江苏省普通高校对口单招2013届高三数学二模试题（含解析）苏教版

1 2013 年江苏省普通高校对口单招高考数学二模试卷年江苏省普通高校对口单招高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 4 分 共 48 分 每小题列出的四个选项中 只有 一项是符合要求的 1 4 分 已知全集 U 0 1 2 3 集合 A 0 1 B 1 2 3 则 UA B A 1 B 0 2 3 C 1 2 D 2 3 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 直接求出 A 的补集 然后求解它们的交集即可 解答 解 因为全集 U 0 1 2 3 集合 A 0 1 UA 2 3 右 B 1 2 3 则 UA B 2 3 故选 D 点评 本题考查集合的交 并 补的运算 考查计算能力 基础题 2 4 分 已知命题 P x 1 4 q x 2 3 x 0 则 p 是 q 的 A 充分而非必要条件B 必要而非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 不等式的解法及应用 分析 直接利用求出 p 与 q 的 x 的解集 利用充要条件的判断方法判断即可 解答 解 命题 p x 1 4 3 x 5 命题 q x 2 3 x 0 2 x 3 所以 p 推不出 q q 推出 p p 是 q 的必要而非充分条件 故选 B 点评 本题考查不等式的解法 充要条件的判定方法 考查逻辑推理能力计算能力 2 3 4 分 函数是 A 周期为的奇函数 B 周期为的偶函数 C 周期为的奇函数 D 周期为的偶函数 考点 二倍角的正弦 分析 逆用二倍角的正弦公式 整理三角函数式 应用周期的公式求出周期 再判断奇偶 性 这是性质应用中的简单问题 解答 解 y sin2xcos2x sin4x T 2 4 原函数为奇函数 故选 A 点评 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式 化简的标准 第一 尽量使函 数种类最少 次数最低 而且尽量化成积的形式 第二 能求出值的要求出值 第 三 根号内的三角函数式尽量开出 第四 尽量使分母不含三角函数 把函数化为 y Asin x 的形式再解决三角函数性质有关问题 4 4 分 已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8 9 10 10 8 则该组数据的方 差为 A B 1C 0D 考点 极差 方差与标准差 专题 计算题 分析 先计算数据的平均数 然后利用方差公式直接计算即可 解答 解 8 9 10 10 8 的平均分为 9 该组数据的方差 s2 8 9 2 9 9 2 10 9 2 10 9 2 8 9 2 故选 A 点评 本题主要考查了方差公式 解题的关键是正确运用方差公式 同时考查了计算能力 属于基础题 5 4 分 已知向量 若 则 A t 4B t 1 C t 1D t 4 3 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题 平面向量及应用 分析 由题意可得 1 2 2 t 0 解之即可 解答 解 且 由数量积判断两个平面向量的垂直关系得 1 2 2 t 0 解得 t 1 故选 B 点评 本题考查平面向量的垂直的判定 属基础题 6 4 分 2009 广东 若函数 y f x 是函数 y ax a 0 且 a 1 的反函数 其图象 经过点 a 则 f x A log2xB log x C D x2 考点 反函数 专题 计算题 分析 欲求原函数 y ax 的反函数 即从原函数式中反解出 x 后再进行 x y 互换 即得反 函数的解析式 解答 解 y ax x logay f x logax a f x log x 故选 B 点评 本题考查反函数的求法 属于基础题目 要会求一些简单函数的反函数 掌握互为 反函数的函数图象间的关系 7 4 分 已知过点 A 1 3 和 B m 4 的直线与直线 x 2y 1 0 垂直 则 m 的值为 A B C D 考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 4 专题 计算题 直线与圆 分析 求出已知直线的斜率 利用两条直线垂直关系 求出 m 的值即可 解答 解 直线 x 2y 1 0 的斜率为 因为过点 A 1 3 和 B m 4 的直线与直线 x 2y 1 0 垂直 所以 解得 m 故选 A 点评 本题考查直线与直线垂直体积的应用 直线的斜率的求法 考查计算能力 8 4 分 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题正确的是 A 若 m n 则 m nB 若 m m n 则 n C 若 m n 则 m nD 若 m n m n 则 考点 命题的真假判断与应用 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位 置关系 专题 空间位置关系与距离 分析 依据空间中的线与线 线与面的有关结论 不难得到正确结论 解答 解 A 由于 m 则 m 又 n 可得 m n 或 m n 异面 故 A 错 B 由于直线 n 没有明确位置 则 n 与平面 位置关系不确定 故 B 错 C 由于 m 则 m 又由 n 所以 m n 故 C 正确 D 若一平面内两相交直线分别与另一平面平行 则两平面平行 故 D 错 故答案为 C 点评 本题考查的知识点是 判断命题真假 比较综合的考查了空间中直线与平面的位置 关系 我们需对四个结论逐一进行判断 可以得到正确的结论 9 4 分 已知双曲线的一条渐近线经过点 1 2 则该双 曲线的离心率的值为 A B C D 2 5 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据双曲线方程 可得它的渐近线方程为 y x 结合题意得点 1 2 在直线 y x 上 可得 b 2a 再利用平方关系算出 c a 由此结合双曲线离心率公式即可 算出该双曲线的离心率的值 解答 解 双曲线方程为 该双曲线的渐近线方程为 y x 又 一条渐近线经过点 1 2 2 1 得 b 2a 由此可得 c a 双曲线的离心率 e 故选 B 点评 本题给出双曲线的渐近线经过点 1 2 求双曲线的离心率的值 着重考查了双曲 线的标准方程和简单几何性质等知识 属于基础题 10 4 分 若函数 f x 2x2 mx 2n 满足 f 1 f 5 则 f 1 f 2 f 4 的关系 为 A f 1 f 2 f 4 B f 1 f 4 f 2 C f 2 f 1 f 4 D f 2 f 4 f 1 考点 二次函数的性质 专题 函数的性质及应用 分析 由 f 1 f 5 可求得 f x 图象的对称轴 根据 f x 图象开口方向可知在对称 轴处取得最小值 再根据距对称轴的远近可判断 f 1 与 f 4 的大小 解答 解 由 f 1 f 5 得 f x 的图象关于 x 2 对称 又 f x 图象开口向上 所以 f 2 为 f x 的最小值 因为 2 1 4 2 所以 f 1 f 4 故 f 2 f 1 f 4 故选 C 点评 本题考查二次函数的性质 图象 考查数形结合思想 属基础题 深刻理解 三个二 6 次 间的关系是解决该类问题的关键 11 4 分 已知圆 C 的圆心为抛物线 y2 4x 的焦点 又直线 4x 3y 6 0 与圆 C 相切 则圆 C 的标准方程为 A x 1 2 y2 2B x 1 2 y2 4C x 1 2 y2 2 D x 1 2 y2 4 考点 圆的标准方程 专题 计算题 直线与圆 分析 由抛物线方程算出焦点坐标 C 1 0 因此设圆 C 方程为 x 1 2 y2 r2 根据点 到直线的距离公式算出点 C 到直线 4x 3y 6 0 的距离 从而可得半径 r 2 得到圆 C 的标准方程 解答 解 抛物线方程为 y2 4x 2p 4 得 1 抛物线焦点为 C 1 0 设圆 C 的方程为 x 1 2 y2 r2 直线 4x 3y 6 0 与圆 C 相切 点 C 到直线的距离为 2 r 可得圆 C 的标准方程为 x 1 2 y2 4 故选 B 点评 本题给出圆的圆心为已知抛物线的焦点 且圆与定直线相切 求圆的标准方程 着 重考查了抛物线的标准方程 圆的方程和直线与圆的位置关系等知识 属于基础 题 12 4 分 已知奇函数 f x 在 1 0 上为单调减函数 又 为锐角三角形内角 则 A f cos f cos B f sin f sin C f sin f cos D f sin f cos 考点 余弦函数的单调性 专题 计算题 压轴题 7 分析 由 奇函数 y f x 在 1 0 上为单调递减函数 可知 f x 在 0 1 上为单调递减函 数 再由 为锐角三角形的两内角 可得到 转化为 两边 再取正弦 可得 sin sin cos 0 由函数的单调性可得结论 解答 解 奇函数 y f x 在 1 0 上为单调递减函数 f x 在 0 1 上为单调递减函数 f x 在 1 1 上为单调递减函数 又 为锐角三角形的两内角 sin sin cos 0 f sin f cos 故选 C 点评 题主要考查奇偶性和单调性的综合运用 还考查了三角函数的单调性 属中档题 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 13 4 分 若角 满足 则的值为 考点 运用诱导公式化简求值 专题 计算题 三角函数的求值 分析 通过诱导公式求出 sin 的值 然后化简所求表达式 求解即可 解答 解 角 满足 所以 sin sin 故答案为 点评 本题考查诱导公式的应用 基本知识的考查 14 4 分 设复数 z 满足 z 2 i 1 2i i 为虚数单位 则 z 1 8 考点 复数代数形式的乘除运算 复数求模 专题 计算题 分析 设 z a bi a b R 利用已知条件及复数的运算法则化为 2a b a 2b i 1 2i 再根据复数相等即可得出 a b 利用复数模的计算公式即可得出 z 解答 解 设 z a bi a b R 由复数 z 满足 z 2 i 1 2i i 为虚数单位 a bi 2 i 1 2i 化为 2a b a 2b i 1 2i 根据复数相等得 解得 z i 1 故答案为 1 点评 熟练掌握复数的运算法则和复数相等的定义及复数模的计算公式是解题的关键 15 4 分 2013 徐州一模 从 0 1 2 3 这四个数字中一次随机取两个数字 若用这 两个数字组成无重复数字的两位数 则所得两位数为偶数的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 从 0 1 2 3 这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数 分为两 类 若取出的数字不含 0 和取出的两个数字中有一个为 0 利用排列和组合的计算公 式分别计算出两位数的个数和偶数的公式 再利用古典概型的概率计算公式即可得 出 解答 解 从 0 1 2 3 这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数 分 为两类 若取出的数字不含 0 共组成 6 个两位数 其中 2 为个位的两位数有 2 个 若取出的两个数字中有一个为 0 则 0 只能放在个位上 可组成 3 个两位 数 且都是偶数 9 由上可得所得两位数的个数为 6 3 9 个 其中偶数个数为 2 3 5 故所得两位数为偶数的概率 P 故答案为 点评 熟练掌握分类讨论的思想方法 古典概型的概率计算公式 排列与组合的计算公式 及其意义是解题的关键 注意数字 0 不能放在首位 16 4 分 函数 f x cos2x sinx 在区间 上的最小值为 考点 三角函数的最值 专题 三角函数的图像与性质 分析 利用同角三角函数的基本关系化简函数 f x 的解析式为 根据 x 的范围求得 sinx 1 再根据二次函数的性质求得函数 f x 取得最小值 解答 解 函数 f x cos2x sinx 1 sin2x sinx x sinx 1 当 sinx 时 函数 f x 取得最小值为 故答案为 点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系 正弦函数的定义域和值域 二次函数的性 质 属于中档题 17 4 分 函数 f x 2x x 的最大值是 1 考点 基本不等式 专题 不等式的解法及应用 分析 把已知变形为函数 f x 2x 3 2x 3 3 2x 0 利用基本不等 10 式的性质即可得出 解答 解 3 2x 0 函数 f x 2x 3 2x 3 1 当 且仅当 3 2x 0 即 x 1 时取等号 函数 f x 2x x 的最大值是 1 故答案为 1 点评 熟练掌握变形应用基本不等式的性质是解题的关键 18 4 分 定义在 R 上的函数 f x 对任意 x R 都有 f x 2 f x 当 x 2 0 时 f x 4x 则 f 2013 考点 函数的周期性 函数的值 专题 压轴题 函数的性质及应用 分析 利用函数的周期性把要求的式子化为 f 1 再利用 x 2 0 时 f x 4x 求得 f 1 的值 解答 解 定义在 R 上的函数 f x 对任意 x R 都有 f x 2 f x 则 f 2013 f 2 1006 1 f 1 f 1 当 x 2 0 时 f x 4x f 1 4 1 故答案为 点评 本题主要考查利用函数的周期性求函数的值 属于基础题 三 解答题 本大题共 7 小题 共 78 分 19 6 分 求函数的定义域 11 考点 对数函数的单调性与特殊点 对数函数的定义域 专题 函数的性质及应用 分析 由函数的解析式可得 即 由此求得函数的定义 域 解答 解 函数 即 解得 0 x 故函数的定义域为 0 点评 本题主要考查对数函数的单调性与特殊点 对数不等式的解法 属于中档题 20 10 分 已知 A B C 是 ABC 的内角 a b c 分别是其对边长 向量 求角 A 的大小 若 求 b 的长 考点 解三角形 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 计算题 分析 根据 可得 0 化简得到 sin A 再由 0 A 可得 A 从而得到 A 由此求得 A 的值 利用同角三角函数的基本关系求出 sinB 的值 由正弦定理 得 运算求得结果 解答 解 cosA 1 sinA 1 sinA cosA 1 1 0 即 sinA cosA 1 sin A 由于 0 A A 12 A A 在 ABC 中 a 2 sinB 由正弦定理知 点评 本题主要考查正弦定理的应用 解三角形 两个向量垂直的性质 两个向量的数量 积公式的应用 根据三角函数的值求角 属于中档题 21 10 分 已知数列 an 是公差为正的等差数列 其前 n 和为 Sn 点 n Sn 在抛物线 上 各项都为正数的等比数列 bn 满足 1 求数列 an bn 的通项公式 2 记 cn 2an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 考点 数列与解析几何的综合 等比数列的性质 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 1 依题意 Sn n2 n 利用等差数列的性质可求得 an 的通项公式 由 b1b3 b5 可求得 bn 的通项公式 2 cn 2an bn 利用分组求和的方法即可求得数列 cn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 点 n Sn 在抛物线 y x2 x 上 Sn n2 n 当 n 1 时 a1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 3n 1 当 n 1 时 也适合上式 an 3n 1 bn 为各项都为正数的等比数列 且 b1b3 b5 b2 q3 b2 公比 q 13 bn b2 qn 2 2 cn 2an bn 2 3n 1 其前 n 项和 Tn c1 c2 cn 6 1 2 6 2 2 6n 2 2n 3n2 n 1 点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式 着重考查等差数列与等比数列的分组求 和与公式法求和 属于中档题 22 10 分 已知函数 f x x2 a 1 x b2 2b 且 又知 f x x 恒成立 求 1 y f x 的解析式 2 若函数 g x log2 f x x 1 求函数 g x 的单调增区间 考点 复合函数的单调性 二次函数的性质 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 由 知 f x 图象的对称轴 从而可求得 a 值 由 f x x 即 x 1 2 b 1 2 0 恒成立 可得 b 1 2 0 由此 可解得 b 值 2 由 1 知 g x log2 x2 2x 先求出函数 g x 的定义域 根据复合函数 单调性的判断方法 同增异减 即可求得 g x 的增区间 解答 解 1 由 知 f x 图象的对称轴为 x 所以 解得 a 2 14 f x x 即 x2 x b2 2b x 所以 x2 2x b2 2b 0 即 x 1 2 b 1 2 0 因为 f x x 恒成立 所以 b 1 2 0 所以 b 1 所以 y f x x2 x 1 2 由 1 知 g x log2 x2 2x 由 x2 2x 0 解得 x 0 或 x 2 所以函数 g x 的定义域为 0 2 因为 y log2t 递增 t x2 2x 在 2 上递增 所以 g x 在 2 上递增 即 g x 的递增区间为 2 上递增 点评 本题考查复合函数单调性的判断及二次函数的性质 属中档题 复合函数单调性的 判断方法是 同增异减 23 14 分 有 6 只电子元件 其中 4 只正品 两只次品 每次随机抽取一只检验 不论 是正品还是次品都不放回 直到两只次品都抽到为止 1 求测试 4 次抽到两只次品的概率 2 求 2 只次品都找到的测试次数 的分布列和期望 考点 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 超几何分布 专题 概率与统计 分析 1 设 测试 4 次抽到两只次品 为事件 A 则前 3 次中只有一次抽到次品 第四次 抽到第二只次品 利用古典概型的概率计算公式即可得出 2 由题意可知随机变量 的可能取值为 2 3 4 5 6 利用古典概型的概率计 算公式和离散型随机变量的分布列和期望即可得出 解答 解 1 设 测试 4 次抽到两只次品 为事件 A 则抽 4 次不放回共有种方法 其 中前 3 次中只有一次抽到次品且第四次抽到第二只次品的方法为种方法 因此 P A 2 由题意可知随机变量 的可能取值为 2 3 4 5 6 则 P 2 P 3 P 4 p 5 15 P 5 2 只次品都找到的测试次数 的分布列如表格 E 点评 正确理解题意和熟练掌握古典概型的概率计算公式和离散型随机变量的分布列和期 望是解题的关键 24 14 分 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB 2 A1A AD 1 E 为 AD1 与 A1D 的交 点 1 求二面角 C AD1 D 的平面角正切值 2 求 D 点到平面 ACD1 的距离 考点 二面角的平面角及求法 点 线 面间的距离计算 专题 空间角 分析 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 以 D 为坐标原点 以 DA DC DD1 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 求出两个平面 AD1D 与 AD1C 的一个法向量 由两个法向量所成的角的余弦值求二面角的余弦值 从而求出正切值 2 在 1 中求出了 AD1C 的一个法向量 E 点是平面 AD1C 上的一个点 求出向 量 则向量在平面 AD1C 的一个法向量上的投影的绝对值即为点 D 到平面 ACD1 的距离 解答 解 1 如图 16 以 DA DC DD1 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 因为 AB 2 A1A AD