河南省豫东六校联谊2012届高三数学第一次联考 理

用心 爱心 专心 1 河南省豫东六校联谊河南省豫东六校联谊 20122012 年高三第一次联考年高三第一次联考 数学 理 试题数学 理 试题 考试时间 150 分钟 试卷满分 150 分 本试题卷分第 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 考生作答时 将答案答 在答题卡上 答题注意事项见答题卡 在本试题卷上答题无效 考试结束后 将本试题卷 和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 复数 2 2 i i A 3 4i B 3 4i C 3 4i D 3 4i 2 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 3 如图 在平面四边形 ABCD 中 若 AC 3 BD 2 则 ABDCACBD A 5 B 0 C 4 D 5 4 设函数在区间 1 2 内有零点 则实数 a 的取值范围是 3 2 log x f xa x A 1 log3 2 B 0 log3 2 C log3 2 1 D l log3 4 5 已知则的值是 sincos 2 sincos 2 cossincos 用心 爱心 专心 2 A B C D 66 55 或 6 5 6 5 4 5 6 设 a b 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列说法正确的是 A 若 a b a 则 b B 若 a 则 C 若 则 a D 若以 a b a b 则 7 数列 满足并且 则数列的第 2012 n a 12 1 1 2 aa 1111 2 2 nnnnn a aaaan 项为 A B C D 100 1 2 2012 1 2 1 2012 1 100 8 已知双曲线的方程为 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 22 22 1 0 0 xy ab ab 为 c 为双曲线的半焦距长 则双曲线的离心率为 5 3 c A 5 2 B 3 2 C 3 5 2 D 2 3 9 如右边程序框图所示 已知集合 A x 框图中输出的 x 值 集合 B y 框图中输出的 y 值 全集 U Z Z 为整数集 当输入 x 的值为一 l 时 U C AB A B C D 3 1 5 3 1 5 7 3 1 7 3 1 7 9 10 已知是周期为的函数 当 x 时 2 f x xRxkkZ 且 2 2 设则 2cos f xxx 1 2 3 afbfcf A c b a B b c aC a c b D c a b 11 已知点 p x y 在直线 x 2y 3 上移动 当 2x 4y取得最小值时 过点 p x y 引圆 的切线 则此切线长为 22 111 242 xy 用心 爱心 专心 3 A B C D 6 2 3 2 1 2 3 2 12 在整数集 Z 中 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 类 记为 k 即 k 5n k n Z k 0 1 2 3 4 给出如下四个结论 2011 1 3 3 z 0 1 2 3 4 整数 a b 属于同一 类 的充要条件是 a b 0 其中 正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3D 4 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 1 3 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小距 5 分 共 20 分 13 设 x y 满足约束条件的最大值为 0 30 2 3 xy xtzxy x 则 14 设若则展开式中常数项为 2 0 lg 0 3 0 a x x f x xt dt x 1 1 f f 5 42 xxa 15 用 0 1 2 3 4 这五个数字组成无重复数字的五位数 其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间 这样的五位数有 个 用数字作答 16 正三棱锥 S ABC 中 M N 分别是 SC BC 中点 且 MN AM 若 SA 2 则正三棱锥 S 3 ABC 的外接球的体积为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 小题满分 12 分 己知函数 2 2sin 2 2sin 6 f xxx 1 求函数的最小正周期 f x 2 记 ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 b 1 c 求 a 的值 1 2 B f 3 用心 爱心 专心 4 18 本小题满分 12 分 如右图所示 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形且与底面垂直 底面 ABCD 是 ADC 60 的菱形 M 为 PB 的中点 1 求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小 2 求证 PA 平面 CDM 3 求二面角 D MC B 的余弦值 19 本小题满分 12 分 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩 按成绩共分 五组 得到频率分布表如下表所示 1 请求出 位置相应的数字 填在答题卡相应位置上 并补全频率分布直方图 2 为了能选出最优秀的学生 高校决定在笔试成绩高的第 3 4 5 组中用分层抽样 的方法抽取 12 人进入第二轮面试 求第 3 4 5 组中每组各抽取多少人进入第二轮的 面试 假定考生 XXX 笔试成绩为 178 分 但不幸没入选这 100 人中 那这样的筛选 方法对该生而言公平吗 为什么 3 在 2 的前提下 学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受 王教授 的面试 设 用心 爱心 专心 5 第 4 组中被抽取参加 王教授 面试的人数为 求的分布列和数学期望 20 本小题满分 12 分 已知椭圆的离心率为 其左 右焦点为 F1 F2 点 P 是 22 22 1 0 xy Cab ab 2 2 坐标平面内一点 且其中 O 为坐标原点 12 73 24 OPPFPF I 求椭圆 C 的方程 如图 过点 S 0 且斜率为 k 的动直线l交椭圆于 A B 两点 在 y 轴上是 1 3 否存在定点 M 使以 AB 为直径的圆恒过这个点 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 12 分 己知函数 1 x x f x e 1 求函数的单调区间 f x 2 设函数 是否存在实数 a b c 0 1 使 x g xxf xtfxetR 得若存在 求出 t 的取值范围 若不存在 说明理由 g ag bg c 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 用心 爱心 专心 6 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O1与 O2相交于 A B 两点 过点 A 作 O1的切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆 的割线 分别交 O1 O2于点 D E DE 与 AC 相交于点 P 1 求证 AD EC 2 若 AD 是 O2的切线 且 PA 6 PC 2 BD 9 求 AD 的长 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点 O 重合 极轴与 x 轴非负半轴重合 M 是曲线 C 4sin上任一 点 点 P 满足 设点 P 的轨迹为曲线 Q 3OPOM 1 求曲线 Q 的方程 2 设曲线 Q 与直线 t 为参数 相交于 A B 两点 且 AB 4 求实数 xt l yta a 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设对于任意实数 x 不等式恒成立 7 1 xxm 1 求 m 的取值范围 2 当 m 取最大值时 解关于 x 的不等式 3 2212 xxm 用心 爱心 专心 7 数学答案 理科 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 题号 123456789101112 答案 ABDCCDCBDCAC 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 13 9 14 15 15 28 16 36 三 解答题 17 本小题满分 12 分 1 2 2sin 2 2sin 6 f xxx 2 sin2 coscos2 sin 1 cos2 66 xxx 31 1 cos2 sin2cos2 22 xxx 13 cos2sin21cos 2 1 223 xxx 所以函数的最小正周期为 6 分 f x 2 由 得 即 1 2 B f cos 11 3 B cos 0 3 B 又因为 所以 所以 即 8 分0B 4 333 B 32 B 6 B 因为 所以由正弦定理 得 9 分1 3bc sinsin bc BC 3 sin 2 C 又 故或 10 分 5 0 6 C 3 C 2 3 当时 从而 3 C 2 A 22 2abc 当时 又 从而 11 分 2 3 C 6 A 6 B 1ab 用心 爱心 专心 8 故的值为 或 12 分a12 18 本小题满分 12 分 解法一 1 取的中点 由是正三角形 有 DCOPDC PODC 又 平面底面 平面于 连结 则PDC ABCDPOABCDOOAOA 是在底面上的射影 就是与底面所成角 PAPAO PA 由已知和是全等的正三角形 从而求得 0 60ADC PCD ACD 与底面所成角的大小为 4 分 3OAOP 0 45PAO PAABCD 0 45 2 取的中点 连接 APNMN 由 1 知 在菱形中 由于 则 又 ABCD 0 60ADC AOCD POCD 则平面 即 又在中 中位线 CD APOCDPA PAB MN 1 2 AB 则 则四边形为平行四边形 所以 在CO 1 2 ABMN COOCMN MCON 中 则 故 而 APO AOPO ONAP APMC MCCDC I 则平面 8 分 PA CDM 3 由 2 知平面 则为二面角的平面角 MC PABNMB DMCB 在 中 易得 Rt PAB 2222 6 6210PAPBPAPB 210 cos 510 AB PBA PB 10 coscos 5 NMBPBA 故 所求二面角的余弦值为 12 分 10 5 解法二 1 同解法一 4 分 2 由底面为菱形且 ABCD 0 60ADC 2 1DCDO 有 建立空间直角坐标系如图 则 OADC 3 0 0 A 由为 0 0 3 P 0 1 0 D 3 2 0 B 0 1 0 CM 中点 PB 33 1 22 M 33 2 22 DM uuu u r 3 03 PA uu r 0 2 0 DC uuu r 33 32 0 3 0 22 PA DM uu r uuu u r g032 00 3 0PA DC uu r uuu r g 平面 8 分PADM PADC PA DMC 3 令平面的法向量 33 0 22 CM uuu r 3 10 CB uur BMC nx yz r C A D P M B y x O z 用心 爱心 专心 9 则 从而 从而 0n CM r uuu r g0 xz 0n CB r uur g30 xy 由 取 则 可取 1x 3 1yz 1 31 n r 由 2 知平面的法向量可取 CDM 3 03 PA uu r 所求二面角的余弦值为 12 分 2 310 cos 556 n PA n PA n PA r uu r r uu r g gu ruu r g 10 5 19 本小题满分 12 分 1 由题意知 组频率总和为 故第组频率为 5130 3 即 处的数字为 1 分0 3 总的频数为 因此第组的频数为 即 处数字为 210042020 分 频率分布直方图如下 4 分 2 第组共名学生 现抽取人 因此第组抽取的人数为 人 3 4 5 60123 30 12 6 60 第组抽取的人数为 人 第组抽取的人数为 人 7 分4 20 12 4 60 5 10 12 2 60 公平 因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取人 每个人被抽到的概率是相同100 的 8 分 只写 公平 二字 不写理由 不给分 成绩185180175170165 160 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 频率 组距 频率分布直方图 用心 爱心 专心 10 3 的可能取值为 0 1 2 3 3 8 3 12 14 0 55 C P C 21 84 3 12 28 1 55 C C P C 12 84 3 12 12 2 55 C C P C 3 4 3 12 1 3 55 C P C 的分布 列为 11 分 1428121 01231 55555555 E 12 分 20 本小题满分 12 分 解 1 设 1 分 00 P xy 7 2 OP Q 22 00 7 4 xy 又 即 2 分 12 3 4 PF PF uuu r uuu r g 0000 3 4 cxycxy g 222 00 3 4 xcy 代入 得 又故所求椭圆方程为 41c 2 2 1 2 eab 2 2 1 2 x y 分 2 设直线 代入 有 1 3 l ykx 2 2 1 2 x y 22 416 21 0 39 kxkx 设 则 6 1122 A x yB xy 1212 22 416 3 21 9 21 k xxx x kk 分 若轴上存在定点满足题设 则 y 0 Mm 11 MAx ym uuu r 22 MBxym uuu r 2 1212121212 MA MBx xym ymx xy ym yym uuu r uuu r g 2 121212 1111 3333 x xkxkxm kxkxm 22 1212 121 1 339 m kx xkm xxm 9 分 222 2 18 1 9615 9 21 mkmm k 由题意知 对任意实数都有恒成立 10k0MA MB uuu r uuu r g 分 即对成立 222 18 1 9615 0mkmm kR 0 123 P 14 55 28 55 12 55 1 55 用心 爱心 专心 11 解得 11 分 2 2 10 96150 m mm 1m 在轴上存在定点 使以为直径的圆恒过这个定点 12 分 y 1 0 MAB 21 1 当时 在区间上为减函数 x x fx e 0 x 0fx f x 0 当时 在区间上为增函数 0 x 0fx f x 0 的单调增区间为 的单调减区间为 3 分 f x 0 f x 0 2 假设存在 使得 0 1 abc g ag bg c 则 5 分 minmax 2 g xg x 6 分 2 1 1 x xt x g x e Q 1 x xtx g x e 当时 在上单调递减 1t 0g x g x 0 1 即 得 72 1 0 gg 3 21 t e g31 2 e t 分 当时 在上单调递增 0t 0g x g x 0 1 即 得 82 0 1 gg 3 2 t e 320te 分 当时 在上 在上单调递减 在上 01t 0 xt 0g x g x 0 t 1 xt 在上单调递增 9 0g x g x 1 t2 max 0 1 g tgg 分 即 由 1 知在上单调递减 13 2max 1 t tt ee 1 t t f t e 0 1 t 故 而 不等式 无解 11 14 2 t t ee 33t ee 分 综上所述 存在 使得命题成立 12 32 3 2 e te