为 1 DGAB 故CDG 为异面直线 1 AB与 CD 的夹角 45CDG 设2AB 则 1 2 2 2 2 3ABDGCGAC 作 111 B HAC H 为垂足 因为底面 111 ABC 面 11 AAC C 故 1 B H 面 11 AAC C 又 作 1 HKAC K 为垂足 连接 1 B K 由三垂线定理 得 11 B KAC 因此 1 B KH 为二 面角 111 AACB 的平面角 22 111111 1 11 1 2 2 2 3 ABACAB B H AC 22 1111 3 3 HCBCB H 22 1 2 3 7AC 11 1 2 3 3 7 AAHC HK AC 用心 爱心 专心 因为 1 B A DC 等于异面直线 1 AB与 CD 的夹角 故 11 cos45B A DCB ADC 即 2 2 2 224 2 c 解得2c 故 1 0 2 AC 又 11 0 2 0 AABB 所以 11 1 2 2 ACACAA 设平面 11 AAC的法向量为 mx y z 则 11 0 0m ACm AA 即220 xyz 且20y 令2x 则 1 0zy 故 2 0 1 m 设平面 11 ABC的法向量为 np q r 则 11 0 0n ACn B A 即220 220pqrpq 令2p 则2 1qr 故 2 2 1 n 所以 1 cos 15 m n m n m n 由于 m n等于二面角 111 AACB 的平面角 用心 爱心 专心 所以二面角 111 AACB 的大小为 15 arccos 15 4 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 19 19 解法一 解法一 连接 BD 取 DC 的中点 G 连接 BG 由此知 1 DGGCBG 即ABC 为直角三角形 故BCBD 又ABCD BCSDSD 平面故 所以 BC 平面BD S BCD E 作BK EC EDCSBCK 为垂足 因平面平面 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 用心 爱心 专心 故ADE 为等腰三角形 取ED中点 F 连接AF 则 22 6 3 AFDE AFADDF 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角ADEC 的平面角 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA 所以 二面角ADEC 的大小为 120 解法二 解法二 以以 D D 为坐标原点 射线为坐标原点 射线DA为为x轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系Dxyz 由 mDE mDC 得 0mDE 0mDC 用心 爱心 专心 故 2 0 20 111 xyz y 令2x 则 2 0 m 5 本小题满分 13 分 如图 圆柱 1 OO内有一个三棱柱 111 ABC A B C 三棱柱的底面为 圆柱底面的内接三角形 且 AB 是圆 O 直径 证明 平面 11 A ACC 平面 11 B BCC 设 AB 1 AA 在圆柱 1 OO内随机选取一点 记该点取自于 三棱柱 111 ABC A B C内的概率为p i 当点 C 在圆周上运动时 求p的最大值 ii 记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为 0 90 当p取最大值时 求 cos 的值 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几何体的体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合 思想 化归与转化思想 必然与或然思想 满分 13 分 解法一 1 A A 平面 ABC BCABC 平面 1 A ABC AB 是圆 O 的直径 BCAC 又 111 ACA AABCA ACC 平面 用心 爱心 专心 而 11 BCB BCC 平面 所以平面 1111 A ACCB BCC 平面 i 设圆柱的底面半径为 r 则 1 2 ABAAr 故三棱柱 111 ABCABC 的体积 1 1 2 2 VAC BCrAC BC r 又 2222 4 ACBCABr 22 2 2 2 ACBC AC BCr 当且 仅当2ACBCr 时等号成立 从而 3 1 2Vr 而圆柱的体积 23 22Vrrr 故 3 1 3 21 2 Vr p Vr 当且 仅当2ACBCr 即OCAB 时等号成立 所以 p的最大值等于 1 ii 由 i 可知 p取最大值时 OCAB 于是 以 O 为坐标原点 建立空间 直角坐标系Oxyz 如图 则 1 0 0 0 0 0 2 C rBrBrr 11 BCA ACC 平面 0 BCrr 是平面 11 A ACC的一个法向量 解法二 同解法一 i 设圆柱的底面半径为r 则 1 2ABAAr 故三棱柱 111 ABCABC 的体 积 1 1 2 2 VAC BCrAC BC r 设 090 BAC 则cos2 cos sin2 sinACABrBCABr 由于 222 4sincos2sin22AC BCrrr 当且仅当sin21 即 用心 爱心 专心 45 时等号成立 故 2 1 2Vr 而圆柱的体积 23 22 Vrrr 故 3 1 3 21 2 Vr p Vr 当且仅当sin21 即45 时等号成立 所以 p的最大值等于 1 同解法一 解法三 同解法一 设圆柱的底面半径为r 则 1 2ABAAr 故圆柱的体积 23 22Vrrr A 因为 1 V p V 所以当 1 V取得最大值时 p取得最大值 又因为点C在圆周上运动 所以当OCAB 时 ABC 的面积最大 进而 三棱 柱 111 ABCA BC 的体积 1 V最大 且其最大值为 3 1 222 2 r rrr A A A 故p的最大值为 1 同解法一 6 本小题满分 12 分 如圈 己知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 证明 PE BC 若APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 解 以 H 为原点 HA HB HP 分别为 x y z轴 线段 HA 的长为单位长 建立空间直角坐 标系如图 则 1 0 0 0 1 0 AB 设 0 0 0 0 0 0 C mPn mn 则 1 0 0 0 2 2 m DmE 用心 爱心 专心 可得 1 1 0 2 2 m PEn BCm 因为00 22 mm PE BC 所以PEBC 由已知条件可得 3 1 3 mn 故 3 0 0 3 C 3 0 0 3 D 13 0 0 0 1 26 EP 7 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 证明 在 AB 上存在一点 Q 使 PQ OA 并计算 AB AQ 的值 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 用心 爱心 专心 II 连结 PN PO 由 OC OA OC OB 知 OC 平面 OAB 又 ON平面 OAB OC ON 又由 ON OA 知 ON 平面 AOC OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影 在等腰COARt 中 P 为 AC 的中点 OPAC 根据三垂线定理 知 AC NP OPN 为二面角 O AC B 的平面角 在等腰COARt 中 OC OA 1 2 2 OP 在 3 3 30tan OAONAONRt中 5 15 6 30 2 2 cos 6 30 22 PN PO OPN ONOPPNPONRt中在 用心 爱心 专心 II 记平面 ABC 的法向量为 321 nnnn 则由 ABnCAn 且 1 0 1 CA 得 13 22 0 33 0 22 nn nn 故可取 1 3 1 n 又平面 OAC 的法向量为 0 1 0 e 1 3 1 0 1 0 3 cos 5 15 n e A A 二面角 O AC B 的平面角是锐角 记为 5 15 cos 则 8 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 5 所示 在正方体 1111 ABCDA B C D 中 E 是棱 1 DD的中 点 用心 爱心 专心 求直线 BE 的平面 11 ABB A所成的角的正弦值 在棱 11 C D上是否存在一点 F 使 1 B F 平面 1 A BE 证明你的结论 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解法解法 1 1 设正方体的棱长为 1 如图所示 以 1 ABADAA 为单位正交基底建立空间直角坐 标系 依题意 得 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 BEAD 所以 1 1 1 0 1 0 2 BEAD 在正方体 1111 ABCDABC D 中 因为 11 ADABB A 平面 所 以AD 是平面 11 ABB A的一个法向量 设直线 BE 和平面 11 ABB A所成的角为 则 12 sin 3 3 1 2 BE AD BE AD A A 即直线 BE 和平面 11 ABB A所成的角的正弦值为 2 3 设 F 是棱 11 C D上的点 则 1 1 01 F tt 又 1 1 0 1 B 所以 1 1 1 0 B Ft 而 11 B FABE 平面 于是 111 1 0 1 1 0 2 1 2 02 1 10 2 B FABEB F ntttF A A 平面 为 11 C D的中点 这说明在棱 11 C D上存在点 F 11 C D的中点 使 11 B FABE 平面 解法解法 2 2 如图 a 所示 取 1 AA的中点 M 连结 EM BM 因为 E 是 1 DD的中点 四边 用心 爱心 专心 形 11 DDAA为正方形 所以 EM AD 即直线 BE 和平面 11 ABB A所成的角的正弦值为 2 3 在棱 11 C D上存在点 F 使 11 B FABE 平面 事实上 如图 b 所示 分别取 11 C D和 CD 的中点 F G 连结 1 EG BG FGCD 因 1111 ADBCBC 且 11 ADBC 所以四边形 11 ABCD是平行四边形 因此 11 DCAB 又 E G 分别为 1 D D CD 的中点 所以 1 DCEG 从而 1B EG A 这说明 1 A B G E 共 面 所以 1 BGBE 平面A 因四边形 11 C CDD与 11 B BCC皆为正方形 F G 分别为 11 C D和 CD 的中点 所以 11 FGCB B C 且 11 FG CB B C 因此四边形 1 B BGF是平行四边形 所以 1 BGBF 而 11 BF平面ABE 1 BGBE 平面A 故 11 B FABE 平面 9 14 分 如图 四棱锥PABCD 中 PD 平面ABCD 1 2 90PDDCBCABABDCBCD 1 求证 PCBC 2 求点A到平面PBC的距离 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几何体的体积 考查空间想象 用心 爱心 专心 能力 推理论证能力和运算能力 满分 14 分 解 1 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 90 得 BC DC 又 PD DC D PD 平面 PCD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 90 所以 ABC 90 从而由 AB 2 BC 1 得ABC 的面积1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 10 本小题满分 12 分 如图 BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求点 A 到平面 MBC 的距离 2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 本小题满分 12 分 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则3 OBOMOBCD MOCD 又平面 MCD 平面 BCD 则 MO 平面 BCD 所以 MO AB MO 平面 ABC M O 到平面 ABC 的距离相等 作 OH BC 于 H 连 MH 则 MH BC 求得 3 sin60 2 OHOC 22 315 3 22 MH 设点 A 到平面 MBC 的距离为d 由 A MBCMABC VV 得 用心 爱心 专心 11 33 MBCABC SdSOH 即 1 1151 13 22 2 3 3 223 22 d 解得 2 15 5 d 2 延长 AM BO 相交于 E 连 CE DE CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线 由 1 知 O 是 BE 的中点 则四边形 BCED 是棱形 作BFEC 于 F 连 AF 则 AFECAFB 就是 二面角AECB 的平面角 设为 因为120BCE 所以60BCF 2sin603BF 2 5 tan2 sin 5 AB BF 解法二 取 CD中点 O 连 OB OM 则 OBCD OMCD 又平面MCD 平面 BCD 则MO 平面 BCD 取 O 为原点 直线 OC BO OM 为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如 图 3OBOM 则各点坐标分别为 用心 爱心 专心 11 如圈 己知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱 锥的高 E 为 AD 中点 证明 PE BC 若APB ADB 60 求直线 PA 与平 面 PEH 所成角的正弦值 解 以 H 为原点 HA HB HP 分别为 x y z轴 线段 HA 的长为单位长 建立空间直角坐标系如 图 则 1 0 0 0 1 0 AB 设 0 0 0 0 0 0 C mPn mn 则 1 0 0 0 2 2 m DmE 可得 1 1 0 2 2 m PEn BCm 因为00 22 mm PE BC 所以PEBC 由已知条件可得 3 1 3 mn 故 3 0 0 3 C 3 0 0 3 D 13 0 0 0 1 26 EP 12 已知三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC AB AC PA AC 用心 爱心 专心 1 2 AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 证明 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为zyx 轴正向建立空间直角坐标系如 图 则 0 2 1 1 0 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 SNMBCP 4 分 0 2 1 2 1 2 1 1 1 SNCM 因为00 2 1 2 1 SNCM 所以CMSN 6 分 0 1 2 1 NC 设 zyxa 为平面 CMN 的一个法向量 则 0 2 1 0 2 1 yx zyx 令2 x 得 2 1 2 a 9 分 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45 12 分 13 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥P ABCDE中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 2 2 BC 2AE 4 三角形PAB是等腰三角形 求证 平面PCD 平面PAC 求直线PB与平面PCD所成角的大小 求四棱锥P ACDE的体积 19 本小题主要考察空间中的基本关系 考察线面 用心 爱心 专心 垂直 面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算 考查识图能力 空间 想象力和逻辑推理能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 因为 ABC 45 BC 4 AB 22 所以 AC2 AB BC2 2AB BC cos45 8 因此 AC 22 故 BC2 AC2 AB2 所以 BAC 90 又 PA 平面 ABCDE AB CD 所以 CD PA CD AC 又 PA AC 平面 PAC 且 PA AC A 所以 CD PAC 又 CD 平面 PCD 所以 平面 PCD 平面 PAC 则 2 1 4 2 sin PB h 又 2 0 所以 6 解法二 由 知 AB AC AP 两两相互垂直 分别以 AB AC AP 为 x 轴 y 轴 z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 由于 PAB 是等腰三角形 用心 爱心 专心 所以 PA AB 22 又 AC 22 所以 3 因此直线PB 与平面 PCD 所成的角为 6 因为 AC ED CD AC 所以 四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 用心 爱心 专心 故 CD AE sin45 2 2 2 2 所以 32 2 222 ACDE 四边形 S 又 PA 平面 ABCDE 所以 22223 2 1 V ACDE P 14 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 2 E F 分别是 AD PC 的中点 证明 PC 平面 BEF 求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 解法一 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AP 所在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 AP AB 2 BC AD 2 2 四边形 ABCD 是矩形 A B C D P 的坐标为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 2 0 D 0 2 2 0 P 0 0 2 又 E F 分别是 AD PC 的中点 E 0 2 0 F 1 2 1 PC 2 2 2 2 BF 1 2 1 EF 1 0 1 PC BF 2 4 2 0 PC EF 2 0 2 0 PC BF PC EF PC BF PC EF BF EF F PC 平面 BEF II 由 I 知平面 BEF 的法向量 1 2 2 2 2 nPC 平面 BAP 的法向量 2 0 2 2 0 nAD 12 8n n A 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 则 12 12 12 82 coscos 24 2 2 n n n n n n A 45 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 用心 爱心 专心 解法二 I 连接 PE EC 在Rt PAE 和Rt CDE 中 PA AB CD AE DE PE CE 即 PEC 是等腰三角形 又 F 是 PC 的中点 EF PC 又 22 2 2BPAPABBC F 是 PC 的中点 BF PC 又BFEFF BEFPC 平面 II ABCD PA 平面 PABC 又 ABCD 是矩形 AB BC BC 平面 BAP BC PB 又由 知 PC 平面 BEF 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角 在PBC 中 90 PBBCPBC 45 PCB 所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45 15 本小题满分 12 分 已知正方体ABCDAC D 的棱长为 1 点M是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的 中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角MBCB 的大小 求三棱锥MOBC 的体积 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础知识 并考查空间想象能力和逻辑推理 能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法一 连结AC 取AC的中点K 则K为BD的中点 连结OK 因为点M是棱 AA 的中点 点O是 BD 的中点 所以 1 2 AMDDOK 所以 MOAK 由AAAK 得MO AA 因为AKBD AK BB 所以AK 平面BDD B 所以AK BD D AB C D M O A B C 用心 爱心 专心 所以MO BD 又因为OM与异面直线 AA 和 BD 都相交 故OM为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 4 分 取 BB 的中点N 连结MN 则MN 平面BCC B 过点N作NH BC 于H 连结MH 则由三垂线定理得 BCMH 从而 MHN 为二面角MBCB 的平 面角 1MN 122 sin45 224 NHBN A 在Rt MNH 中 1 tan2 2 2 4 MN MHN NH 故二面角MBCB 的大小为arctan2 2 9 分 易知 DAMOADBCDAOOBCSS OCBDBC 到平面点内都在平面和且 2 1 h的距离 24 1 3 1 hDAS VVV DAMODAOMOBCM 12 分 解法二 以点 D 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzD 则 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 0 1 1 C D 0 0 1 因为点 M 是棱 的中点是点的中点DBOAA 所以 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 OM 用心 爱心 专心 00 2 1 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 2 1 2 1 的公垂线和为异面直线故 都相交和与异面直线又因为 所以 DBAAOM DBAAOM DBOMAAOM DBOMAAOM DBAAOM 4 分 设平面 1 zyxnCBM 的一个法向量为 1 0 1 1 0 1 2 BM BC 1 1 0 0 n BM n BC 即 0 0 2 1 zx zy 1 2 12 12 12 2 2 1 2 1 2 0 1 0 11 cos 39 1 zyn BC Bn n n n n nn MBCB 取则x从而 取平面的一个法向量为 由图可知二面角的平面角为锐角 故二面角 3 1 arccos的大小为BCBM 9 分 易知 4 2 21 4 1 4 1 CDAOBC SS 0 0 1 1 1 1 1111 CBDB zyxnOBC的一个法向量为设平面 1 3 0 0 nBD nBC 即 0 0 1 111 x zyx 取 1 1 0 1