河北省唐山一中2013届高三数学第二次月考试题 文（解析版）新人教A版

1 河北省唐山一中河北省唐山一中 20132013 届届高三 上 第二次月考数学试卷 文科 高三 上 第二次月考数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 计分 计 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个分 在每小题给出的四个选项中 只有一个 选项正确 选项正确 1 5 分 已知集合 M x x 1 1 N y y log2 x2 2x 3 则 M N A x 1 x 2 B x 0 x 2 C x 1 x 2 D 考点 对数函数的值域与最值 交集及其运算 专题 计算题 分析 解绝对值不等式 x 1 1 可以求出集合 M 根据二次函数的值域及对数函数的单 调性 可以求出集合 N 进而根据集合交集运算规则 求出结果 解答 解 若 x 1 1 则 1 x 1 1 即 0 x 2 故集合 M x x 1 1 x 0 x 2 x2 2x 3 x 1 2 2 2 log2 x2 2x 3 1 故 N y y log2 x2 2x 3 y y 1 M N x 1 x 2 故选 A 点评 本题考查的知识点是对数函数的值域与最值 集合的交集运算 绝对值不等式的解 法 其中求出集合 M N 是解答本题的关键 2 5 分 已知 i 是虚数单位 则复数的虚部等于 A 1B iC iD 1 考点 复数的基本概念 专题 计算题 分析 根据复数代数形式的乘法计算公式和复数的除法运算公式 计算复数的值 即可得 到复数的虚部 解答 解 复数 1 i 2 复数的虚部是 1 故选 D 点评 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 其中根据复数代 数形式的乘法计算公式 计算复数的值是解答本题的关键 本题易错误理解虚部的 概念 3 5 分 已知向量 则的最大值为 A 1B C 3D 9 考点 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 三角函数的最值 专题 计算题 分析 用向量的坐标运算表示出的大小 再利用三角函数知识求最大值 解答 解 1 4 2 cos sin 5 4sin 当 4sin 1 时 取得最大值 9 的最大值为 3 故选 C 点评 本题考查向量的运算 向量的模 三角函数的性质 考查计算能力 4 5 分 2010 绍兴模拟 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 2a8 6 a11 则 S9的值等 于 A 54B 45C 36D 27 考点 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 由已知 2a8 a11 6 结合等差数列的性质可得 2a8 a11 a5 a11 6 从而可得 a5 6 代 入等差数列的前 n 项和 然后利用利用等差数列的性质及所求的 a5的值代入可求得答案 解答 解 2a8 a11 6 由等差数列的性质可得 2a8 a11 a5 a11 6 从而可得 a5 6 3 由等差数列的前 n 项和可得 故选 A 点评 本题主要考查了等差数列的前 n 项和的求解 关键是由已知 2a8 a11 6 结合等差数 列的性质可得 2a8 a11 a5 a11 6 求出 a5 在求和时利用等差数列的和时又一次利 用了性质 a1 a9 2a5 灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键 5 5 分 下列四个命题中的真命题为 A x R 使得 sinx cosx 1 5B x R 总有 x2 2x 3 0 C x R y R y2 xD x R y R y x y 考点 命题的真假判断与应用 全称命题 特称命题 专题 证明题 分析 根据和差角公式 结合正弦型函数的性质 可得 sinx cosx 进而判 断出 A 的真假 令 x 0 可判断 B 答案和 C 答案的真假 令 x 1 可判断 D 答案的真 假 解答 解 sinx cosx sin x 由 1 5 故 A 错 误 当 x 0 时 x2 2x 3 3 0 故 B 错误 当 x 0 时 y2 x 恒不成立 故 C 错误 当 x 1 时 y R y x y 故 D 正确 故选 D 点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用 全称命题 特称命题 其中熟练掌握 全称命题和特称命题真假判断的方法 是解答本题的关键 6 5 分 已知某几何体的三视图如图 单位 m 所示 则这个几何体的外接球的表面积 单位 m2 等于 4 A B C 8 D 16 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 由三视图知 几何体是一个正三棱柱 三棱柱的底面是一边长为 2 的正三角形 侧 棱长是 2 先求出其外接球的半径 再根据球的表面公式即可做出结果 解答 解 由三视图知 几何体是一个正三棱柱 三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形 侧棱长是 2 如图 设 O 是外接球的球心 O 在底面上的射影是 D 且 D 是底面三角形的重心 AD 的长是底面三角形高的三分之 二 AD 在直角三角形 OAD 中 AD OD OA 则这个几何体的外接球的表面积 4 OA2 4 故选 B 点评 本题考查由三视图求几何体的表面积 本题是一个基础题 题目中包含的三视图比 较简单 几何体的外接球的表面积做起来也非常容易 这是一个易得分题目 7 5 分 要得到函数的图象 只需将函数 y sin2x 的图象 A 向左平移个单位 B 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D 向右平移个单位 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 分析 首先对函数式进行整理 利用诱导公式把余弦转化成正弦 看出两个函数之间的差 别 得到平移的方向和大小 5 解答 解 sin sin 2x sin2 x y sin2x 只要向左平移个单位就可以得到上面的解析式的图象 故选 A 点评 本题考查三角函数的图象的平移 本题解题的关键是把要平移的两个函数之间的不 同名转化成同名 本题是一个易错题 8 5 分 按照如图所示的程序框图执行 若输出的结果为 15 则 M 处的条件可为 A k 8B k 8 C k 16 D k 16 考点 程序框图 专题 图表型 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 用是累加 k 值到 S 并输出 S 解答 解 程序运行过程中 各变量的值如下表示 S k 是否继续循环 循环前 0 1 第一圈 1 2 是 第二圈 3 4 是 第三圈 7 8 是 第四圈 15 16 否 故退出循环的条件应为 k 16 故选 D 6 点评 程序填空是重要的考试题型 这种题考试的重点有 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出 其中前两点考试的概率更大 此种题型的易忽略点是 不能准确理解流程图的含义而导致错误 9 5 分 函数 f x e xsinx 的单调递增区间 k Z A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 根据利用导数研究函数的单调性的方法 先求函数的单调性 然后在 R 上求导数大 于零的区间即可 解答 解 y e xsinx e xcosx e x cosx sinx 0 cosx sinx 0 cosx sinx 解得 x 故选 C 点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 单调性是函数的重要性质 是高考的 热点内容 属于基础题 10 5 分 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 作直线交抛物线于 A B 两点 O 为抛物线 的顶点 则 ABO 是一个 A 等边三角形 B 直角三角形 C 不等边锐角三角形 D 钝角三角形 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 分析 设出 A B 点坐标 以及直线 AB 的方程 联立直线方程与抛物线方程 用向量的坐 标公式求再代入向量的夹角公式 求出 AOB 的余弦值 再判断正负即可 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 方程 由 得 y2 2pmy p2 0 7 AOB 为钝角 ABO 为钝角三角形 故选 D 点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系 关键是用坐标表示向量的数量积 11 5 分 2011 昌平区二模 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A B C 3 D 3 考点 对数的运算性质 函数的值域 函数的单调性及单调区间 基本不等式 专题 计算题 压轴题 转化思想 分析 由题意 f a f b 求出 ab 的关系 然后利用 对勾 函数的性质知函数 f a 在 a 0 1 上为减函数 确定 a 2b 的取值范围 解答 解 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 所以 a 2b 又 0 a b 所以 0 a 1 b 令 由 对勾 函数的性质知函数 f a 在 a 0 1 上为减函数 所以 f a f 1 1 3 即 a 2b 的取值范围是 3 故选 C 点评 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做本小题时 极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a 2b 从而错选 A 这也是命题者的用苦良心之处 12 5 分 已知函数 则 f 2011 A 2012B 2011C 2010D 2009 考点 函数的值 专题 计算题 压轴题 8 分析 考虑到 f 2011 中自变量的值 x 2011 若逐步递推 计算量较大 再结合第二段 解析式 寻找规律 当 x 0 时 f x f x 1 1 数列 f n n 是自然数 是以 1 为公差 以 f 0 为首项的等差数列 问题容易获解 解答 解 由已知 当 x 0 时 f x f x 1 1 所以数列 f n n 是自然数 是以 1 为公差 以 f 0 为首项的等差数列 因为 f 0 log2 1 0 log21 0 所以根据等差数列的通项公式得出 f 2011 f 0 2011 1 0 2011 2011 故选 B 点评 本题考查分段函数求函数值 等差数列的判定及通项公式 确定出数列 f n n 是自然数 是等差数列 是减少递推运算量的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 5 分 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本 将 160 名学生随机地 从 1 160 编号 按编号顺序平均分成 20 组 1 8 号 9 16 号 153 160 号 若 第 16 组抽出的号码为 126 则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 6 考点 简单随机抽样 专题 计算题 分析 根据题意设出在第 1 组中随机抽到的号码 写出在第 16 组中应抽出的号码 根据第 16 组抽出的号码为 126 使得 126 与用 x 表示的代数式相等 得到 x 的值 解答 解 不妨设在第 1 组中随机抽到的号码为 x 则在第 16 组中应抽出的号码为 120 x 设第 1 组抽出的号码为 x 则第 16 组应抽出的号码是 8 15 x 126 x 6 故答案为 6 点评 抽样选用哪一种抽样形式 要根据题目所给的总体情况来决定 若总体个数较少 可采用抽签法 若总体个数较多且个体各部分差异不大 可采用系统抽样 若总体 的个体差异较大 可采用分层抽样 14 5 分 2012 商丘三模 已知实数 x y 满足 则 x 3y 的最大值为 2 考点 简单线性规划 专题 计算题 数形结合 9 分析 先画出足约束条件 的平面区域 再将平面区域的各角点坐标代入进行判 断 即可求出 x 3y 的最大值 解答 解 已知实数 x y 满足 在坐标系中画出可行域 三个顶点分别是 A 3 B C 分别代入 x 3y 得 2 x 3y 的最大值是 2 故答案为 2 点评 用图解法解决线性规划问题时 分析题目的已知条件 找出约束条件和目标函数是 关键 可先将题目中的量分类 列出表格 理清头绪 然后列出不等式组 方程组 寻求约束条件 并就题目所述找出目标函数 然后将可行域各角点的值一一代入 最后比较 即可得到目标函数的最优解 15 5 分 2012 梅州一模 已知双曲线 a 0 b 0 的右焦点为 F 若过 点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线的离心率的取 值范围是 2 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 压轴题 分析 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜 率的绝对值小于等于渐近线的斜率 根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范 10 围 解答 解 已知双曲线 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 离心率 e2 e 2 故答案为 2 点评 本题考查双曲线的性质及其应用 解题时要注意挖掘隐含条件 16 5 分 已知直线 y mx m R 与函数的图象恰有三 个不同的公共点 则实数 m 的取值范围是 考点 函数恒成立问题 专题 压轴题 数形结合 分析 首先根据函数的表达式画出函数的图象 从而根据 图象判断函数与直线的公共点的情况 最后结合两曲线相切与图象恰有三个不同的 公共点的关系即可求得实数 a 的取值范围 解答 解 画出函数 如图 由图可知 当直线 y mx m R 与函数的图象相切时 即直线 y mx 过切点 A 1 时 有唯一解 m 结合图象得 直线 y mx m R 与函数的图象恰有 11 三个不同的公共点 则实数 m 的取值范围是 a 故答案为 点评 本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法 数形结合是数学解题中常用的 思想方法 本题由于使用了数形结合的方法 使得问题便迎刃而解 且解法简捷 三 解答题 大题共三 解答题 大题共 6 6 个小题满分个小题满分 7070 分 分 1717 题题 1010 分 其余各题均分 其余各题均 1212 分 分 17 10 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 1 求 a1 a2 2 设 bn log3 an 求数列 bn 的通项公式 考点 数列递推式 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 利用数列递推式 n 取 1 2 即可求 a1 a2 2 确定 an 是等比数列 求得数列 an 的通项 从而可数列 bn 的通项公式 解答 解 1 由已知 4S1 a1 1 即 4a1 a1 1 a1 3 分 又 4S2 a2 1 即 4 a1 a2 a2 1 6 分 2 当 n 1 时 即 3an an 1 对 n 2 恒成立 12 an 是首项为 公比为的等比数列 10 分 即 bn n 13 分 点评 本题考查数列递推式 考查数列的通项 确定数列为等比数列是关键 18 12 分 已知函数 f x 2sinxcosx 2sin2x 1 x R 求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间 若在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c A 为锐角 且 求 ABC 面积 S 的最大值 考点 同角三角函数基本关系的运用 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的定义域和 值域 专题 计算题 解三角形 分析 利用同角三角函数基本关系将 f x 2sinxcosx 2sin2x 1 x R 转化为 f x sin 2x 利用正弦函数的性质即可求函数 f x 的最小正周期和 单调递增区间 由 f A 可求得 cos2A 而 A 为锐角 可求得 cosA sinA 又 a 利用余弦定理与基本不等式可得 bc 从而可求得 ABC 面积 S 的 最大值 解答 解 f x 2sinxcosx sin2x 1 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 2 分 f x 的最小正周期为 3 分 2k 2x 2k k Z k x k k Z f x 的增区间为 k k k Z 6 分 13 f A sin 2A cos2A 2cos2A 1 A 为锐角 即 0 A cosA sinA 8 分 又 a 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 即 b2 c2 2bc b2 c2 2bc bc 10 分 S bcsinA 12 分 点评 本题考查同角三角函数基本关系 考查正弦函数的单调性与最值 突出余弦定理与 基本不等式的应用 综合性强 属于中档题 19 12 分 2012 香洲区模拟 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况 从本市某校 高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试 成绩在 8 0 米 精确到 0 1 米 以上的为合 格 把所得数据进行整理后 分成 6 组画出频率分布直方图的一部分 如图 已知从左到 右前 5 个小组的频率分别为 0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 第 6 小组的频数是 7 1 求这次铅球测试成绩合格的人数 2 若由直方图来估计这组数据的中位数 指出它在第几组内 并说明理由 3 若参加此次测试的学生中 有 9 人的成绩为优秀 现在要从成绩优秀的学生中 随机 选出 2 人参加 毕业运动会 已知 a b 的成绩均为优秀 求两人至少有 1 人入选的概 率 考点 频率分布直方图 众数 中位数 平均数 相互独立事件的概率乘法公式 专题 计算题 14 分析 1 利用频率和为 1 求出第六组的频率 利用频率等于频数除以样本容量求出此次 测试总人数 2 利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等 判断出中位 数所在的小组 3 通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及 a b 到少有 1 人入选的 情况 利用古典概型概率公式求出 a b 至少有 1 人入选的概率 解答 解 1 第 6 小组的频率为 1 0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 0 14 此次测试总人数为 人 第 4 5 6 组成绩均合格 人数为 0 28 0 30 0 14 50 36 人 4 分 2 直方图中中位数两侧的面积相等 即频率相等 前三组的频率和为 0 28 前四 组的频率和为 0 56 中位数位于第 4 组内 8 分 3 设成绩优秀的 9 人分别为 a b c d e f g h k 则选出的 2 人所有可能的情况为 ab ac ad ae af ag ah ak bc bd be bf bg bh bk cd ce cf cg ch ck de df dg dh dk ef eg eh ek f g fh fk gh gk hk 共 36 种 其中 a b 到少有 1 人入选的情况有 15 种 a b 两人至少有 1 人入选的概率为 12 分 点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识 具体涉及到频率分布直方图 中位数及古 典概型等内容 20 12 分 在如图所示的多面体 ABCDE 中 AB 平面 ACD DE 平面 ACD AC AD CD DE 2 AB 1 1 请在线段 CE 上找到点 F 的位置 使得恰有直线 BF 平面 ACD 并证明这一事实 2 求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值 考点 直线与平面平行的性质 用空间向量求直线与平面的夹角 专题 空间角 15 分析 1 根据三角形中位线定理 平行四边形判定及性质 结合线面平行的判定定理 可得当 F 为 CE 中点时 恰有直线 BF 平面 ACD 2 取 AD 中点 G 连接 CG EG 则 CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角 解三 角形 CEG 可得答案 解答 解 如图所示 1 由已知 AB 平面 ACD DE 平面 ACD AB ED 设 F 为线段 CE 的中点 H 是线段 CD 的中点 连接 FH 则 FH FH AB 3 分 四边形 ABFH 是平行四边形 BF AH 由 BF 平面 ACD 内 AH 平面 ACD BF 平面 ACD 6 分 2 取 AD 中点 G 连接 CG EG 则 CG AD 又平面 ABED 平面 ACD CG 平面 ABED CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角 9 分 设为 则在 Rt CEG 中 有 12 分 点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的性质 二面角 1 的关键是在平面 ACD 中 找到一条与 BF 平行的直线 而 2 的关键是求出二面角的平面角 21 12 分 2007 海南 在平面直角坐标系 xOy 中 经过点且斜率为 k 的直 线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q I 求 k 的取值范围 II 设椭圆与 x 轴正半轴 y 轴正半轴的交点分别为 A B 是否存在常数 k 使得向量 与共线 如果存在 求 k 值 如果不存在 请说明理由 考点 向量的共线定理 平面的概念 画法及表示 专题 计算题 压轴题 16 分析 1 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 即方程组有 2 个不同解 转化为判别式大于 0 2 利用 2 个向量共线时 坐标之间的关系 由一元二次方程根与系数的关系求两 根之和 解方程求常数 k 解答 解 由已知条件 直线 l 的方程为 代入椭圆方程得 整理得 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 解得或 即 k 的取值范围 为 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 由方程 又 而 所以与共线等价于 将 代入上式 解得 由 知或 故没有符合题意的常数 k 点评 1 把直线 l 与椭圆有两个不同的交点 转化为方程组有 2 个不同解 2 考查 2 个向量共线的条件 22 12 分 已