121函数的表示法（一）

1 2 1 函数的表示法 一 函数的表示法 一 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 掌握函数的解析法 列表法 图象法三种主要表示方 法 二 能力目标 培养学生用更简明的方式表示问题 转化问题的能力 三 情感目标 培养学生从另一个角度观察问题看待问题描述问题的意 识 二 教学重难点二 教学重难点 一 重点 函数的三种表示方法 二 难点 用解析法来表示函数 三 活动设计三 活动设计 回顾 设问 提问 比较 讲解 小结 四 教学过程四 教学过程 1 回顾函数的概念 提问学生 2 函数的表示法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法 图象法 从上节课 的例子所用的三种函数表示法引入 a 解析法解析法 定义 把两个变量的函数关系 用一个等式来表示 这个等式叫做函数的 解析表达式 简称解析式 例如 2 60ts 2 rA rlS 2 用解析式表示函数的方法 叫做 2 2 xxy 0 2 acbxaxy 解析法 b 列表法列表法 定义 列出表格来表示两个变量的函数关系 这种表示函数的方法叫做列 表法 例如 数学用表中的平方表 平方根表 三角函数表 银行中的利息表 等等 下表就是用列表法表示函数关系的 国民生产总值 单位 亿元 c 图象法图象法 定义 用函数图象来表示两个变量之间的关系 这种表示函数的方法叫做 图象法 我们所作的函数的图象 都可以表示相应的函数 另外 气象台应用自动 记录器 描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的 3 例题 例例 1 某种笔记本每个 5 元 买 x x 1 2 3 4 5 个笔记本的钱数 年份19961997199819992000 生产总值66850 573142 776967 180422 889404 0 记为 y 元 试用函数的三种表示方法表示函数 xfy 解 这个函数的定义域是数集 1 2 3 4 5 用解析式可以将函数表示为 xfy 5 4 3 2 1 5 xxy 用列表法可将函数表示为 xfy 笔记 本数 x 12345 钱数 y 510152025 用图像法可将函数表示为 xfy 1 12 23 34 45 5o o 5 5 1 10 0 1 15 5 2 20 0 2 25 5 x x y y 思考 函数的图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点 等等 那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么 要检验一个图形是否为函数图像 方法是看任意一个自变量 x 是否对应唯 一的一个函数值 y 如果对于定义域内的每一个 x 都对应唯一的 y 则图像即为 定义域内的函数的图像 例例 2 表 1 2 是某校高一 1 班三名同学在讥一学年度六次数学测试的成绩 及班级平均分表 表 1 2 第 一次 第 二次 第 三次 第 四次 第 五次 第 六次 王伟988791928895 张城907688758680 赵磊686573727582 班级平 均分 88 278 385 480 375 782 6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析 解 从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩 但不太容易分析每位 同学的成绩变化情况 如果将 成绩 与 测试时间 之间的关系用函数图象 还未出来 如图 1 2 3 那么就能比较直观地看到成绩变化情况 这对我们的分 析很有帮助 图 1 2 3 从图 1 2 3 我们看到 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平 学 习情况比较稳定而且成绩优秀 张城同学的数学成绩不乱写 总是在班级平均 水平上下波动 而且波动幅度较大 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水 平 但他的成绩曲线呈上升趋势 表明他的数学成绩在稳步提高 4 课堂习题 课本 28 页 第 8 9 题 五 小结五 小结 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法的特点比较 用解析法表示函数关系的优点优点 函数关系清楚 容易求函数值 便于用解 析式 研究函数的性质 局限局限 不是每个函数都能用解析法来表示 用列表法表示函数关系的优点优点 不通过计算就知道当自变量取某些值时函 数的对应值 局限局限 若内容过多 查表不方便 有些函数不便列表 图象法表示函数的优点优点 能直观形象的表示出函数的变化情况 注意 函 数图象可以是直线 曲线 折线 也可以由一些孤立的点所构成 局限局限 不够精 确 不易找到准确的函数值 函数的三种表示方法各自有各自的特点 要注意三种函数表达方式之间的 转化 解题时应该注意学会选择恰当的方法来表示问题中的函数关系 六 作业六 作业 课本 27 页 第 1 题 课本 29 页 第 10 题 1 2 1 函数的表示法 二 函数的表示法 二 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 理解分段函数的含义 初步学会根据所给问题建立分段 函数解析式 初步学会画简单分段函数的图象 二 能力目标 初步培养学生认识与辨别不连续函数的能力 进一步理 解分类思想方法 三 情感目标 让学生体验分段函数的跳跃之美 二 教学重难点二 教学重难点 一 重点 分段函数解析式的建立及分段函数的图象 二 难点 分段函数解析式的建立 三 活动设计三 活动设计 定义给出定义给出 例题解释例题解释 分析理解分析理解 小结练习小结练习 四 教学过程四 教学过程 1 直接给出分段函数的概念 解析式把所有不同的表达式括起来 并分别 注明取值范围 定义域内每个值只属于某一段 不重复不遗漏 这类函数就叫 做分段函数 下面主要通过例题来理解分段函数的分类思想 例例 1 请画出的图象xy 解 由绝对值的概念 我们有 0 0 xx xx xy 所以 函数的图像为 xy x x y y 1 12 23 3 1 1 2 2 3 3 4 4 o o 1 1 2 2 3 3 由此例指出 分段函数表示的是一个函数 而不是几个函数 分段函数 的解析式不能写成几个不同的方程 而就写函数值几种不同的表达式并用一 个左大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情况 例例 2 国内投寄信函 外埠 邮资按下列规则计算 1 信函质量不超过 100g 时 每 20g 付邮资 80 分 即信函质量不超过 20g 付邮资 80 分 信函质量超过 20g 但超过 40g 付邮资 160 分 依此类推 2 信函质量大于 100g 且不超过 200g 时 每 100g 付邮资 200 分 即信函 质量超过 100g 但不超过 200g 付邮资 A 200 分 A 为质量等于 100g 的信 函的邮资 信函质量超过 200g 但不超过 300g 付邮资 A 400 分 依此类 推 设一封g 0 x 200 的信函应付的邮资为 y 单位 分 试写出以 x 为自变量x 的函数 y 的解析式 并画出这个函数的图像 分析 分析 因邮资分段计算 属分段函数问题 可利用以下 邮资表 突破难 点 xy 0 20 80 20 40 160 40 60 240 60 80 320 信函质量不 超过 100g 80 100 400 超 100g 且 不超过 200g 100 200 600 超 200g 且 不超过 300g 200 300 800 解 解 这个函数的定义域是 0 x 200 函数解析式为 0 20 80 20 40 160 40 60 240 60 80 320 80 100 400 100 200 600 x x x y x x x 它的图像是 6 条线段 不包 括左端点 都平行于 x 轴 如图所示 2 课堂练习 课堂练习 课本 29 页 第 11 题 第 12 题 五 小结五 小结 分段函数是一个函数而不是几个函数 体现分类讨论的数学思想 解决实际 问题 关键是将实际问题数学化 即分析题意 将问题抽象 转化成数学问题 体现化归 转化思想 六 作业六 作业 课本第 29 页第 13 题 1 2 1 函数的表示法 三 函数的表示法 三 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 了解映射的概念及表示方法 了解象与原象的概念 二 能力目标 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 三 情感目标 激发学生学习数学的兴趣和积极性 陶冶学生的情操 二 教学重难点二 教学重难点 一 重点 映射的概念 二 难点 映射的概念 三 活动设计三 活动设计 提问提问 定义讲解定义讲解 例题解释例题解释 四 教学过程四 教学过程 1 复习引入 复习函数的定义 着重强调着重强调函数是 两个数集间的一种确定的对应关系 当我们将数集扩展到任意的集合时 就可以得到映射的概念 例如 亚洲的国 家构成集合 A 亚洲各国的首都构成集合 B 对应关系 f 国家 a 对应于它的首 都 b 这样 对于集合 A 中的任意一个国家 按照对应关系 f 在集合 B 中都 有唯一确定的首都与之对应 我们将对应称为映射 BAf 2 由上引出映射的概念 一般地 我们有 设 A B 是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对 应法则 f 使对于集合 A 中的任何一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应为从集合 A 到集合 B 的一个映射映射BAf mapping 记作 BAf 象 原象象 原象 给定一个集合 A 到集合 B 的映射 且 如果元素BbAa 和元素对应 则元素叫做元素的象象 元素叫做元素的原象原象abbaab 注意 对映射的概念要强调下列两点 1 映射的三要素 两个集合 A B 以及 A 到 B 的对应法则 f 2 由映射的定义的关键字词概括出映射的特征 A 到 B 映射是有方向的 A 到 B 的对应与 B 到 A 的对应往往不是 同一个对应 如若 A 到 B 是求平方 则 B 到 A 则是开平方 因此映射是有序有序 的的 任一 就是说对集合 A 中任何一个元素 集合 B 中都有元素和它对 应 这是映射的存在性存在性 唯一 对于集合 A 中的任何一个元素 集合 B 中都是唯一的元素和 它对应 这是映射的唯一性唯一性 在集合 B 中 也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中 这是映射的封封 闭性闭性 函数与映射的关系 函数与映射的关系 1 函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊映射 这BAf 里 A B 为非空非空的数数集 映射对集合 A B 没有规定数集 集合 A B 可以是数集 也可以是 其它集合 2 A 定义域 原象的集合 值域 象的集合 其中 Axxf B 对应法则 A Bfxy 3 例题 例 例 已知下列集合 A 到 B 的对应 请判断哪些是 A 到 B 的映射 并说 明理由 A N B Z 对应法则 取相反数 A 1 0 2 B 1 0 1 2 对应法则 取倒数 A 1 2 3 4 5 B R 对应法则 求平方根 A 00900 B x 0 x1 对应法则 取正弦 答案 是 不是 因为 A 中元素 0 没有倒数 不是 因不 满足唯一性 若对应法则改为 求平方 则是 是 例例 2 以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射 1 集合 A 集合 B R 对应关系 f 数轴 P P是数轴上的点 上的点与它所代表的实数对应 2 集合 A P P是平面直角坐标系中的点 集合 B 对应关系 f 平面直角坐标系 R yR x y x 中的点与它的坐标对应 3 集合 A 集合 B 对应关系 f xx 是三角形 xx 是圆 每一个三角形都对应它的内切圆 4 集合 A 集合 B xx 是新华中学的班级 对应关系 f 每一个班级都对应班 xx 是新华中学的学生 里的学生 解 1 按照建立的数轴的方法可知 数轴上的任意一个点 都 有唯一的实数与之对应 所以这个对应是从集合BAf A 到 B 的一个映射 2 按照建立平面直角坐标系的方法可知 平面直角坐标系中 的任意一个点 都有唯一的一个实数对与之对应 所以这 个对应是从集合 A 到 B 的一个映射 BAf 3 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应 所以这个 对应是从集合 A 到 B 的一个映射 BAf 4 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个 即与一个 班级对应的学生不止一个 所以这个对应不是从BAf 集合 A 到 B 的一个映射 4 课堂练习 判断题 在从集合 A 到集合 B 的映射中 下列说法正确的是 A 中的每一个元素在 B 中都有象 A 中的两个不同元素在 B 中的象必不同 B 中的元素在 A 中可以没有原象 B 中的某一元素在 A 中是原象可能不止一个 A 中元素象的集合即为 B A B C D 答案 B 集合 A N B m m n